于感性课堂培养理性精神

徐淑琴 周龙虎

【摘 要】为达到既定的教学和教育目的，教师需要对教学过程进行优化，使学生积极的学习态度成为教学过程的有机部分。数学讲逻辑、重推理，但数学思考与探究需要感性指引，才能使学生发现数学的美。研究者通过对“独立性检验的基本思想及其初步应用”课例的开发、实践与反思，诠释“从感性出发，将理性引向深处”的内涵，旨在达成有价值的“教”与有效的“学”。

【关键词】感性课堂;理性精神;独立性检验

【作者简介】徐淑琴，一级教师，主要从事数学教育研究;周龙虎，一级教师，华中师范大学数学与统计学学院在读博士研究生，新青年数学教师工作室成员，主要从事数学教育研究。

建构主义学习理论指出，基于原有基本活动经验的学习才是有意义的学习，对知识的建构理解是在与社会文化互动中完成的，因而创设与学科内容相符的情境就显得尤为重要。关于问题情境是否一定是真实性情境，还是要与数学的内部知识演化相关的问题，成为大家争论的焦点。特别是在中学数学教育和小学数学教育的问题上，郑毓信先生也指出这是一种不应有的“两极分化”：中学的数学教育常常被认为附属于数学（倾向后者），小学的数学教育则更明显地表现出受到一般教育学与心理学的影响（倾向前者）。殊不知，我们无论是采用支架式教学模式，还是抛锚式或随机进入，都依赖于情境的作用。情境是一个促进知识理解、迁移的手段，若都可以达成预期的教学目标，我们希望花费在对情境的翻译与转化上的功夫要小一些，毕竟数学学习的重点不能也不应总是数学化的过程。众多数学教育家疾呼“不指望更多的人爱上数学，但至少不能生厌”，或者“尽管他们未必是数学学习中的失败者，但却仍然不喜欢数学”，可见一味苛求学生“耐心、服从、韧性和承受挫折”会给学生的成长带来负面影响。教师的工作应有所创新，学生的学习方式才能有所改善。数学可以用数学的方式以“意”会“理”，于感性处培养理性精神，而不是一味的以理讲理。笔者以“独立性检验的基本思想及其初步应用”的教学设计为例，谈谈一些想法。

一、教学内容解析

“独立性检验的基本思想及其初步应用”是人教A版高中数学选修2-3》第三章“统计案例”第二小节的内容。本节课上承必修模块的概率统计知识，以对典型案例的分析再次强化课程标准所要求的随机性教学思想，并让学生认识到统计方法在决策中的作用;下启概率论与数理统计中的假设检验理论，从假设检验的特殊典范——“独立性检验”的基本思想、方法和初步应用到一般假设检验的理论与方法的学习，实现中学数学与大学数学知识经验的完美对接。

独立性检验与回归分析，均是适合学生知识背景的统计方法，但独立性检验—相关分析的目的是检验两个随机变量的共变趋势（即共同变化的程度），故适用的范围更广一些，现实意义也更大一些，即找到了一种实际生活中不确定问题的科学化处理方式，并提供可信的解释依据。对独立性检验思想的理解和领悟能培养学生的辩证思维、批判精神，并进一步提升学生的理性精神[1]。

由于独立性检验的基本思想内隐于其基本步骤中，从而教学的重点应放在独立性检验的统计学原理的理解上，只有掌握基本步骤的操作性、规则性的知识才能自然“产出”。做独立性检验时，对数据的收集整理及分析基于概率的视角、统计的方法及推理的逻辑，对培养学生的直观想象、逻辑推理及数据分析等核心素养有较大的帮助。

