具有噪声方差及多种网络诱导不确定系统鲁棒Kalman估计

杨春山,经本钦,刘 政,王建琦

(桂林航天工业学院电子信息与自动化学院,广西桂林 541004)

1 引言

因灵活便利、易维护和低成本,网络化控制系统和传感器网络受到广泛关注,得到了快速发展[1–3].但由于传感器的自身老化或故障,以及通信网络的带宽有限和不可靠性,也带来一系列的问题,如各种网络诱导不确定,观测数据缺失[4]、数据包丢失[5–6]和时延[7]等.同时数据在传送过程中很容易受到外界非线性很强的乘性噪声的干扰.因此,网络化系统的状态估计问题是非常必要且有意义的,也出现了大量的研究结果[8–22].对带网络诱导不确定和乘性噪声的网络化系统的状态估计,常用的方法有Riccati方程方法[8–9]、线性矩阵不等式方法(LMI)[10–11]、最优鲁棒估计方法[12–14]和极大极小鲁棒估计方法[15–22].文献[8]利用观测转换和扩维方法,对带范数有界参数不确定、随机时延和丢包的网络化系统,通过Riccati方程方法,设计了鲁棒Kalman滤波器,对所有可容许的不确定,保证误差方差有上界.Riccati方程的求解多为迭代法,收敛性得不到保证,且不能解决带噪声方差不确定系统鲁棒估计问题.文献[10–11]对带范数有界不确定和单一网络诱导不确定(观测缺失[10]和丢包[11])的系统,使用LMI方法设计了鲁棒滤波器,对所有的不确定性,每个状态分量估计误差方差不超过预置的上界.

假设噪声统计精确已知的情形,使用扩维方法、新息方法和线性最小方差(LMV)方法,文献[12–14]设计了最小方差意义下的最优鲁棒滤波器.该滤波器在随机不确定干扰下可保证最优性.文献[12]使用扩维方法,对自相关过程噪声、一步随机观测滞后和观测缺失的系统,设计了最优滤波器.文献[13]对带乘性噪声和丢包系统,提出使用丢失观测的预报值补偿的策略,使用新息方法和线性无偏最小方差估计准则,设计了最优线性滤波器.文献[14]对信道衰减的网络化系统,应用新息方法设计了最优线性滤波器.

极大极小鲁棒估计方法是对最坏情形保守系统设计最小方差滤波器,可极小化滤波误差方差.常用的极大极小鲁棒估计方法有H∞鲁棒滤波方法[15–17]和基于Lyapunov 方程方法的极大极小鲁棒滤波方法[18–22].H∞鲁棒滤波可将不确定干扰到估计误差的最坏情形能量增益极小化或小于预置指标,分别使用Riccati方程方法[15]、博弈论[16]和LMI方法[17]求解H∞滤波器.基于Lyapunov方程方法的极大极小鲁棒估计原理,是假设噪声方差未知不确定,但有已知保守上界,对带保守上界的最坏情形系统设计最小方差滤波器,通过Lyapunov方程方法证明鲁棒性.文献[18–20]对带不确定方差、乘性噪声和单一的网络诱导不确定系统,研究了保最小上界鲁棒Kalman估计问题,对所容许的不确定,保证实际误差方差有最小上界,其中丢包[18]、观测缺失[19]、随机观测滞后[20]3种网络诱导不确定分别被考虑.在此基础上,文献[21–22]对不确定方差、乘性噪声和两种网络诱导不确定系统,解决了保最小上界鲁棒Kalman估计问题,如随机观测滞后和丢包[21]、随机观测滞后和观测缺失[22]分别被考虑.目前,综合评价系统中同时具有不确定方差、乘性噪声和3种网络诱导不确定(观测缺失、丢包和随机观测滞后)的鲁棒估计问题尚未见报道.

本文对不确定噪声方差、乘性噪声、观测缺失、丢包和一步随机观测滞后的混合不确定网络化系统,应用带虚拟噪声的扩维方法将其转化为等价的带随机参数的扩维系统,然后应用去随机参数方法转化为常参数、噪声统计时变且相关的系统.基于极大极小鲁棒估计原理,设计鲁棒时变和稳态Kalman估值器.应用扩展的Lyapunov方程方法(包括两个广义Lyapunov方程)和矩阵分解方法证明了鲁棒性.完成了收敛性和精度关系证明.

本文中Rn表示n维Euclidean空间,Rn×n表示n×n矩阵,Prab(A)表示事件A发生的概率,上标“s”和“T”表示稳态和矩阵的转置,E[A]表示随机变量的数学期望,tr(·)表示矩阵的迹,diag{·}表示对角阵,In表示n阶单位矩阵,O 表示适当维数的零矩阵,⊗和δij表示Kronecker乘积和Kronecker函数.

