离散时滞Lur’e系统时滞依赖性稳定性判据

冯文希 罗 飞 裴海龙 张先勇段文勇

(1.华南理工大学自动化科学与工程学院自主系统与网络控制教育部重点实验室,广东广州 510640;2.广州市标准化研究院广东广州 510050;3.广东技术师范大学自动化学院广东广州 510665;4.盐城工学院电气工程学院,江苏盐城 224051)

1 引言

在工程实践中,时滞总是不可避免的存在,且是造成系统性能下降甚至不稳定的主要原因,因此,时滞系统的稳定性分析一直是控制理论领域的热门话题[1–5].众所周知,时滞依赖的稳定性判据比时滞无关的稳定性判据保守性更低,特别是当时滞很小的时候.因此,为了进一步减小稳定性判据的保守性,很多学者一直不断的改进研究方法.降低稳定性判据的保守性不仅依赖所构造的LKF的有效性,而且依赖松弛的不等式技巧的发展,大量文献针对连续时滞系统做了相关的工作,并提出了比较好的研究策略.比如:隐式LKF[6]、时滞依赖的LKF[7]、向量LKF[8]、其他扩展的LKF[9–11]等;以及时滞分解理论[12]、松弛二次函数负定引理等不等式技巧.而针对离散时滞系统,也有相应的推广,即:离散时滞系统稳定性判据的保守性大小也依赖于所构造的LKF的先进性和求和不等式技巧的发展.近几年来,很多学者把注意力集中在离散时变时滞系统的稳定性分析[13–17].在以上工作中,利用李雅普诺夫稳定性理论,推导出很多基于线性矩阵不等式的稳定性判据.为了使得求和的上界值更接近于真实值,文献推导了一些新颖的自由权重矩阵理论和求和不等式技巧,比如零等式[13]、离散勒让德多项式的不等式[17]等.

另外,各种各样的非线性不可避免的存在于工程实践中,比如:经典的非线性、死区、饱和等.很多非线性系统可以建模成Lur’e 系统,例如:蔡氏电路(Chua’s circuit)、洛伦兹系统(Lorenz system)等.这样的系统可以看作是一个线性动态系统和一个具有扇形有界约束的非线性反馈项组成的闭环系统.近年来,针对含有时变时滞和扇形有界约束的Lur’e系统的稳定性分析问题,很多文献提出了重要的基于线性矩阵不等式的稳定性判据.针对连续的Lur’e系统情形,文献[18–20]的作者通过构造扩展的LKF和利用改进的积分不等式技巧,提出了比已有文献保守性更小的绝对稳定和鲁棒绝对稳定的判据.针对离散的Lur’e系统情形,文献[21–23]利用改进的求和不等式技巧获得了重要的稳定性判据.通过本文作者的查询发现,目前保守性最低的稳定性判据为文献[23]给出的相关结论.在此文献中,在构造LKF的时候,把时变时滞区间分成了一些子区间,从而利用时滞分解的理论获得了新的稳定性判据.最近,针对离散时滞神经网络系统的稳定性分析问题,文献[13]给出了一个改进的基于一般自由权重矩阵求和不等式,并推导出比已有结论保守性更低的稳定性判据.受此启发,求和不等式是一个放大的问题,如果上界值越小,不等式放大带来的保守性越小.且不等式中利用了自由权重矩阵增加了LMI求解自由度,则此类自由权重矩阵的自由度还可以进一步扩充,从而得到自由度更大的情形,可能进一步降低稳定性结论的保守性.更重要的是,在构造LKF的时候,一方面要考虑尽可能多的包含系统状态之间的关系,另一方面要充分利用所改进的不等式技巧,这也是稳定性分析中的难点和重点.以上分析将作为本文的出发点.

本文主要贡献可以总结为下列两点:

1) 根据文献[13]中的一般自由权重矩阵求和不等式技巧,通过进一步增加不等式中自由权重矩阵的自由度而获得了更为一般的求和不等式.这样,增加了稳定性判据中的LMI约束条件的求解自由度,进一步减小该稳定性判据的保守性.最后计算结果验证了此方法的有效性;

2) 基于改进的更为一般的求和不等式引理2,本文改进了相应LKF.和文献[21–25]比较,本文构造LKF的时候在V1(k)和V3(k)中增加了二重求和项,从而LKF中包含更多关于系统不同状态变量之间的耦合信息.这样可以在不同的时变时滞子区间[h1,h(k)]和[h(k),h2]之间充分利用改进的更为一般的求和不等式引理2.因此,本文关于离散时滞Lur’e系统稳定性判据的定理和推论保守性比文献[21,23–25]的更小.