二、教学目标设置

高中数学课程目标指出，学生通过学习应初步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，逐步形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。《普通高中数学课程标准（2017年版）》关于“统计”部分的教学也给出了说明与建议：统计教学必须通过案例来进行。在教学中，教师应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。人教A版和B版的高中数学教材中都举了“隐私问题调查”的例子，很好地体现了统计的思想——提取信息[2]。选修模块更是浓墨重彩的用一个章节对体现统计思想的典例案例进行讨论，揭示了实际生活中经常会面临的预测与推断的问题：在探索更好的统计方法的过程中虽然能给出合理的解释，但终究都会承担犯错误的风险，这是统计的本质。通过对生活中新闻案例的探究，激发学生使用科学化的研究手段分析问题、解决问题的兴趣;通过对典型案例的探究，引导学生直观感受两分类变量可能具有相关性，会自觉运用统计的方法整理数据（尝试多种数据直观化呈现方法，如制2×2列联表或画等高条形图法），理解构造随机变量K2的必要性，掌握独立性检验的一般方法（提出假设检验问题—选择检验的指标—比较指标观测值与临界值的大小关系—给出推断结果及解释），并能初步应用其解决生活中需要判断两个分类变量间关系强弱的问题，加深对统计方法的有效性、局限性及可优化性的认识。但囿于教材事先没有介绍假设检验知识，故独立性检验基本思想的完美呈现将会是一个挑战[3]。

三、学生学情分析

学生已系统学习了统计、变量回归分析等基础知识，具备一定的“重直观、重操作、重优化”基本经验活动。尽管笔者所教授的班级学生具有较强的直观想象、逻辑推理及数据分析的能力，但他们对统计思想特别是统计思维与确定性思维的区别的理解依然是不透彻的，对参与统计全过程的学习机会是欠缺的，因而对典型案例（包括教师选取的、学生自主提出的）的讨论就显得尤为重要。如何引入并建构K2的结构，怎样准确理解独立性检验的基本思想及背后的理據，给出判定时为什么要说明“在犯错误的概率不超过××的前提下”或“有超过××的把握认为”等一系列问题都是学生可能会感到困惑的[4]。根据以上分析，本节课的教学难点确定为理解独立性检验的基本思想，了解随机变量K2的含义。

四、教学策略分析

本节课以问题解决为导向，按照“建构概念—制定规则—实施操作—精致思想—加强应用”递进式的研究思路展开，通过对实例的探究，让学生进一步明确独立性检验的功用、适用范围及背后的统计学原理，提升随机性思想的意识，体会统计方法在决策中的作用。数学源于生活并与之密切相关，为了落实这一课标理念，本节课通过新闻情景的引入，激发学生的探索欲望，让学生体会到所学知识的研究意义与应用价值。为遵循学生由感性到理性，由模糊到精确的认知发展规律，本节课采用从衡量两变量关系的随机变量的直观猜想到合乎情理的科学化论证的研究路径。本节课通过激活直观经验，为学生呈现一系列與独立性检验有关的“小概率反证法”生活实例，自然地引导学生做出两变量无关的原假设。“能否发现足够的证据拒绝或接受原假设”的质疑突显制订判定规则的必要性，进而概括提炼出独立性检验的基本步骤及思想。

五、教学媒体支持

考虑到本节课的教学容量较大及图表、文字等内容较丰富，使用PPT演示文稿辅助教学非常有必要。为直观体现“吸烟”与“患肺癌”的关联性，教师需要演示用EXCEL软件制作等高条形图的步骤。教师在引导学生梳理独立性检验的步骤后，为促使他们进一步理解其基本思想与背后理据，可以通过SPSS统计软件演示独立性检验的整个过程，并请学生操作该软件，让学生真正做到“做中学”“学中悟”。

六、教学过程设计

（一）创设情境，激发兴趣

据新闻报道，美国佛罗里达州一名烟民遗孀将美国一烟草公司告上法庭。原告Cynthia Robinson的丈夫Michael Johnson在1996年因肺癌去世，死时年仅36岁。Robinson的律师表示，Johnson从13岁起就每天抽一至三支烟，抽了20多年，“他根本戒不掉，到临死的那天还在抽”。你认为Robinson能胜诉吗？[5]

问题1：根据你的分析，你认为Robinson能胜诉吗？

生1：我认为能胜诉，因为吸烟有害健康，吸烟会减少人的寿命，长期吸烟会增加患肺癌的概率。

师：有道理和医学根据，但爱抽雪茄的英国前首相丘吉尔在医疗水平尚不发达的年代还能活到90多岁呢。

生2：样本容量太小，也不具备随机性，没有说服力。

师：的确，个案往往不能代表整体，说明你有很好的统计意识。

生3：不一定胜诉。吸烟虽有害健康，但得肺癌的因素很多，不一定是吸烟引起的。

师：事实胜于雄辩，我们需要用数据说话。为了使调查数据更形象直观，我们常通过什么方式呈现呢？

生：列表格。

【设计意图】以现实生活问题开启探究之旅，寄寓理性的探究往往源自感性的认识，且是感性的升华。有效的数学课堂问题情境创设有利于提高学生数学学习的专注力，使学生保持积极的思维状态，进而可以有效激发学生的学习潜力。同时使学生体会数学的应用价值，感受使用统计方法研究的必要性。