2 问题描述

考虑带不确定噪声方差、乘性噪声、观测缺失、丢包和一步随机观测滞后的混合不确定网络化系统

其中:x(t)∈Rn为系统的状态向量,z(t)∈Rm为传感器的观测输出;传感器输出经传输网络传送到估值器的观测为y(t)∈Rm;w(t)和v(t)分别为系统的输入噪声和观测噪声;γi(t)为状态相依乘性噪声,Φ,,Γ和H为已知适当维数的常阵.

传感器老化或故障、连接传感器和估值器的传输网络带宽有限和不可靠性等原因,将导致观测缺失、数据包丢失和观测随机延迟或滞后,本文使用ξ(t)和λ(t)两个Bernoilli随机变量共同描述这些不确定.ξ(t)和λ(t)不相关于w(t),v(t)和γi(t),它们取值1或0的概率为

其中0 ≤πλ,πξ≤1.由式(2)和式(3),有以下4种情形:

1) 如果ξ(t)=1,λ(t)=1,表示传感器和传输网络均正常工作,估值器及时收到正确的数据.

2) 如果ξ(t)=1,λ(t)=0,表示传感器输出正常,传输网络异常,估值器不会及时收到正确的数据,则使用前一时刻的传感器观测输出进行估计,则y(t)=z(t-1),即一步观测滞后.

3) 如果ξ(t)=0,λ(t)=1,表示传感器输出的数据包仅包含观测噪声,而传输网络正常,但估值器无法识别和判断这样错误的数据,仍然使用收到的观测进行估计,则y(t)=v(t),发生观测缺失.

4) 如果ξ(t)=0,λ(t)=0,表示传感器和传输网络均异常,则使用前一时刻估值器收到的观测y(t-1)进行估计,y(t)=y(t-1),即发生了丢包.

注1观测缺失和丢包容易混淆,观测缺失一般发生在传感器节点,传感器获得并封装的数据不包含状态信息,仅包含观测噪声v(t).该数据包经传输网络传送到估值器,估值器不能通过差错检验分辨数据包的错误,仍使用仅包含观测噪声的数据包进行估计.而丢包是传感器节点获得正确的数据并封装,但经传输网络传送过程中,因网络的不可靠性等原因,该数据包没有被传送到估值器,发生的数据包丢失.

注2对实际系统和保守系统定义如下:带实际方差的系统(1)–(3)称为实际系统,它的状态和观测分别称为实际状态和实际观测.带方差的已知保守上界Q,R,和P0的系统(1)–(3)称为最坏情形(保守)系统,它的状态和观测分别称为保守状态和保守观测.实际观测是通过传感器获得的,是已知可利用的;而保守观测是未知不可利用的.极大极小鲁棒估计原理是对最坏情形系统(带最大噪声方差和初始状态方差保守系统)设计最小方差估值器,即极大极小鲁棒估值器.

本文对不确定噪声方差、乘性噪声、观测缺失、丢包和一步随机观测滞后网络化系统(1)–(3),基于极大极小鲁棒估计原理,设计鲁棒时变Kalman估值器ˆx(t|t+N)和鲁棒稳态Kalman估值器(t|t+N),其中N=-1时为预报器,N=0时为滤波器,N ＞1时为平滑器.

3 模型转换

定义虚拟噪声

并引入扩维的系统状态xa(t)和噪声wa(t)

则原系统(1)–(3)等价于扩维系统

则扩维系统(8)和(9)可转化为带常参数和时变虚拟噪声统计的系统

其中定义虚拟噪声

为获得wf(t)和vf(t)的噪声统计特性,首先给出几个相关引理,引理证明见附录.

引理1[6]若Ri ∈Rmi×mi和D ∈Rm×m是半正定的,则有

引理2在假设1–3下,对所有可容许的不确定方差(6),x(t)的保守和实际非中心二阶矩X(t)和(t)分别满足以下广义Lyapunov方程:

带保守和实际的初值分别为

引理3在假设1–3下,对所有可容许的不确定方差(6),wa(t)是均值为零的白噪声,有保守和实际的方差

wa(t)与v(t)是线性相关的,保守和实际的相关矩阵为

且ΔQa(t)=Qa(t)-(t)是半正定的,即

引理4在假设1–3下,对所有可容许的不确定方差(6),扩维状态xa(t)的保守和实际非中心二阶矩Xa(t)和(t)分别满足以下广义Lyapunov方程:

且wf(t)和vf(t)是线性相关的,保守和实际的相关阵分别为

问题转化为对常参数、线性相关噪声的不确定虚拟噪声方差时变扩维系统(17)和(18),设计极大极小鲁棒Kalman估值器.再利用x(t)和xa(t)的关系,可得原始系统的鲁棒Kalman估值器.

