线性连续时滞系统最优预见重复控制

兰永红 ,赵家玉 ,罗毅平

(1.湘潭大学自动化与电子信息学院,湖南湘潭 411105;2.湖南工程学院电气信息学院,湖南湘潭 411105)

1 引言

重复控制是一种基于内模原理的控制方法,能对周期参考输入信号进行高精度跟踪或对周期扰动信号进行有效抑制[1].它的基本思想是在控制系统中引入正反馈时滞环节,利用系统自身的学习机制改善跟踪精度,最终实现无稳态误差地对周期性的参考输入信号进行跟踪或对周期性的干扰信号进行有效抑制[2–3].在过去的几十年里,许多学者对此作了深入研究,提出多种重复控制结构和算法,并在脉宽调制(pulse width modulation,PWM)逆变器整流控制、机械搬运、自动装配、工业机器人等领域得到了广泛应用[4–6].

预见控制是一种扩展的前馈控制,它通过充分利用已知未来参考输入信号或未来干扰信号对当前时刻进行控制,从而提高系统跟踪性能[7–8].预见控制从提出至今一直受到学术界的广泛关注.文献[9]全面阐述了预见控制理论及应用研究进展.针对离散系统,文献[10]研究了一类不确定离散时间系统的鲁棒预见控制问题,通过引入积分器,实现闭环系统对参考输入信号的鲁棒无静差跟踪.文献[11]研究了一类既有状态时滞又有输入时滞的线性离散系统的预见控制问题.文献[12]在互联拓扑包含一棵有向生成树的条件下,研究了离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪问题.文献[13]研究了一类基于预见控制观测器的Lipschitz非线性离散系统的轨迹跟踪控制问题.需要指出的是,离散系统的预见控制问题可以转化为离散系统的稳定化问题.因而控制器的设计可以借鉴已有的方法得到很好的解决.不同于离散系统,连续系统的预见控制问题本质上是一类非自治系统的稳定性问题,这类问题的处理方法相对有限.文献[14]针对一类具有状态和输入时滞的线性连续系统,基于线性二次调节(linear quadratic regulation,LQR)获得了最优预见控制器设计方法.以此为基础,文献[15]研究了一类线性连续时滞系统的有限时间有界跟踪控制问题.文献[16]进一步研究了一类线性参数变化系统基于降阶估计的容错预见跟踪控制问题.

尽管重复控制和预见控制均已取得了较为丰硕的成果,但是将两者结合起来的研究,其相关成果并不多见.早期的研究,主要针对离散系统,采用LQR方法进行控制器设计[17–18].文献[19]针对线性离散系统,提出了一种滑模预见重复控制器设计方法.文献[20]提出了一种更广义的离散时间最优预见重复控制方法,提出的控制系统包含了相位超前补偿.文献[21]针对一类不确定线性离散系统,提出一种基于预见补偿和观测器的重复控制器设计方法.文献[22]针对一类不确定线性离散时滞系统,提出了一种保性能预见重复控制器设计方法.文献[23]针对一类多项式不确定线性离散系统,提出了鲁棒保性能预见重复控制器设计方法.这些结果主要采用基于Lyapunov泛函的线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)处理方法.如前所述,该方法不适于连续系统的预见重复控制.文献[24]针对一类线性连续系统,采用LQR方法,提出了基本型最优预见重复控制设计方法,并将所设计的控制器应用于永磁同步电机调速问题.值得注意的是,对于时滞系统的预见重复控制,国内外还未见相关报道.

受以上文献的启发,本文针对一类线性连续时滞系统,研究基本型最优预见重复控制设计问题.主要创新点如下:1)通过一种线性等价变换,将时滞系统转化为无时滞系统,并利用L阶差分算子提升技巧,获得包含状态变量导数及跟踪误差的增广系统;2) 根据基本型重复控制输出与跟踪误差的关系表达式,定义一种新的性能指标,将预见重复控制设计问题转化为非自治线性系统LQR问题;3)基于最优控制理论,获得了原系统的最优预见重复控制器.该控制器包含了已有文献的多种控制器形式.

2 问题描述

考虑由如下状态空间模型描述的线性连续时滞系统:

其 中:x(t)∈Rn×1,u(t)∈Rq×1,y(t)∈Rp×1分 别是系统的状态向量、控制向量和输出向量;A0∈Rn×n,A1∈Rn×n,B ∈Rn×q,C ∈Rp×n,0D ∈Rp×q是具有相应维数的常数矩阵;τ ＞0是系统状态的滞后时间.

对被控系统(1)及给定参考输入信号r(t)作如下假设:

假设1A0为可逆矩阵.

假设2令A=[A1A[0-1(eA0τ -I)+eA0τ]-1·A1+A0.假设(A,B)稳定,行满秩,且(A,C)可检测.

