构造函数，解答复杂不等式问题

吴必潜

在解题时，我们常常会遇到一些较为复杂的与导数有关的不等式问题.由于此类问题中一般含有导数，我们很难快速求得函数的解析式，此时可考虑根据导数的运算法则构造函数来进行求解.其中，特殊指数函数y=e x在导数运算中有一个特殊的性质：（e x）y=e x，在解答与导数有关的不等式问题时，我们可以巧借这一性质来构造函数，根据导数的运算法则来解题.

例1.设函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R，f'（x）+f（x）>0，则对任意正数a，必有（

）.

A.f（a）>e a f（0）

B.f （a）

c.f（a）

D.f（a）>f（0）/fe a

解：构造函数g（x）=e xf （x），

因为f'（x）+f（x）>0，所以g'（x）=e x[f'（x）+f（x）]>0，

所以g（x）在R上单调递增.

又a>0，所以g（a>g（0），即ea f（a）> eo f（0），

所以f（a）>f（0）/e a故選D.

当遇到形如af'（x）+bf（x）的不等式问题时，可巧借指数函数y= ex的性质，并结合导数“积”的运算法则（uv）'=u'v+uv'，构造函数ke xf（x），利用函数的单调性解题.本题就是借助指数函数y=e x的性质来构造函数g（x）=e xf（x），在判断出函数g（x）的单调性后，结合a与0之间的大小关系，得出结论.

例2.已知定义在（0，+∞上的函数f（x）的导函数为f'（x），若矿xf'（x）一（1+x）f（x）>0，且f（1）=e，其中e为自然对数的底数，则不等式f（lnx）

）.

A.（0，e）B.（e，+∞）

C.（1，e）

D.（0，1）

解：由xf'（x）-（l+x）f（x）>0构造函数g（x）=f（x）/xe x

（x>0）

则g'（x）=

所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增.

因为由函数f（x）的定义域可知Inx>0，即x>l，

由不等式.f（Inx）

<1，

则

，即g（lnx）

于是可得O

当遇到形如af'（x） - bf （x）的不等式问题时，可巧借指数函数y=e x的性质，并结合导数“商”的运算法则

，灵活构造函数

，然后利用函数的单调性求解.

例3.已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x<0时，f（x）满足2f（x）+xf'（x）

A.0

B.1

C.2

D.3

解：当x<0时，不等式2f（x）+xf'（x） X2f（X），也等价于[2xf（x）+x 2f'（x）].e x- x2f（x）·（ex）'>0.于是想到导数“商”的运算法则，构造函数g（x）=，

当x<0时，g'（x）：

>0.

所以函数g（x）在（-∞，0）上单调递增;

当x<0时，g（x）

根据f （x）是R上的奇函数知：当x>0时，由-x<0得f（-x）<0，此时f（x）=-f（-x）>0.

又厂（0）=0，故f（x）在R上只有一个零点.故选B.

利用构造函数法求解本题，需要先对不等式2f（x）+xf'（x）

综上所述，借助指数函数y=e x的性质来构造函数解答不等式问题的关键在于：（l）明确指数函数y=e x的性质;（2）灵活运用导数的运算法则;（3）巧妙利用新函数的单调性.

（作者单位：宁夏石嘴山市第一中学）