抽离·紧扣·深度·思辨：数学课程优化思想渗透教学实践

黄竹青

摘 要：“打电话”是“综合与实践”的一个知识点，包含的信息量大、承载的数学思想多，思维含量高，在这一内容的教学中时常会出现学生参与度低、思维无法深入、探究浅尝辄止等困境。文章以优化思想为指引，通过对教材的整理分析，主张在从情境中抽离出困惑的前提下，紧扣“打电话”中的优化内核，在对比中经历优化过程，构建优化模型，在思辨中升华优化思想，让学生切实感悟解决问题中所蕴含的数学思想，积累数学经验，提高数学核心素养。

关键词：数学教学;优化思想;渗透;打电话;建模;核心素养

中图分类号：G623.5 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2021）36-0099-03

优化思想作为一种重要的数学思想，在解决实际问题、提升综合能力方面都发挥着重要作用，是数学教学中必备的数学思想。同时，优化思想又是一个很抽象的概念。何为优化思想？为什么要优化？怎样进行优化？优化的最终目的是什么？优化后的方案真的切实可行吗？如果不可行，优化的意义何在？这一系列问题，成为教师授课和学生学习过程中绕不开的话题，这也导致优化时常仅仅成为一个“口号”，没有彻底地贯彻落实下去。为此，本文结合教学实践，对数学课程优化思想渗透教学策略进行探究。

一、 数学课程优化思想教学现状

在不同情境中，优化的目的不同。可以是化繁为简，优化表达方式;可以是节省资源，比如节约时间、节省经费、节省材料等;也可以是提高效率，从根本上解决问题。目的虽然重要，过程亦然。但是目前很多教学环节，是把问题解决作为唯一标准，往往为了最后的结果而忽略过程，使得优化思想渗透的进程被大大缩短，学生被推着进行归纳和总结，对优化过程的感悟不充分、不深刻、不全面。多样化是优化的基础，有对比才有差距，才能在呈现的多种方法中选择最合时宜的方法。如果只有一种方法，也就不存在“优”了。教师有时为了提高课堂教学效率，会引导学生向标准化思考，削减学生生成的多样性，这样带来的结果就是学生思考的范围被狭隘化，对数学思想的感悟也被弱化。优化贯穿于整个数学学习过程，本身就存在完整的思维体系。它不是单独割裂的一种思想，也非运用于某一个具体的知识点。在实际教学中，知识点之间缺乏关联、整体把握不够是一个摆在眼前的现实问题。教师可能就某一个知识点讲解得很透彻，但没有进行外延，导致优化的片段化，下次换到一个新的知识点，又要从零开始，整体和部分的关联有待加强。学生对“优化”的理解也往往比较片面，更加注重结果的优化而非过程，对优化还停留在某一个知识点上。

二、 数学课程优化思想教学策略

基于数学课程优化思想渗透的思考和研究，笔者对“打电话”一课进行了设计，分四个步骤，具体如下。

1.抽离困惑，明确优化目的

新人教版教材中对“打电话”给出的情境是：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。对于这个情境，学生是比较茫然的，不知从何下手，他们的困惑集中在以下几点。

（1）通知方式多样化。在当下的信息社会，人们交流方式多样，既然说要尽快通知，学生第一反应想到的肯定不是打电话这个原始方法，而会更倾向于发微信、聊QQ、钉钉等。教材中的这个设计，是否会导致在课堂中，学生花费时间去讨论其他通知方法的可行性呢？或者说，如何更好地让学生领悟“打电话”这个一对一模式的必要性呢？

（2）紧急通知不够急。即便是选择用打电话的方式，一个一个地打，最多也就15分钟，最少为4分钟，这11分钟的差距真的值得大费周折地去制定这样一个方案吗？这样的情境，在现实生活中是极少见的，是为了学习这个知识点人为设置的，学生真的认可吗？

鉴于学生对此情境的诸多困惑，笔者重新设计新的情境：黄老师和李老师需要通知合唱队的队员参加紧急演出。为了确保能通知到每一个队员，他们决定采用打电话的方法，每人负责通知15名队员。两位老师决定进行一个比赛，看谁能用最短的时间通知到所有队员。你能帮助黄老师赢得这个比赛吗？

