巧用微元思想 突破思维障碍

孙永红

摘 要：微元法具有“化曲为直”“化变为不变”的神奇作用，高中统编教材引入瞬时速度的概念，洛伦兹力公式的导出，匀变速直线运动的位移公式的推导，向心加速度公式的导出等都用到了微元法的思想，巧用微元法，提升了学生物理思维的层次，顺应了新课程理念的要求和高校选拔人才的需要。

关键词：思维障碍;微元法;质量微元法;位移微元法;时间微元法;电流微元法;电量微元法

“微元法”是高中物理教学大纲要求学生掌握的内容，也是学生升入大学普遍应用的基本思维方法。“微元法”解题思路分为三大步：①恰当选取微元量用以量化微元过程;②把微元过程看成恒定过程，求物理量的微元量表达式;③在微元量表达式的定义域内求和，得到待求量。本文通过质量微元法、位移微元法、时间微元法、电流微元法、电量微元法等多角度示范微元法解题的思路，期待智慧的你，巧用微元思想，突破思维障碍。

情境一：质量微元法：流体具有连续性、流动性等特点，选取质量微元法是突破流体思维障碍的有效途径，相关水流、气流、离子流等会用到质量微元法。

[例1]如图所示，一根长为L、质量为M的软链条通过一小段细线悬挂在天花板上，链条自由下垂，下端与一数字压力计的盘面恰好接触，某时刻烧断细线，链条自由下落，不计空气阻力，认为链条落到盘面不反弹，已知重力加速度大小为g，求链条下落了长度x时，求数字压力计的读数为多大？

解析：设链条的线密度为ρ（M=ρL），则落到盘面的链条质量为：m=ρx①

因为空中运动的部分链条只受重力，下落了x距离，链速为v，则v2=2gx②

在Δt（Δt→0）时间内，有质量微元Δm落到盘面上，Δm=ρΔx③

对Δm，取向上为正方向，根据动量定理，有FΔt=0-（-Δmv）④

联立②③④得：⑤

盘面受到的压力为：N=F+mg=3ρgx⑥

所以，压力计的读数为落在其上链条重力的3倍。

情境二：时间微元法，对变速运动，可以运用微元法把过程分割为无限多个微小过程，认为极短时间Δt内物体做匀速运动，表示出相应微小量，然后求和，得出整个过程的物理量表达式。

[例2]如图甲所示，“水上飞人表演”是近几年来观赏性较高的水上表演项目之一，其原理是表演者利用脚上喷水装置产生的反冲动力，从水面之上腾空而起，同时能在空中完成各种特技动作;为研究问题方便，将表演者及装备与两个喷嘴连接的竖直软水管看成分离的两部分，表演者操控飞行器将竖直送上来的水反转180°后向下喷出，使表演者悬停在空中，如图乙所示，已知表演者及身上装备的总质量为M=90kg，两个喷嘴的直径均为d=10cm，水的密度为ρ=1.0×103kg/m3，重力加速度g=10m/s2，求表演者悬停状态时喷嘴处喷水的速度大约为多少？

解析：设喷嘴出水速度为v，则极短的时间Δt内，一个喷嘴出水的质量为Δm=pSv△t①

取Δm的水为研究对象，规定向下为正方向，一只脚对水的作用力为F。

根据动量定理得：FΔt=△mv-（-△mv）②

一个喷嘴出水对较F´，由牛顿第三定律可知：F´=F③

对人及装备，根据平衡条件得：2F´=Mg④

两个喷嘴的横截面积均为S=14πd2⑤

联立①②③④⑤解得m/s⑥

情境三：位移微元法：变力做功问题中，将物体的运动位移分割成许多小段，因每小段很小，每一小段作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做的功转化为在多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。

[例3]如甲图所示，质量为m的小玩具车（视为质点）沿半径为R的固定粗糙竖直圆轨道做匀速圆周运动，速度大小为v，已知小玩具车与竖直圆轨道间的动摩擦因数为μ，试求小玩具车从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的功。

解析：如图乙所示，玩具车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，摩擦力大小和方向均在变化，无法直接用功的定义式求解;若将小车运动的半个圆周均匀分成n个小等分微位移Δs，在每个的圆弧上运动时，可认为轨道对小车的支持力Ni不变、因而小车所受的摩擦力f不变，求出n个微元微位移Δs上摩擦力做功的代数和，即为整个过程中摩擦力做的功。