假设3参考输入信号r(t)∈Rp×1是周期为L的分段连续可微函数,且参考输入信号r(t)的可预见步长为lr,即在t≤θ≤t+lr的任意时间θ,r(θ)已知,且预见步长与状态时滞τ满足:0＜lr＜L.

注1假设3是预见控制理论中关于参考输入信号r(t)的基本假设.实际上,预见信号对控制系统性能仅在有限步长内有显著的影响,当预见信号距离当前时刻较远时,对系统性能的影响并不大.普通的反馈控制系统没有利用可预见参考输入信号r(t),相当于预见步长为零[8].

基本型连续重复控制系统如图1 所示.图中:CR(s)表示重复控制器,v(t)为重复控制器的输出,其时域形式为

图1 基本型重复控制系统Fig.1 The basic repetitive control system

为系统的跟踪误差,L为时滞环节的延迟时间,等于参考输入信号r(t)的周期.

注2Inoue等[1]指出,当被控对象相对阶等于0时(系统输出y(t)中含有前馈直达项,即D不为0),在系统中直接引入形如式(2)所示的重复控制器能使系统稳定,而对于相对阶大于0(D为0)的控制对象,该重复控制器是不能使系统稳定的.为了稳定相对阶大于0的控制对象,Hara 等[2]通过在时滞环节中插入一个低通滤波器,构造了改进型重复控制器,通过牺牲对高频成分的跟踪性能来保证系统的稳定性.

本文研究系统(1)的预见重复控制跟踪问题,其目的是设计一个带有预见补偿,且包含形如式(2)所示的基本型重复控制器输出的跟踪控制器,使得闭环系统的输出y(t)能够无静态误差的跟踪参考输入信号r(t),即

3 预见重复控制器设计

本节首先通过一种线性等价变换,将时滞系统转化为无时滞系统.然后利用L阶差分算子,获得包含状态变量导数及跟踪误差的增广系统.在此基础上,通过定义一种新的性能指标,将预见重复控制设计问题转化为线性二次调节问题.

针对时滞系统(1),定义线性变换[14]

注4不同于预见控制方法常见的性能指标函数,式(18)中增加了指标T(t)Qe(t).借助最优控制方法,可求得増广系统(16)–(17)在性能指标函数(18)下的最优控制律Δ(t).进一步,通过对Δ(t)积分,并由e(t)=Δv(t),可望获得包含预见和重复控制补偿的最优控制器(最优预见重复控制器).

综上可见,线性连续时滞系统(1)最优预见重复控制设计问题可以转化为增广系统(16)(17)在性能指标函数(18)下的线性二次调节问题.

下面将基于最优控制理论,给出线性连续时滞系统(1)最优预见重复控制器存在条件及控制器参数求解方法.

首先,给出如下必要引理.

由式(45)可见,本文提出的闭环控制系统结构框图如图2所示.图中,CR(s)为基本型重复控制模块,DL(s)是时滞补偿项,NL(s)是前馈预见补偿项,Fx,Fv,Fe分别为状态反馈控制器、重复控制器、误差积分控制器的增益矩阵.

图2 预见重复控制系统结构框图Fig.2 Structure diagram of preview repetitive control system

注5最优预见重复控制器(19)由5部分组成:第1部分是状态反馈控制器,用来提高每个周期内系统的稳定性;第2部分是基本型重复控制器,用来提高周期之间的学习性能;第3部分是前馈误差积分补偿器,用于消除静态误差;第4部分是时滞补偿项,用于消除时滞对系统状态的影响[14],第5部分是前馈预见补偿控制器,以提高闭环系统的跟踪性能.特别地,若不考虑重复控制及时滞(Fv=0,τ=0),则定理1退化为文献[7]的定理1.若不考虑重复控制及预见补偿(Fv=0,lr=0),则定理1退化为文献[14]的定理5.若被控对象(1)不含时滞项(τ=0),则定理1退化为文献[24]的定理1.可见本文设计的控制器包含了已有文献的相关结果,从而应用范围更广.

注6预见步长的选取一直是预见控制理论中一个值得深入研究的问题.文献[25]给出了一种可行的参考方法,即利用性能指标函数值的变化来选取合适的预见步长.具体地,可以定义性能指标.

通过选取目标阈值(一般为0.001)来确定预见步长.例如

则取预见步长为lr.

另一方面,二次型性能指标中权重矩阵的选取也是LQR问题的一个难点.一般经过反复试凑来获得合适的权矩阵.近年来,LQR问题权重矩阵的选择已有多种优化算法相继提出.例如基于粒子群优化算法的LQR[26]和基于遗传算法的LQR[27].这些方法,为进一步优化预见重复控制器的参数提供了很好的借鉴.

