巧用导数法解答两类函数问题

杨雯翠

導数法是指通过对函数进行求导，研究导函数的性质以达到解题目的的方法.运用导数法可快速判断出函数的单调性、求出函数的单调区间、求得函数的最值.下面，我们结合实例来谈一谈如何运用导数法解答两类函数问题.

一、求函数的单调区间

我们知道，函数 f（x）在某个区间（a，b）内的单调性与其导函数 f′（x）的关系为：若 f′（x）>0，则 f（x）在这个区间上是增函数;若 f′（x）<0，则 f（x）在这个区间上是减函数.而利用导数法求函数单调区间的一般步骤为：（1）先对函数进行求导，得到 f′（x）;（2）在定义域内解不等式 f′（x）>0或 f′（x）<0;（3）根据结果确定 f（x）的单调性及单调区间.

例1.

解：

运用导数法判断函数的单调性或求函数的单调区间，关键在于求得导函数的零点，再用零点将函数的定义域划分为几个区间，在每个区间段上讨论函数的单调性.可通过因式分解或运用求根公式来求零点.

二、运用导数法求函数的最值

若函数的定义域为开区间，则函数的极值即为函数的最值;若函数的定义域为闭区间，则需将函数的极值与闭区间上的端点值进行比较，较大的为最大值，较小的为最小值.一般情况下，若导函数零点左边的导函数值小于0、右边的大于0，则函数在该零点处取得极小值;若导函数零点左边的导函数值大于0、右边的小于0，则函数在该零点处取得极大值.

例2.

解：

该函数的定义域为开区间，所以只需运用导数法求得函数的极值，便可确定函数的最值.

例3.

解：

综上，函数 f（x）有最小值，最小值的取值范围是（-2e，-2）.

由此可见，当遇到一些含有高次、对数式、指数式的函数单调区间问题、最值问题时，运用导数法可以使问题快速得解.而运用导数法解题，不仅需要熟练掌握导数的求导运算法则、求零点的方法、函数的零点与方程的根之间的关系、函数的图象和性质、解方程的方法等，还要学会灵活运用数形结合思想和分类讨论思想来辅助解题.

（作者单位：云南省临沧市凤庆县第一中学）