求非常规数列和的几个技巧

邹彩华

一般情况下，我们常用等差数列的前 n 项和公式来求等差数列的和，用等比数列的前n项和公式来求等比数列的和.当遇到一些非常规的数列求和问题时，我们往往需要采用一些技巧.下面，笔者介绍三种求非常规数列的和的技巧，供大家参考.

一、错位相减

错位相减适用于求由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的数列的和.在求和时，需把每一项都乘以等比数列的公比q，然后将和式向后错开一位，把同次幂的项相减，使其构成等比数列，以便根据等比数列的前 n 项求和公式求出数列的和.

例1.

解：

数列是由一个等差数列{2n -1}和一个等比数列{3n}的乘積构成的，可直接列出和式，然后在和式的左右同乘以公比3，再将两式错位相减，即可求得数列的和.

二、倒序相加

如果一个数列中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数 k ，那么就可用倒序相加来求这个数列的前n 项和.将数列的和转化为 n 个常数 k 的和，就能快速求得数列的和.

例2.

解：

在运用倒序相加求数列的和时，要注意仔细观察数列，找出各项之间的规律，尤其要建立与首末两端“等距离”的两项之间的联系.

三、裂项相消

裂项相消是指把每一项都拆成两项之差的形式， 再进行求和.在运用裂项相消的技巧求和时，要将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.该技巧常用于求各项为分式的数列的和.

例3.

解析：数列的各项为分式，且其通项可裂为两项之差，可直接采用裂项相消的技巧来解题.

解：

在求非常规数列的和时，同学们要注意观察数列的各项，找出其中的规律，对通项公式进行合理的拆分、变形，以便将复杂的数列求和问题转化为常规的等比、等差数列问题，或易于求解的常数问题，这样能化难为易，化繁为简，使问题快速得解.

（作者单位：江西省赣州市第三中学）