本文主要针对离散时变时滞Lur’e系统的绝对稳定和鲁棒且对稳定性问题展开研究.其中包括时变时滞和扇形有界约束非线性.为了充分的利用和发挥改进的基于一般自由权重矩阵求和不等式的作用,对所需LKF进行了重要的扩充.通过李雅普诺夫稳定性理论,推导了一些新的基于线性矩阵不等式的绝对稳定和鲁棒绝对稳定性判据.所推导的稳定性判据保守性比已有文献的更小.最后,通过对两个常用在文献中的数值算例的求解和仿真,验证了本文方法和结论的有效性.

2 问题阐述

考虑下面标称的和不确定的离散时变时滞Lur’e系统:

其中:x(k)∈Rn(Rn表示n-维欧式空间),ω(k)∈Rm和z(k)∈Rm分别是系统状态向量、输入向量和输出向量;(A,B ∈Rn×n)(Rn×m表示n×m实矩阵空间),(D,M,N ∈Rm×n);(ΔA(k),ΔB(k)∈Rn×n)和ΔD(k)∈Rm×n分别是表示不确定参数的实矩阵函数;函数φ(k)表示初始条件.

假设1时变时滞h(k)满足以下有界约束条件:

其中非负标量h1和h2分别表示时变时滞的上下界值.

假设2不确定参数是允许的并且满足下面的等式:

其中(L,Ea,Eb∈Rn×n)和Ed∈Rn×m是已知常矩阵,且F(k)∈Rn×n是Lebesgue可测的未知矩阵满足下列不等式

这里I表示相应维数的单位矩阵.

假设3非线性函数φ(k,z(k))∈Rm满足下列条件:

1)φ(k,z(k))是关于k离散的;

2)φ(k,z(k))关于z(k)是全局Lipschitz连续的且φ(k,0)=0;

其中K1和K2∈Rm×m是约束矩阵,且K=K2-K1是对称正定的矩阵.也就是,如果非线性φ(k,z(k))满足式(2),那么认为φ(k,z(k))属于扇形界[K1,K2]的;如果φ(k,z(k))满足式(2),那么认为φ(k,z(k))属于扇形界[0,K]的.

在推导主要结论之前,给出下列一些重要的定义和引理:

定义1如果Lur’e系统的平凡解x(k)=0对非线性φ(k,z(k))满足假设3是全局一致渐近稳定的,那么称Lur’e系统在扇形界[K1,K2](或[0,K])是绝对稳定的或者鲁棒绝对稳定的.

引理1[13]令x:[a,b-1]→Rn是一个向量函数,其中a,b是整数.对一个正定矩阵R ∈Rn×n,下列的不等式是成立的:

其中:

引理2令x:[a,b-1]→Rn是一个向量函数,其中a,b是整数.对一个正定矩阵R ∈Rn×n和任意适当维数的矩阵M1,M2和两个向量β,ω,下列的不等式是成立的:

证这里只证明不等式(10),不等式(11)类似.只要令

根据引理1和文献[26]中的引理4.1则可得不等式(10)成立. 证毕.

注1引理1中的式(8)中的ζ包含了三重求和项χ2,因此要直接应用ζ式不可避免的要引入χ2.本文目的是在不引入三重求和项的基础上,进一步改进Lyapunov泛函,结合引理1和2进一步降低稳定性判据的保守性.事实上,式(8)可以重新整理为以下不等式:

3 主要结论

为了更准确地描述时滞对Lur’e系统(1)稳定性的影响,本文旨在推导新的保守性更小的稳定性判据.为了简化向量和矩阵的表示,给出以下符号:

3.1 绝对稳定性判据

定理1如果存在正定矩阵P ∈R4n×4n(Ri ∈R2n×2n),(Qi,Zi,Gj ∈Rn×n),(i=1,2;j=1,2,3)和任意适当维数的自由矩阵X,T ∈R4n×4n,Y,H∈R4n×3n使得下列不等式成立,则称标称Lur’e系统Σ1在h(k)满足式(3)和非线性φ(k,z(k))满足式(7)下是绝对稳定的.

证基于引理1–2的求和不等式技巧,本文构造下面改进的LKF:

沿着系统(1)的轨迹,V(k)的差分分别可以写成下面的形式:

这里Θ,Φ(hk),es为定理1所定义.