当玩具车运动到圆弧A处时，有NiA-mgsinθ=mv2R①

fiA=μNiA=（mv2R+mgsinθ）②

WiA=-μΔs③

联立①②③得：WiA=-μ（m+mgsinθ）④

当玩具车运动到A的对称B时，同理得：WiB=-μ（m-mgsinθ）⑤

联立④⑤得：Wi=WiA+WiB=-2μm·⑥

则摩擦力做的总功为W=W1+W2+…+W=Wi=-（2μm·）=πμmv2⑦

答：小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的功为-πμmv2

情境四：电流微元法：导体切割磁感线产生感应电流，导体做非匀变速直线运动，电流受到的安培力是变化的，不能运用匀變速直线运动规律解决。如果将导体棒运动中的电流分解成许多微小的“电流元i”，在非常短的时间Δt内认为电流恒定，求出此元过程安培力的冲量，每个“元过程”安培力冲量的累加效果，导致了导体棒动量的变化。

[例4]（2020海南）如图，足够长的间距d=1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L=1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B=0.5T，方向如图所示.一根质量ma=0.1kg，阻值R=0.5Ω的金属棒a以初速度v0=4m/s从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb=0.2kg，阻值R=0.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，求：

（1）金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为多少？

（2）金属棒a最终停在距磁场左边界多远处？

解：

（1）设某一时刻t金属棒a中的电流为i，在Δt时间内电流恒定，规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得：

-ΣBiLΔt=mava-mv0①ΣiΔt=q②③

联立①②③得-=mava-mv0④

代入数据得a金属棒第一次离开磁场时速度va=1.5m/s⑤

金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒a机械能的减少量，即

Qb=0.34375J⑥

（2）规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得

mava=mav'a+mbvb⑦⑧

联立并代入数据解得金属棒a反弹的速度为va=0.5m/s⑨

设金属棒a最终停在距磁场左边界x处，同理⑩Σv´Δt=L-x

代入数据得x=0.8m

情境五：电量微元法：由于电容器串联在电路中，只有电容器充、放电过程才会有电流，感应电流的大小不满足欧姆定律，欧姆定律不适用。从电流的定义出发，选取Δt时间内电容器上电量的增加量Δq（电量微元）为研究对象，则感应电流，此法告诉学生求电流的另一种思路。

[例5]如图所示，固定在水平地面上的长直平行光滑裸露金属导轨间距为L，导轨平面内分布着磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场，左端接一耐高压的平行板电容器，电容为C;现把一质量m的金属棒MN放在導轨上，在水平力F作用下以加速度a从静止开始向右做匀加速直线运动，滑动过程中金属棒保持与导轨垂直并接触良好，不计所有摩擦阻力和电阻，求：

（1）所加水平外力F与时间t的关系;

（2）在时间t内有多少能量转化为电场能。

解析：

（1）设在时间间隔Δt内流经金属棒的电荷量为Δq，则①

对于电容器，Δq=CΔU②ΔU=ΔE=BLΔv③

对于cd，由于做匀加速运动，则有：a ④

联立①②③④得：I=CBLa⑤

对于cd，由F安=BIL⑥由牛顿第二定律可知：F-F安=ma⑦

联立⑤⑥⑦得F=（m+B2L2C）a⑧可知外力F是一个恒定的外力，不随时间变化。

（2）cd克服安培力做多少功，就有多少能量转化为电场能，则有：W安=F安x⑨，x=at2⑩

解得：W安=所以在时间t内转化为电场能的能量为：E电=。

结束语

“微元法”可以将变量转化为恒量，把非线性关系转化为线性关系，充分体现了“化曲为直”“化变为恒”的思想，也符合从微观到整体的辩证思想，巧用微元思想，可以突破解题中物理量“变化”的思维障碍，使一些较为复杂的物理过程用我们熟悉的基本物理规律方便地加以解决，明显提升学生物理思维水平的层次。

参考文献

[1]孙颖.高中物理教学中微元思想的渗透[J].理科考试研究（高中版），2011.

[2]王金战.王金战育才方案：学习哪有那么难[M].北京：北京大学出版社.

[3]徐卫华.“微元”思想在中学物理教学中的应用[J].教育实践与研究，2011（008）.