（二）操作确认，直观验证

问题2：假如我们想通过调查，考察吸烟是否与患肺癌有关，那我们需要用到什么样的数据？

生：我们需要患肺癌人群中吸烟人群的比例与不患肺癌人群中吸烟人群的比例，并研究它们之间的差距。

师：不错，我们要收集必要的特征数据，像这样是否吸烟、是否患肺癌能有不同的“取值”，如吸烟与不吸烟、患肺癌与不患肺癌，我们称之为分类变量，两变量间的相关关系是我们所要研究的。如数学成绩优秀与否与物理成绩优秀与否的相关关系等。

问题3：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9 965人，得到如下结果（见表1），那么吸烟是否对患肺癌有影响？

师：类似于表1，我们称分类变量的汇总统计表为列联表，一般我们研究两个分类变量只取两个值，这样的列联表称作2×2列联表。

生：列联表可以粗略地估计出，在不吸烟样本中，有0.54患肺癌;在吸烟样本中，有2.28患肺癌。因此，直观感知，吸烟对患肺癌可能有影响。

问题4：为了更直观地反映两者间是否相互影响，我们可以用一些特殊图形如三维柱状图、等高条形图法来展示，如图1。（教师演示用EXCEL软件作图过程。）

【设计意图】直观形象的数据呈现为观察数据特征带来便利，用多种统计图激发学生的直观感知力，为选用更具科学性的统计手段研究两个分类变量的相关关系做好铺垫。

（三）启发引导，理性构建

师：但事实真如我们的图象所示吗？为了使问题的讨论更具一般性，我们使用初一学习过的“以字母代数”，得出2×2的列联表（见表2），具体应如何讨论呢？

生1：就是要看ba+b-dc+d的大小，该值越大，则说明吸烟与患肺癌关系越强，反之越弱。

生2：也可以看aa+b-cc+d的大小。

师：不错，最终都是转化为讨论|ad-bc|的大小。实质上我们所说的“有多大的把握认为‘吸烟与患肺癌有关”是数学中的什么问题？

生：概率问题。

师：那好，我们不妨设事件“吸烟”为A，事件“患肺癌”为B，我们认为吸烟与患肺癌有关，即事件A与事件B有关，那么问题的另一面是什么？

生：事件A与事件B无关，也就是事件A与事件B相互独立。

师：我们就可以得到一系列的相互独立事件的概率公式，如P（AB）=P（A）·P（B）;P（A—B）=P（A—）·P（B）;

P（AB—）=P（A）·P（B—）;P（AB）=P（A—）·P（B—）。因此，我们就可以通过概率知识来讨论“吸烟”与“患肺癌”两事件的关联性。

生：以事件的频率代替概率，看四个概率公式的左右两边的差距的大小。若差距都很大，说明吸烟与患肺癌关系越强;若差距都很小，则说明关系越弱。

师：不错，确切地，我们应判定哪个代数式的大小呢？

生：跟刻画数据稳定性的方差公式一样，求四个差距的平方和，化简整理后是n（ad-bc）2（a+b）（a+c）（c+d）（b+d），（n=a+b+c+d）。与之前的式子里都有相同的结构式|ad-bc|。

师：为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造出了随机变量：K2=n（ad-bc）2（a+b）（a+c）（c+d）（b+d），（n=a+b+c+d）。

【设计意图】在教师引导下学生尝试用多种方法推导刻画两分类变量关系强弱的随机变量，加深了对其中相同结構“|ad-bc|”的理解，并借用反证法的思维模式实现了概率视角下事件独立性与两分类变量独立的问题转化，为辨析独立性检验与反证法的基本思想做铺垫。从对两变量相关性的感性猜想到这一环节严谨缜密的理性推演的思维互动历程，彰显了数学思维的全面性。