对任意的对称矩阵G1,G2和G3,下面的零等式自然成立:

根据不等式(12)和引理1 中的式(9)和注1,ΔV3(k)和ΔV4(k)中的R1-和Z1-依赖的求和形式可以写为系列不等式形式:

这里v1(k)和μ3(k)为定理1所定义,并且

从不等式(13)和(14)中可以得到R2＞0且R3＞0.因此,利用引理2中的式(10)和式(11)来估计下面R2-,R3-和Z2-依赖的求和不等式:

并且,利用假设3中的式(7)可以得到下列不等式:

最后,通过式(16)–(19)和式(23)–(28),下列不等式成立:

化简可以得到如下形式:

结合Schur补引理和不等式(13)和(14)可以推出ΔV(k)＜0.所以,根据李雅普诺夫稳定性理论可知标称Lur’e系统Σ1是渐近稳定的.由定义1 可知,标称Lur’e系统Σ1是绝对稳定的. 证毕.

接下来,考虑非线性函数φ(k,z(k))满足假设3中的式(6),也就是φ(k,z(k))属于扇形约束[K1,K2].根据文献[28]中给出的模型转换方法,φ(k,z(k))属于扇形约束[0,K]的稳定性问题等价于下面的变换形式:

其中非线性函数φ(k,z(k))可以变换为属于扇形约束[0,K2-K1].即满足假设3中的式(7).因此,上述定理1可以推广到如下结论:

推论1如果存在正定矩阵P ∈R4n×4n(Ri∈R2n×2n),(Qi,Zi,Gj ∈Rn×n),(i=1,2;j=1,2,3)和任意适当维数的自由矩阵X,T ∈R4n×4n,Y,H ∈R4n×3n使得不等式(12)和下列不等式成立,则称标称Lur’e系统在h(k)满足式(3)和非线性φ(k,z(k))满足式(6)下是绝对稳定的.

证仅需把定理1证明过程中的式(28)用下列式子代替即可:

也就是,

证毕.

3.2 鲁棒绝对稳定性判据

接下来,本文将把以上绝对稳定性判据推广到含有时变不确定参数的系统情形中,不确定参数满足假设2.

定理2如果存在正定矩阵P ∈R4n×4n(Ri ∈R2n×2n),(Qi,Zi,Gj ∈Rn×n),任意适当维数的自由矩阵X,T ∈R4n×4n,Y,H ∈R4n×3n以及标量εi＞0,(i=1,2;j=1,2,3),使得不等式(12)和下列不等式成立,则称不确定Lur’e系统在在假设1–3中的式(7)约束下是鲁棒绝对稳定的.

证只需把定理1中的式(13)和式(14)中的A,B和D用A+LF(k)Ea,B+LF(k)Eb和D+LF(k)Ed来代替即可.其中令

定理1中的线性矩阵不等式(13)和(14)可以重新写成下列形式:

根据定理1和定义1所约束,如果上式(37)成立,则可以得到Lur’e系统Σ2满足假设1–3下是鲁棒绝对稳定的.根据引理3可知,上式(37)成立当且仅当存在标量εi ＞0,(i=1,2),下列不等式成立:

根据Schur补引理可得矩阵不等式(38)和线性矩阵不等式(35)–(36)是等价的. 证毕.

推论2如果存在正定矩阵P ∈R4n×4n(Ri ∈R2n×2n),(Qi,Zi,Gj ∈Rn×n),任意适当维数的自由矩阵X,T ∈R4n×4n,Y,H ∈R4n×3n以及标量εi＞0,(i=1,2;j=1,2,3),使得不等式(12)和下列不等式成立,则称不确定Lur’e系统在在假设1–3中的式(6)约束下是鲁棒绝对稳定的.

注2为了在不同的时变时滞子区间[h1,h(k)]和[h(k),h2]之间充分利用引理1,本文构造LKF的时候增加了二重求和项V1(k)和V3(k).这样,所构造的LKF比文献[21–25]中选择的LKF包含更多关于系统不同状态变量之间的耦合信息.因此,本文关于离散时滞Lur’e系统稳定性判据的定理和推论保守性比文献[21–25]的更小.

