立足基本图形 彰显变式精彩

祝霞霞

摘 要：通过挖掘、构造基本图形，让学生积累数学解题经验。通过对中考题进行适度的变式、引申、拓展、整合，让学生发现这类问题的本质规律，进而掌握解决问题的本质方法并体会蕴含其中的数学思想方法。从而达到发展学生数学思维品质、培养数学核心素养的目的。

关键词：基本图形;一题多解;本质

以2020年温州中考卷第10题为例，本道题以勾股图为模型，主要考查勾股图中的线段关系，利用图形间的联系，考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识。题中搭建的模型蕴含丰富的基本图形，学生可以从多个角度进行探究，借助相似或合理添加辅助线，构造相似三角形是解决本题的主要思路。本題及其变式的探究有利于培养学生的识图构图能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力。

一、原题呈现及分析

（一）知识铺垫

思考一：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，你能得到哪些结论？

利用思考1对直角三角形的知识进行回顾，可以从边、角、线、面积等方面进行求解，采用开放性问题打开学生的思路，回顾利用勾股定理、三角函数、相似三角形解决直角三角形，为后面探究的问题做了铺垫。

追问1：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，你能得到哪些结论？请简单说明理由。

这一问具有一定的开放性，考查了勾股图的基本图形衍生，也能培养学生的理性思维能力，学会数学的思考。

生1：得到这三个正方形，S正方形ACDE、S正方形BCIH、S正方形ABGF面积的关系.

生2：得到这三个正方形边长的关系.

生2：得到这三个正方形对角线的关系.

在原有勾股图的基础上，进行添线构图，进一步研究图形的数量关系，连结CE、CH，进行追问EH的线段长，此处要证明C、E、H三点共线，为后面的题目做铺垫。过C作CR⊥FG于点R，交AB于点H，利用线段的和差进行求解CR。发现给定条件，确定中间Rt△ABC的形状，则EH、CR的值均为定值。将这幅勾股图中数学问题的本质点明，提高学生的解题能力、以及数学思维。

（二）原题呈现

如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P、Q，若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为__________________.

分析：本图基于勾股图的深入探究，切入点明显。条件QH=2PE，由线段比容易联想到相似，而图中已经存在着多对相似三角形，如图，这些三角形都存在着相似关系，但是他们都无法与QH=2PE联系在一起，因此需要添加辅助线构造相似三角形。

二、变式教学，促进图形自生长

要关注学生深度的思维过程，教材的习题一般具有基础性与代表性，期末测试题、中考试题等均源于对教材例、习题的改编或者变式。

（一）改变条件的呈现方式，探究线段的位置关系

对原题进行追问，进一步探究得到其他结论，由此延伸出如下题。

变式1：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P、Q，若QH=2PE，则的值为_________________.

可以改变题目的结论，进一步追问的值为多少？由线段的求值问题，转化为线段的比值问题，引导学生思考是否能确定Rt△ABC的形状，通过连结CE、CH得到△PEC∽△QHC，得到EC与CH的比值为1：2，最后得到CA：CB=1：2.，确定了Rt△ABC的形状。再通过设单位“1”进行表示，从而得到线段的比值。

（二）互换条件和结论，探究线段数量关系

对原题进行条件和结论互换，由此延伸出如下题。

此题是中考题的简单变式题，改变条件的描述方式，互换题设的条件与结论，图形不变，求证两条线段的位置关系。通过条件和结论的互换，有意识地引导学生发现互换条件和结论可对原题进行变式练习。

（三）改变线段的位置，探究新结论

通过连结其他线段，继续探究线段的比例关系，延伸出如下题目。

本题保持了原题的条件，连结CG交AB于点M，已有前边题目的经验，学会设单位“1”，对各边进行表示。但要表示AM、GM两条线段，需要进一步构造基本相似三角形。找到的基本相似图形非常的多，图①的方法最简单直观。

（四）深化变式，思维提升

通过在勾股图的基础上，想到中间的直角三角形能否用一般三角形，发现本质后，在题目中给出三个条件（至少有一条边），就能够确定三角形的形状，可以继续探究线段的比例关系，延伸出如下题目。

题目中给出△ABC的三个条件，即可确定三角形的形状，从而求解旁边正方形以及线段的比值问题。问题一直在变，但不管怎么变，我们只要抓住本质，变中求通，打开解题思路，定能提升学生解决问题的能力。

三、结束语

在《新课标》和数学核心素养的高要求下，单纯依靠解决课后习题是不够的，必须回归教材，深入解读教材，通过一系列的知识联动、整合、延伸和拓展，不断提升学生的思维，构建知识网络，提高解题效率，促进学生数学能力的发展。在平时的教学中多引导学生从不同视角、不同层次去观察、分析和探索。通过探索，促进学生将新的数学思想方法融入到原有的认知结构中，并且能将新的思想方法结合原有的知识，迁移到新的问题情境中，以求学生学会举一反三、触类旁通。

参考文献：

[1]林松.习题教学要引领学生走探究之路——一道函数应用题的改编、教学及思考[J].初中数学教与学，2020（4）：53-55.

[2]蔡宗熹.千古第一定理---勾股定理[J].2009.