（四）科学探究，归纳概括

问题5：若不清楚两分类变量是否有关，但事件相互独立的情形我们是可以研究的。不妨假设两分类变量是否无关（相互独立），看是否推出矛盾，即先假设H0：吸烟与患肺癌无关。用频率近似代替概率，在H0成立的条件下，K2应该越大越好还是越小越好？为什么？

生：越小越好。

师：不错。也就是K2越大，就拒绝原假设H0，也就是认为它们有关。那究竟多大才能认为它们有关，多小才能认为它们无关呢？

（学生沉默没有回答。）

师：因此，这就需要一个临界值，需要一个规则，临界值在什么范围内就认为它们关系强，在什么范围内它们关系就弱，类似于这样的临界值，我们研究过吗？

生（抢答）：这就是二分法，给出一个精确度，才是一个算法，否则可能无限做下去。

【设计意图】建构知识网络结构的主要方式是顺应和同化。数学中的规定、统计学上的部分结论都是在内部发展中自然催生的，揭示其共性（或异性）特征及背后的规律是数学学习的重要内容。

师：计算出随机变量K2的观测值k，并给定一个临界值k0，就建立一个判断H0是否成立的规则。若k≥k0，则判定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”;若k

师：请问统计值是怎么得来的？比如说6.635。

（学生陷入思考。）

师：好比正态分布中，若有一个随机变量服从标准正态分布N（0，1），根据3σ原则，则落在区间（-3，3）外取值的概率的概率只有0.0026，这里的临界值-3与3就是一样的含义。一般地，如果K2≥6.635，就判定不成立，这种判断出错的可能性有多大？

生：出错的可能性不会超过1。

师：像这种随着随机变量的卡方值来判断在多大程度上认为两个分类变量有关的方法叫作“独立性检验”。通过以上研究，同学们能否总结出独立性检验的步骤？

生：（1）提出假设：事件A与事件B无关（假设事件独立）;（2）根据列联表与公式计算卡方值;

（3）对照临界值表，下结论。

【设计意图】理解随机变量K2是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的意义，有助于学生理解独立性检验的基本思想。

（五）辨析对比，深化认识

问题6：独立性检验的基本思想与数学中哪种方法类似？

生：反证法。

师：是的，小概率的反证法。“路边苦李”就是运用反证法的典型例子。

（教师用课件展示“路边苦李”的故事。）

师：那这两种方式是否完全一样呢？

生：数学中的反证法是证明命题正确的严格方法，而独立性检验依赖于调查样本数据，做出的判断有可能是假的，就好比是频率分布直方图中的三数（平均数、中位数、众数）也不一定是准确的。

（教师展示表4，并请学生完成。）

【设计意图】对独立性检验与反证法的目标、理据及操作步骤进行对比与辨析，有效地沟通新知与旧知，使学生进一步理解独立性检验的基本思想，并学会用联系的视角看待事物。

（六）学以致用，总结提升

师：让我们回到课前的官司，烟民的遗孀能胜诉吗？

生：能，计算出K2的观测值k≈56.632，观察临界值表知P（K2≥6.635）≈0.01，故在犯错不超过0.01的情形下认为吸烟与患肺癌有关系。

师：依我看，数学成绩好的同学往往数学归纳整理得也好，也就是说它们是有关的，你同意这种说法吗？怎样用刚学习的知识进行研究？

生：我们认为应该从调查研究开始，分别统计样本中数学成绩好与数学成绩不太好的同学中数学归纳整理做得好与不太好的人数。

师：很好，同学们能用统计思想解决生活中的实际问题。为便于统计数据，我们应首先从调查研究，收集数据做起，其次才是分析数据、处理数据，真正撬开“数据的嘴巴”。

【设计意图】首尾呼应，利用习得的知识解决课前提出的问题，让学生切实体会独立性检验在决策中的作用，并构画出“以情入理、由理入情、情理相融”的课堂探究蓝图。

师：看来大家对于独立性检验的基本思想已经掌握得不错了，接下来我们再看另一个具体的问题。

例1 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选修该课程的一些学生的情况，具体数据见表5，请问是否有97.5以上的把握认为主修统计专业与性别有关？

生：为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表5中的数据，得到K2=50×（13×20-10×7）223×27×20×30≈4.844<5.024，所以没有97.5以上的把握认为主修统计专业与性别有关系。