注3定理和推论1–2中的矩阵不等式初始形式并不是线性矩阵不等式形式,因为他们都依赖于时变时滞参数h(k).事实上,结论中的矩阵不等式都可以写成以下形式:

这里Σi(i=1,2,3)都是时滞无关的矩阵函数.根据文献[29]给出的凸组合技巧可以推出以上初始形式的矩阵不等式成立当且仅当对h1≤h(k)≤h2下列不等式成立:

也就是,

以上分析可以知道本文结论中的矩阵不等式可以化成线性矩阵不等式形式求解.

4 数值算例

本章主要通过文献[21–23,25]中常用的数值算例来验证本文稳定性判据的有效性.利用MATLAB中的LMI工具箱来求解结论中的线性矩阵不等式,可以计算出系统最大允许时滞上界(maximum allowable delay upper bounds,MADUBs).

例1[21–23]考虑不确定Lur’系统,具体参数描述如下:

给定不同的时滞下界值h1,相应的MADUBsh2可以通过MATLAB中的LMI工具箱求解结论中的线性矩阵不等式得到.表1中给出了计算所得结果,并和文献[21–23]中的结果进行了比较分析.从此表中可以看出,本文稳定性判据计算出的MADUBs值比文献中的更大,这也说明本文的结论比文献中的保守性更小,效果更好.图1表示在本文得到的时滞上界情形下的状态相应曲线.其中,φ(k,z(k))=(0.35+0.15 sink)z(k),初始条件为x(0)=[1-1]T,时变时滞为h(k)=.从图1可以看出本文的时滞上界没有超出实际值,系统仍然是趋于稳定的.

表1 不同h1下的MADUBs h2值(例1)Table 1 MADUBs h2 for different h1(Example 1)

图1 在例1给定条件下,系统的状态相应曲线Fig.1 The state response of system under the conditions given in Example 1

例2[21–23]考虑标称的Lur’e系统Σ1,具体参数描述如下:

和例1相似,给定不同的时滞下界值h1,相应的MADUBsh2可以通过MATLAB中的LMI工具箱求解结论中的线性矩阵不等式得到.表2–3中给出了在K=0.5和K=10情形下的计算所得结果,并和文献[21,23]中的结果进行了比较分析.从此表中可以看出,本文稳定性判据计算出的MADUBs值比文献中的更大,这也说明本文的结论比文献中的保守性更小,效果更好.随着K的增大,时滞上界也是递减的.图2表示在本文得到的时滞上下界(h1=20,h2=44)情形下且K=0.5的状态响应曲.其中,φ(k,z(k))=0.5 sin2(z(k)),初始条件为x(0)=[1 2]T,时变时滞为h(k)=32-12 sin().图3在图2的基础上,取K=10时的状态响应曲线.即,φ(k,z(k))=10 sin2(z(k)).从图2–3可以看出本文的时滞上界没有超出实际值,系统仍然是趋于稳定的.

图2 例2中K=0.5,系统的状态相应曲线Fig.2 The state response of system with K=0.5 in Example 2

图3 例2中K=10,系统的状态相应曲线Fig.3 The state response of system with K=10 in Example 2

表2 不同h1下的MADUBs h2值(例2)Table 2 MADUBs h2 for different h1(Example 2)

另外,在例2系统的基础上考虑不确定参数,即考虑不确定Lur’e系统Σ2,具体不确定参数描述如下:

在这种情形下,相应的MADUBsh2可以通过MATLAB中的LMI工具箱求解定理2中的线性矩阵不等式得到.而文献[21]没有考虑不确定参数矩阵ΔD(k),所以其结论不适用此种情形.从表1和2中都可以看出,含有不确定参数的情形所得到的MADUBsh2总是比不含有不确定参数情形的要小,因此,鲁棒绝对稳定性判据要比绝对稳定性判据保守性更大.

5 总结

本文主要基于李雅普诺夫稳定性理论,研究了含有时变时滞和扇形界约束的非线性离散时滞Lur’e系统的绝对稳定和鲁棒绝对稳定性问题.受已发表文献的启发,构造了扩充的LKF和改进了求和不等式技巧,并基于此给出了一些绝对稳定性和鲁棒绝对稳定性判据.本文的结论和已有文献进行了比较分析,得到保守性更小的结论.最后,通过文献中常用的数值算例进行计算并仿真,验证了所得结论的有效性.

显然易见,本文新的稳定性判定条件可以被推广到很多其他时滞控制系统中,比如:时滞神经网络系统、时滞中立型系统、时滞线性系统等等.然而,由于理论分析的复杂性,此理论运用于实际工程中还有很长的距离.这些将作为团队未来的科研方向.