这样的设计直接规定了通知方式，能避免无谓的讨论，同时增加了比赛环节，让学生感受到时间的紧迫性，从而明确最终目的——省时。

2.紧扣内核，凸显优化本质

如何在节省时间的前提下，设计出让别人看得懂的方案，这对学生是一大挑战。在表达形式上也应以优化为目的，因此，教师需要在语言表达和图示表达等方面对学生进行引导。

（1）逐一打：奠定优化基调。五年级的学生，已经积累了一定的生活经验，基本都能直接排除“一个一个地打”这种方法。这说明这种方法就没有提及的必要了吗？笔者认为并非如此。“逐一打”的局限性在哪里？学生都知道是太慢。为什么慢？因为此时只有教师一个人在打电话，没有人帮他，导致很多时间的浪费。学生在感知到这一层面的时候，会不自觉地往“有人帮忙一起打会更快”这个方向去思考，也为接下来的“同时打”模式奠定了基础。

（2）同时打：开启优化之门。学生在经历“逐一打”之后，最先想到的就是分组打，这也是大部分学生设计方案的主要思路。

一是平均分组，感知同时打的优化。笔者这里并没有规定学生的表示方式，目的也是希望学生通过自己的操作，从多种表示方式中寻求最优的一种。无论是分成3组，还是分成5组，都可以大大缩减时间至7分钟。关于这个7分钟的来源，学生有一番探讨。教学片段1。师：你们这个“3+4”是什么意思？“3”指什么？“4”又指什么？生：“3”是老师打电话通知3个组长需要3分钟，“4”是4个组长每人通知4名队员，又要4分钟，而他们是同时打的，所以只要加一个4就行了。师：这个“4”，是最先接到通知的组长打完电话的时间，还是最后一个组长打完电话的时间？生：最后一个组长，因为这时最先接到通知的组长已经打完电话了。师：也就是说，最终需要多少时间，取决于最后打完电话的时间。这里强调“最后打完电话的时间”，是告诉学生一个信息：就算有人打完了，也要等其他人全部打完，所有人都接到消息才算結束。

二是差异分组，体会同时打的局限。教学片段2。师：同样是分组打，老师这里有一个不一样的方案，请这位同学跟大家说说想法。生：我发现同学1打完4个电话时，同学2还剩1个电话没打，而同学3还剩2个电话，这样同学1就空下来了，可以把同学3的1个组员分给同学1，这样他们三个就可以一起打完电话，只需要6分钟就可以了。师：同学们听懂他的设计方案了吗？他为什么要把同学3的队员分1个给同学1？生：因为同学1空下来了，就浪费时间了。师：是啊，看来要节约时间，不光要同时打，还……生：不能空下来。

三是不空闲：反思优化过程。教学片段3。师：刚才同学们说不能空下来，回顾一下我们刚才的几个方案，他们在哪些地方浪费时间了呢？又在哪一分钟空闲下来了呢？师：为了不空下来，我们要怎样做？生：每个接到电话的人都马上帮忙通知下一个人，所有知道消息的人都要打电话。师：你能重新设计一下方案吗？按照这样的方法，我们一共需要几分钟就能通知到所有队员？同样是4分钟，你更喜欢哪种表达方式，为什么？

最优方案的设计是本节课的一个难点，学生一开始很难想到“同时打、不空闲”这个优化本质，因此在对比的过程中不能一蹴而就，而应循序渐进引导学生逐步发现“有人空下来”这个问题，从而归纳出“所有知道消息的人都在打电话”这个优化核心。同时在方案的表示上也要时刻遵循优化原则，用图形、数字等符号简化设计方案，表现出变化规律，为模型的建立提供线索。

四是有空闲：加深优化认知。教学片段4。师：如果要通知16名队员，至少需要几分钟？（5分钟）为什么只多了一名队员，就要多1分钟呢？生：因为通知15名队员至少需要4分钟，这时候所有人都在打电话，没有人空下来，所以通知第16名队员时，还要再花一分钟。师：看来这一分钟是没法节省了，那谁给他打呢？其他人呢？生：可以随便指定一个知道消息的人给他打电话，其他人只能空下来了。师：既然这5分钟肯定要花了，那最多能通知几个人呢？生：4分钟的时候，加上老师一共有16人知道消息，第5分钟最多可以再通知16人，一共通知到31人。

这一环节的设计，笔者将“不空闲”和“有空闲”对立起来，构成冲突，让学生面临不是每次人数都正好的情境，这时即使“有空闲”，也是最优方案。同时通过“第五分钟最多可以通知几人”的探讨，让学生体会到通知的人数是一个区间数，不是定值，体会“打电话”的灵活性。