4 鲁棒时变Kalman估值器

4.1 鲁棒时变Kalman预报器

对带虚拟噪声方差保守上界Qf(t),Rf(t)和相关阵Sf(t)的最坏情形扩维系统(17)和(18),在假设1–3条件下,应用极大极小鲁棒估计原理,保守时变Kalman预报器[18]

4.2 鲁棒时变Kalman滤波器和平滑器

定理2对于带虚拟噪声方差保守上界Qf(t),Rf(t)和相关阵Sf(t)的最坏情形扩维系统(17)和(18),在假设1–3下,实际时变Kalman滤波器和平滑器(48)是鲁棒的,即对所有容许的不确定性(6),有

注3称实际Kalman预报器(37)和实际滤波器和平滑器(48)为鲁棒Kalman估值器,称不等式(46)和(54)为它们的鲁棒性.鲁棒Kalman估值器(37)和(48)均为固定的估值器,它们的参数仅与虚拟噪声方差保守上界有关,与不确定实际方差无关,它可保证实际估计误差方差有最小上界,即满足式(46)和式(54).

推论1根据x(t)和xa(t)的关系,原始系统(1)–(3)的鲁棒时变Kalman估值器为

其中Cx=[In,O,O],实际和保守的估值误差方差为

且P(t|t+N)是实际方差阵(t|t+N)的最小上界.

定理3带不确定噪声方差、乘性噪声、观测缺失、丢包和一步随机观测滞后的混合不确定网络化系统(1)–(3),在假设1–3下,鲁棒时变Kalman估值器有以下矩阵不等式精度关系

和矩阵迹不等式精度关系

证由定理1和2,以及推论1,易得不等式(59)成立.根据文献[18]易得式(60)成立.对式(59)和式(60)取迹运算,可分别得式(61)和式(62)成立.

证毕.

5 收敛性分析

定义矩阵A和B分别为

如果A和B的谱半径小于1,即ρ(A)＜1和ρ(B)＜1,则有

注4文献[23–26]对不确定随机观测网络化系统,研究了随机变量概率对估计误差收敛性的影响.其中,文献[23]使用Bernoilli随机变量描述随机观测数据,对不稳定但能观能控系统,给出了随机变量概率的阈值,当观测数据到达的概率大于阈值,估计误差方差对任意初值有界.当观测数据到达的概率小于阈值,估计误差方差对有些初值发散.文献[24]提出当随机变量概率接近1时,随机误差方差集合满足好速率函数的中偏差原理.文献[25]对带不确定参数和随机观测系统设计了鲁棒递推状态估值器,并分析了渐进统计特性,给出了伪方差阵收敛于平稳分布的充要条件.在此基础上,文献[26]对马尔科夫链描述的随机观测系统,给出了收敛速率和可简化计算的逼近平稳分布的显示公式.与文献[23–26]不同,本文对带噪声方差和多种网络诱导不确定系统,设计极大极小鲁棒Kalman估值器,对最坏情形系统设计最小方差估值器.对所有容许的不确定(包括网络诱导不确定),保证实际估计误差方差有最小上界.ρ(A)＜1和ρ(B)＜1引出Φ和是稳定矩阵,这保证了稳态Kalman预报器存在.基于稳态预报器,可得到稳态滤波器和平滑器.

且Pa(N)是实际方差(N)的最小上界.

定理4对时变和定常扩维系统(17)和(18),在假设1–3和ρ(A)＜1和ρ(B)＜1条件下,假设观测y(t)有界,时变扩维系统(17)和(18)是完全能检和完全能稳的,则带保守时变噪声统计Qf(t),Rf(t)和Sf(t)的时变系统的鲁棒时变Kalman估值器按实现收敛于带保守定常噪声统计Qf,Rf和Sf的定常系统的鲁棒稳态Kalman估值器(t|t+N),即

符号“i.a.r.”表示按一个实现收敛,相应的误差方差Pa(t|t+N)和(t|t+N)有收敛关系

证ρ(A)＜1和ρ(B)＜1引出Φ和是稳定矩阵,这保证了稳态Kalman估值器存在.应用自校正Riccati的收敛性,动态误差分析方法[27]和动态方差误差分析方法,类似于文献[18]中的证明,可得式(81)和式(82)给出的收敛性关系.证毕.

