例谈数列前n项和的求法

刘超

无沦是公式法还是分组求和法，都是利用等差、等比数列的前n项和公式来求和.而对于较为复杂的数列，我们常常需要采用错位相减法与裂项相消法来求和.这两种求和方法都是根据数列的规律来进行变式与转化，以达到求和的目的.下面我们结合实例来进行说明.

一、错位相减法

若一个数列的各项是由一个等差数列与等比数列的对应项的乘积构成的，那么一般用错位相减法来求数列的前n项和.首先写出数列的和式，然后在和式的左右同时乘以等比数列的公比，再错开一位将两式相减，通过化简便可求得数列的和.若等比数列的公比不确定，还需分别讨论当公比为l和不为1的情况.

例1.已知an=n·2 n，求{an}的前n项和Sn.

解：Sn=a1+a2 +a3+ … +an

Sn=l×2 1+2 x2 2+…+n·2 n

运用错位相减法求和的运算量較大，同学们在解题时要注意谨慎汁算.在错位相减时，要注意前后会各多出一项.

二、裂项相消法

裂项相消法是一种常用的求和方法，需将每一项拆成两项之差的形式，在求和时使中间的部分项通过正负抵消，让剩下的一些项为首尾的对称项.这样一个复杂的求和题目就会变成简单的运算问题.常见的裂项方式有

例2.正项数列{an}满足an 2·（2n一l）·an·2n=0.

（l）求数列{an}的通项公式an;

（2）令

，求数列{bn}的前n项和Tn

解：（1）由an 2·（2n - l）·an·2n =0可得（（an- 2n）·（an+1）=0，

解得an= 2n或an=-l（舍），所以an=2n.

（2）an=2n，

数列{bn}的前n项和T为

.

这个题目中有两个小问题，第一问为第二问作铺垫，将第一问中计算出的an代入第二问的题设中，便可求出bn的通项公式.通过观察可以发现bn的表达式可以裂为两项之差的形式：

，于是采用裂项相消法来求和，将各项裂开之后相加，抵消中间的项，便只剩下首尾两项，化简即可得到结果.

相比较而言，裂项相消法的运算量较小，只要能将数列的通项裂开，便可快速解题.错位相减法虽然稍微复杂些，但我们只要把握其中的规律，合理作差、化简，谨慎汁算，也可顺利求得结果.

（作者单位：安徽省淮北市实验高级中学）