3.深度建模，提炼优化方法

“打电话”优化方案中蕴含着一个数学模型，可以用数学符号构建模型，表示其中的数量关系和变化规律，也就是说，我们不能为了优化而优化，而应通过模型的构建引导学生寻找解决问题的策略。

（1）数形结合，深入分析数据。在设计方案时，学生通过对比，会选择用图示法来呈现。在用图形和数字表示的时候，教师要提示学生表示出数量之间的关系和变化规律，将数据整理成表格的形式，数形结合，便于更直观地发现其中的规律。

在整理时，表1的每一个数据都应和图示对应起来，比如第三分钟新通知4人，在图中指的是哪一块？第4分钟已经通知15人，又是指向哪里？只有弄清楚这些，深入沟通数据和图形之间的关系，才能更好地发现其中的规律。

（2）发现规律，感受几何倍增。通过观察—猜想—验证—归纳，学生很容易发现其中隐藏的规律：新通知人数和共知道总人数，每一分钟都在乘2，是因为前一分钟知道的人数，后一分钟都在打电话;已经通知总人数要比共知道总人数少1，这个1指的是老师。这里面的关键是感受几何倍增，而且这种倍增随着时间的变化，对全局的影响也呈几何增长，是一种神奇的力量。

（3）深度建模，抽象优化策略。规律的发现不是难事，如何将其抽象成数学模型才是挑战。这里不要求学生能用“N分钟一共可以通知2的N次方减1”这种表述方式，理解意思即可。完成建模后，教师还要为学生提供运用模型解决问题的机会，增加课堂练习，巩固学生对模型的认知，体验模型对于提高效率、优化策略的作用。构建数学模型，一方面可以促进学生对优化方案的理解和应用，提高学生分析问题和解决问题的能力;另一方面，从优化方案中构建模型，本身就是优化的过程，可以提炼出解决类似问题的一般方法，提高优化的运用广度和深度。

4.思辨升华，感悟优化思想

（1）思辨方案，分析可行性。整节课的学习都围绕“打电话”最优方案的寻求展开，但是学生也不免有疑惑，这个方案真的切实可行吗？它的可操作性又如何？怎样保证在通知的时候不会重复打或漏打呢？对此，教师应鼓励学生大胆质疑，同时引导学生从不同角度对方案进行综合评估，不能单一考虑某一方面因素，要从中选择最合适的方法，这才是真正的优化。只有这样，学生对优化思想才有比较具体的理解和感悟，为优化思想的运用打下扎实基础。

（2）升华思想，感悟便捷性。在课堂总结时，教师可让学生畅谈对优化的理解，借此让学生充分理解数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，感悟运用数学思想解决实际问题的便捷性，提高解决问题的能力。

三、结语

总之，数学课程优化思想渗透教学实践要做到抽离困惑，明确优化目的;紧扣内核，凸显优化本质;深度建模，提炼优化方法;思辨升华，感悟优化思想。除了优化思想，“打电话”还蕴含了很多其他知识点，比如符号意识、建模思想、转化思想、推理能力等。同样，优化思想又不止体现在这个课时，很多知识点都有优化的体现。因此，在数学教学过程中，教师要时刻记得沟通知识点之间的联系，构建知识体系，让学生学会综合运用数学思维思考问题、解决问题，培养学生自主学习能力和自主探究能力，提升学生数学核心素养。

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Separation， Fastening， Depth and Speculation： the Infiltration of Mathematics Curriculum Optimization Thought into Teaching Practice

Huang Zhuqing

（Renhe Central Primary School， Yuhang District， Hangzhou City， Zhejiang Province， Hangzhou 310000， China）

Abstract： "Calling" is a knowledge point of "synthesis and practice"， it contains a large amount of information， carries a lot of mathematical ideas and has a high content of thinking， there are often some difficulties in the teaching of this content， such as low student participation， unable to think deeply， shallow exploration and so on. Guided by the optimization thought and through the sorting and analysis of teaching materials， this paper advocates that on the premise of extracting confusion from the situation， closely follow the optimization core in "calling"， experience the optimization process in comparison， build an optimization model， sublimate the optimization thought in speculation， let students truly understand the mathematical thought contained in solving problems and accumulate mathematical experience， improve the core competence of mathematics.

Key words： mathematics teaching; optimization thought; infiltration; calling; modeling; core competence