推论2在定理4条件下,原始系统(1)–(3)的鲁棒稳态Kalman估值器为

相应的实际和保守稳态估值误差方差分别为

对所有容许的不确定性(6),原始系统(1)–(3)的实际稳态Kalman估值器有矩阵不等式和矩阵迹精度关系

且Pa(N)是实际方差(N)的最小上界.还有收敛关系

注5定义鲁棒稳态Kalman估值器的实际误差方差的迹tr(N)为实际精度,保守误差方差的迹(N)为鲁棒精度[6].在不等式(85)中,取N=-1,记P(-1)和(-1)的第(j,j)个对角元素分别为和,它们是鲁棒精度trP(-1)和实际精度tr ¯P(-1)的第j个分量.定义σj和分别为鲁棒Kalman预报器的第j个分量的鲁棒和实际标准差.则引出精度关系≤σj,j=1,···,n.应用切比雪夫不等式[28],有第j个分量的实际预报误差以大于0.8889的概率落在±3区间内,也落在±3σj区间内.特别地,当预报误差服从正态分布时,预报误差在±3内的概率超过0.99.

6 仿真算例

考虑F-404航空发动机系统[29],采样周期T0=0.1 s,则离散线性系统矩阵

在F-404航空发动机模型中,x1(t)和x2(t)表示水平位置,x3(t)表示飞行高度.在实际应用中,发动机系统模型会受到强风、重力梯度和传感器噪声等影响.机载监控系统可通过传感器获得发动机状态信息,但军事环境下,传感器和传输网络易受到干扰和攻击,因此发动机监控系统中易出现观测数据缺失、丢包和随机时延等不确定性.在仿真中,系统(1)–(3)中其他参数为

图1 鲁棒时变Kalman估值器的实际和鲁棒精度Fig.1 The actual and robust accuracy of robust time-varying Kalman estimators

表1 鲁棒稳态Kalman估值器的实际和鲁棒精度Table 1 The actual and robust accuracy of robust steady-state Kalman estimators estimators

图2给出了水平位置x1(t)和x2(t)的二步平滑估值,蓝色实线表示实际状态,红色虚线表示实际二步平滑器.

图2 水平位置及其实际二步平滑器Fig.2 The horizontal position and their actual 2-step smoothers

取ρ=10000的Monte Carlo仿真,鲁棒Kalman预报器和平滑器的的均方误差(MSE)曲线如图3所示.其中直线表示实际预报和平滑误差的方差的迹,曲线表示相应的MSE的值.从图3看到,当ρ足够大时,MSE曲线接近直线,这验证了实际采样方差的一致性.

图3 鲁棒Kalman预报器和平滑器的MSE曲线Fig.3 The MSE curves of robust Kalman predictor and smoother

在式(4)中,概率πλ和πξ的值越高,说明发生传感器故障和传输网络异常的情形越少,则实际估计误差越小.为验证这一情况,定义

则π表示观测缺失、丢包和随机滞后3种网络诱导不确定发生的概率.图4给出了鲁棒和实际精度trP(N)和tr(N),N=-1,0,1随π变化情况.可以看到,当π增加时,trP(N)和tr(N)是增加的.

图4 鲁棒和实际精度随π变化情况Fig.4 The variation of robust and actual accuracy with π

进一步考虑不确定噪声方差的影响,对所有可容许的实际方差,定义

图5给出了鲁棒Kalman预报器实际精度trP(-1)随α和π变化三维图.可以看到trP(-1)随着α和π的增加而增加.

图5 鲁棒预报器实际精度随α和π变化Fig.5 The variation of robust prediction actual accuracy with α and π

可得3组水平位置x1(t)的预报估值(t+1|t),l=a,b,c,及相应的预报误差曲线和鲁棒±3σ和实际±标准差线如图6所示.可看到超过99%的预报误差落在±,l=a,b,c区间内,也落在±3σ区间内.

图6 x1(t)的实际预报误差及±3倍鲁棒和实际标准差Fig.6 The prediction errors of x1(t)and their±3 robust and actual standard deviations

7 结论

本文研究了混合不确定网络化系统鲁棒Kalman估计问题,同时考虑了不确定噪声方差、乘性噪声和三种网络诱导不确定,克服了现有文献仅考虑两种网络诱导不确定的局限,发展了现有文献的结果.提出了基于虚拟噪声进行扩维的新模型转换方法,以及基于扩展的Lyapunov方程方法的新鲁棒性证明方法,可用于解决更加复杂的混合不确定网络化系统鲁棒Kalman估计问题及鲁棒性证明问题.

本文基于扩展的Lyapunov方程方法和极大极小鲁棒估计方法,设计了鲁棒时变和稳态Kalman估值器,给出了时变和稳态估值器的收敛性分析,当系统矩阵是稳定矩阵,扩维系统完全能稳时,相应的鲁棒时变Kalman估值器按实现收敛于稳态Kalman估值器.但系统矩阵是稳定的条件在实际应用中限制较为严格,下一步将对不稳定网络化系统设计鲁棒估值器,并研究网络诱导不确定对鲁棒估值器的鲁棒性和收敛性的影响等问题.

附录