切换拓扑下多自主体系统的事件触发一致性控制

尚 宇 ,刘成林 ,曹科才

(1.江南大学自动化研究所轻工过程先进控制教育部重点实验室,江苏无锡 214122;2.南京工程学院自动化学院,江苏南京 211167)

1 引言

近年来,随着传感与检测技术、数字控制技术和无线通信技术的发展,多自主体系统的一致性问题引起了众多学者的关注,并在智能电网[1]、航空航天[2]、传感网络[3]等工程领域得到了广泛应用.一致性问题[4–6]是指利用自主体的局部交互信息设计合适的控制算法,使所有自主体的状态最终达到相同.

在实际工程中,自主体通常配备小型嵌入式微处理器,其通信、计算、存储和执行能力都是有限的,并且高频通信会阻塞通信信道,造成数据包丢失、通信时延增加、吞吐量减小等不良影响.为了提升多自主体系统的资源利用率,事件触发机制被广泛应用到一致性算法中[7].在事件触发控制中,触发器设有预定义的测量误差触发函数,只有当该函数超过触发阈值时,才会进行邻居自主体间的通信和控制器的更新.目前,事件触发一致性算法的研究成果大部分局限于固定连通拓扑[8–11].文献[8]研究了无向拓扑和通信时延下线性多自主体的领导跟随一致性问题,设计了一种分段常数控制信号,控制器只在触发时刻更新,触发间隔内用零阶保持器保持控制信号,并利用代数图论、矩阵论和时延系统稳定性理论,得到了自主体渐近达到一致的充分条件.文献[9]利用估计器代替零阶保持器,在触发间隔内估计邻居自主体的状态,设计了一种连续更新的事件触发控制器来降低通信负担,并使得一阶线性自主体系统能够渐近达到一致.针对有向拓扑下一阶非线性多自主体的一致性问题,文献[10]设计了一种状态依赖触发函数,得到了在强连通拓扑下自主体渐近达到一致的充分条件,并将结果扩展到有向生成树结构.此外,文献[11]考察了符号拓扑下二阶非线性多自主体系统的双向一致性问题,在事件触发函数中加入了指数函数来降低触发率.

然而,由于通信能力、传感范围等限制因素,自主体间的连通关系往往是随时间变化的[12],且切换拓扑下的一致性分析比固定拓扑更具挑战性.针对一阶非线性多自主体系统,文献[13]考虑强连通切换拓扑的情况,设计了一种分段常数事件触发控制信号,并通过构造Lyapunov函数得到了反馈增益和耦合强度参数的范围.此外,文献[14]针对不含有生成树的切换拓扑,利用邻居的连续状态信息设计了一种分布式事件触发函数,通过迭代法计算自主体间的最大距离,得到了自主体达到有界一致的充分条件.针对二阶非线性多自主体系统,文献[15]考虑切换拓扑双向连通的情况,提出了一种与系统动态相关的事件触发函数,文献[16]则针对包含有向生成树的切换拓扑,提出了一种状态依赖的事件触发函数.针对阶线性多自主体系统,文献[17]考虑切换拓扑为双向连通的情况,利用零阶保持器设计事件触发控制协议,触发函数与拓扑切换的具体时间相关,并利用坐标变换得到了自主体达到一致性的充分条件.虽然文献[13–17]的算法可以降低控制器和执行器的更新频率,但触发函数需要邻居自主体的连续状态信息,这在实际工程中难以实现.为了降低通信负载,避免自主体间连续的通信,文献[18]利用线性动态特性对邻居状态做指数估计,触发阈值由状态估计值和指数函数构成,在切换拓扑是联合连通的前提下,分别得到了一阶同构多自主体系统达到状态一致和一阶异构多自主体系统达到输出一致的充分条件.此外,文献[19]考虑切换拓扑的子图包含有向生成树的情况,利用自主体间的离散通信信息,设计了一种包含衰减指数的阈值函数,分析了一阶线性多自主体系统的领导跟随一致性问题.在文献[19]的基础上,文献[20]进一步考虑切换拓扑的子图不具有生成树的情况,提出了一种基于状态观测的事件触发算法,并利用矩阵论和Lyapunov函数得到自主体渐近达到一致的充分条件.但是,文献[19–20]需要构造与线性动态相关的正定矩阵,不适用于具有非线性动态的自主体.

基于上述讨论,本文研究切换拓扑下一阶非线性多自主体的一致性问题,考虑的切换拓扑的子图可以不包含有向生成树,弱化了文献[13,15–19]的拓扑要求.针对文献[13–16,19–20]算法中通信和系统动态的局限性,利用一阶保持器来减少触发率,提出了一种分布式事件触发控制算法,可以避免自主体间的连续通信.根据迭代法和不等式方法,得到了多自主体系统达到有界一致的充分条件.此外,构造了触发阈值和测量误差的比值函数,利用比值函数的微分方程来求解触发间隔的下界,证明了触发间隔始终为正常数,自主体不存在连续触发行为,排除了Zeno现象.