注7本文基于LQR的预见重复控制设计方法,可以通过求解ARE(20)来获得控制器的增益矩阵.由于该方法要求被控对象具有精确的数学模型描述,因而定理1不能直接应用于不确定被控对象.文献[28]已经证明,ARE方程的求解可以转化为一类LMI的可行性问题.文献[29]针对不确定线性系统,提出了一种基于LMI的鲁棒LQR方法.因而不确定线性系统的预见重复控制问题可以借助LMI处理技巧得到很好的解决.另一方面,对于具有外部干扰的不确定线性系统,可以在定理1的基础上引入等价输入干扰[30]来抵消和抑制外部扰动,以此增强系统的鲁棒性和自适应性.

4 数值仿真

考虑如下线性连续时滞系统:

取参考输入信号r(t)为

经过反复试验,发现权重矩阵取

时,系统输出响应具有较小的超调量和较快的响应速度.

为了说明不同预见步长对系统输出的影响,对给定的系统状态时滞τ=0.1,分别取预见步长为lr=0.1,lr=0.5,lr=1.0进行仿真分析.系统仿真结果如图3–4所示.由图可见,取lr=0.1时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.2053,调节时间约为12.29 s;lr=0.5时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.1719,调节时间约3.71 s;lr=1.0时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.1553,调节时间约3.49 s.可见,无论预见步长取多少,系统输出都能准确的跟踪参考输入信号r(t),且随着预见步长的增加,系统输出的超调量明显减小,能够更快的跟踪参考输入信号r(t).当预见步长达到一定值后,继续增加预见步长对系统动态性能的提升不大,甚至还会引起系统误差的增大,而这与文献[7]的结论相一致.

图3 不同预见步长下系统输出响应Fig.3 System output responses with different preview steps

为了说明时滞对系统输出的影响,对给定的预见步长lr=0.1,分别取状态时滞τ=0.1,τ=0.4,τ=0.5进行仿真分析.应用定理1和式(46)给出的权重矩阵,可分别求得如下控制器增益

图4 不同预见步长下跟踪误差Fig.4 Tracking errors with different preview steps

系统仿真结果如图5–6所示.由图可见,τ=0.1时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.2053,调节时间约为12.29 s;τ=0.4时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.2523,调节时间约为14.78 s;τ=0.5时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.3331,调节时间约为15.25 s.可见,在不同状态时滞下,系统输出响应都能准确地跟踪参考输入信号.这也说明,时滞补偿项的引入,能有效降低时滞带来的影响.

图5 不同时滞下系统输出响应Fig.5 System output responses with different time delays

接下来验证本文所设计的控制器的鲁棒性.设线性连续时滞系统具有如下状态空间表达式

其中,A0,A1,B,C,D如式(1)所示,不确定性矩阵

图6 不同时滞下跟踪误差Fig.6 Tracking errors with different time delays

当预见步长lr=0.1时,分别取τ=0.1,τ=0.4,τ=0.5.仿真结果如图7所示,由图可见,当τ=0.1时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.2147,调节时间约为14.94 s;当τ=0.4时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.2544,调节时间约为15.54 s;当τ=0.5时,系统跟踪误差的最大峰值约为0.3460,调节时间约为15.78 s.可见,当被控对象系统同时存在参数不确定性和状态时滞时,系统输出依然能有效的跟踪参考输入信号.说明本文所设计的控制器具有较好的鲁棒性.

图7 不确定性系统不同时滞下跟踪误差Fig.7 Tracking errors of uncertain system with different time delays

最后,为了说明本文方法的优越性,将文献[31]基于LMI的重复控制方法与本文所提预见重复控制方法(τ=0.1,lr=0.5),以及无预见补偿重复控制方法(τ=0.1,lr=0)进行比较.

仿真结果如图8和表1所示.由图可见,引入预见补偿后,系统的响应速度和跟踪精度都明显提高.文献[31]基于LMI的重复控制方法,经过4个周期才能进入稳定状态,而本文方法,经过两个周期就达到了较好的跟踪效果,且调节时间更短,系统误差最大峰值更小.表1给出了不同控制方法下系统跟踪误差最大峰值和调节时间对比结果.可以看出,本文控制方法明显提高了系统的响应速度和跟踪精度.

图8 不同控制方法下跟踪误差Fig.8 Tracking errors with different control methods

表1 不同控制方法比较Table 1 Comparison with different control methods

5 结论

本文针对一类线性连续时滞系统,提出了一种最优预见重复控制方法.通过等价变换将时滞系统转化为无时滞系统,然后利用L阶差分算子提升技巧,获得包含状态变量导数和跟踪误差的增广连续系统.在此基础上,通过定义新的性能指标,将预见重复控制问题转化为非自治线性系统的LQR问题.进一步,利用最优控制理论获得原系统的最优预见重复控制器.数值仿真实例表明,所设计的控制器具有较高的跟踪精度和较好的鲁棒性.如何进一步优化控制器参数,以及针对非线性连续时滞系统,设计改进型鲁棒预见重复控制器,将是笔者下一步研究的重点.