符号说明:R 表示实数集,N 表示非负整数集;RN×N表示N ×N维矩阵;‖.‖表示欧式范数;D+表示Dini导数.

2 问题描述

2.1 图论

2.2 模型描述

考虑N个一阶非线性多自主体构成的多自主体系统,动态模型如下:

则称多自主体系统(1)能够实现有界一致.

3 事件触发一致性算法

本节先利用一阶保持器构造控制信号,再设计相关的事件触发条件.

3.1 事件触发控制信号

当触发函数满足阈值条件时,自主体会获得邻居的状态信息并更新控制器,而在触发间隔内,则利用保持器保持控制信号.利用一阶保持器,自主体i的控制输入设计为

注1离散控制信号需要利用数字模拟转换器变为连续控制信号[22],如零阶保持器和一阶保持器.相较于提供分段常数信号的零阶保持器,一阶保持器提供的则是分段线性信号,利用一阶保持器代替零阶保持器是一种减少触发率的可行办法[23].

3.2 事件触发函数

注2控制信号(2)和分布式触发函数(3)使用的是邻居自主体j的离散信息xj()和xj(),而不是连续信息xj(t).因此,自主体间可以避免连续的通信.

注3控制增益c,触发参数φ1,φ2和γ与事件触发间隔和一致性收敛速度有关.通常情况下,减小γ,增大φ1和φ2,触发间隔会变大.另一方面,增大控制增益c,得到的触发间隔会减小,但收敛速度会变快.因此,预先选择这些参数可以得到合适的触发间隔.

4 主要结果

本节先分析多自主体系统的一致性问题,然后考察Zeno现象.

4.1 多自主体系统一致性分析

定义动态误差εij(t)=xi(t)-xj(t),得到最大距离函数

4.2 Zeno现象分析

定理2对于任意初始条件xi(0)和时间t≥t0,若假设1和假设2成立,在运用控制输入(2)和事件触发函数(3)的情况下,多自主体系统(1)不存在Zeno现象.

5 仿真结果与分析

为证明上述理论结果的正确性,考察由6个非线性多自主体构成的一阶多自主体系统,系统动态为

其中非线性项f(xi(t),t)=0.2 tanhxi(t)+sint,得到Lipschitz系数ρ=0.2.切换拓扑如图1所示,子图G1和G2不包含有向生成树,通信边权重均为1.

图1 网络通信拓扑Fig.1 Network communication topologies

选取控制增益c=1,子图切换间隔h=0.2,切换个数T=2,触发函数参数φ1=0.025,φ2=0.01和γ=0.25.验证定理1中条件,可得μ+γ=-3.55＜0,e-γT h=0.9049＜η=0.9144＜1,hc=0.2＜1.

随机选取自主体的初始状态,在控制输入(2)和触发函数(3)的作用下,状态变化轨迹如图2所示,可以看出自主体的状态逐渐趋于有界一致.图3给出了控制输入(2)的变化情况,在一阶保持器的作用下,控制信号为分段线性信号,并且控制输入不断减小.自主体的触发时刻如图4所示,触发时刻是离散的,可以降低通信频率,节约通信资源.此外,图5表示自主体间最大距离‖y(t)‖的变化轨迹,随着时间的增加,距离逐渐趋于有界常数.

图2 自主体的状态变化Fig.2 Evolution of states of each agent

图3 自主体的控制输入变化Fig.3 Evolution of control input of each agent

图4 自主体的触发时刻Fig.4 Triggering instants of each agent

图5 自主体间的最大距离‖y(t)‖Fig.5 The maximal distance‖y(t)‖of agents

定义一致性误差

在满足条件(12)–(14)的前提下改变控制器增益c,对比所提协议(2)(3)和文献[14]中的协议.当δ(t)＜0.1时,平均触发间隔和一致性收敛速度的对比结果在表1中给出,可以看出协议(2)和(3)的平均触发间隔更大.但采用一致性协议(2)和(3)时,触发次数变少使得自主体的控制输入更新频率变低,因此一致性收敛速度要慢于文献[14]的一致性协议.此外,文献[14]的触发函数需要利用邻居自主体的连续信息,而协议(2)和(3)不需要自主体间的连续通信,可以有效降低通信负载,节约有限的通信资源.

表1 平均触发间隔Tat和一致性收敛速度tct的对比Table 1 Comparison on the average triggering interval Tat and the consensus convergence time tct

6 结论

本文考察切换拓扑下一阶非线性多自主体系统的一致性控制问题.利用一阶保持器构造控制信号,设计了一种分布式事件触发算法,可以避免自主体间的连续通信.当切换拓扑的并图包含有向生成树时,根据通信关系将自主体划分为不同集合,采用迭代法和不等式法,计算自主体间的最大距离函数,得到了多自主体系统实现有界一致性的充分条件.此外,利用阈值条件构造了与触发间隔相关的微分方程,证明了触发间隔的下界为正常数,排除了自主体的Zeno触发行为,保证了所提事件触发机制的合理性.