为“理解”而教

摘要：为“理解”而教，基于深度学习的需要、课程改革的诉求、未来公民核心素养的呼唤等。从目标指向、学习机理、核心要素三个维度阐释为“理解”而教的内涵，建构“经验性理解→工具性理解→结构性理解→创新性理解→观念性理解”的“数学理解层级模型”，并结合案例，从情境探学、交流展学、关联拓学、迁移评学、反思省学等五个方面阐明实施路径。

关键词：数学理解;小学数学;深度学习;层级模型

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点课题“深度学习视域下小学数学理解性学习的实践研究”（编号：xcb/2020/07）的阶段性研究成果。

一、为“理解”而教的提出背景

（一）深度学习的需要

关于深度学习，理论研究与实践探索都得到了广泛的重视。

以下论点可以带给我们诸多启发：“深度学习过程着眼于学生对所学内容的整体理解。”“深度学习是一种基于理解的学习。”“数学学习必须纠正一个倾向：不讲理解，或是停留于日常经验与直观感知……也正因此，很多学生看上去似乎已经懂了，也能正确解答相应的常规性问题，但却很难说已经达到了真正的理解。”“活性知识是以深度理解为基础的，是有活力、可建构、跨学科的，既能相互联结，又能解决问题，能孕育、发展出新的知识，更是终身学习的必要条件。”显然，追求“理解”应成为深度学习的一个向度。

（二）课程改革的诉求

在一次小学数学学业水平测试中有一道题：

学校举行广播操表演，每行有12人，一共有16行（如下页图1）。小明通过竖式计算（如下页图2）知道一共有192人参加表演。

图2的竖式中箭头所指的可以用图（）（下页图3—图6为可选选项）框中的点来表示。

数据显示，某区学生该题的错误率高达45%。这引发了我们的反思。追根溯源，我们平时的教学过于强化算法、弱化算理，练习的关注点都是如何快速地算出结果，而没有关注学生是否理解每一步的数学意义。

进一步反思，当下教学活动的任务主要是往“倉库”里填“知识”，以知识为中心的讲解、训练虽有助于记忆事实、形成技能、获得结果，却不能形成真正的数学理解。长此以往，不仅制约了学生数学学习质量的提升，还将数学变成了令人害怕的、剥离了丰富血肉的“枯骨般的数学”。为“理解”而教，成为当下小学数学深化课改的必然诉求。

（三）未来公民核心素养的呼唤

在工业时代，教学主要是围绕知识的传递来进行的，对学习者的评价重心在于知识的记忆。而进入信息时代，许多知识通过“百度”便可以搜索到，在这样的背景下，教学的重心应该如何转变？蔡元培先生的话给我们启示：“教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。”“为将来”，即考虑未来的公民需要怎样的核心素养。2016年9月，《中国学生发展核心素养》发布，其中的一些要点引人注目：“崇尚真知”“尊重事实和证据”“逻辑清晰”的理性思维;“具有问题意识”“独立思考”“多角度、辩证地分析问题”的批判质疑;“能自觉、有效地获取、评估、鉴别、使用信息”的信息意识;“能依据特定情境和具体条件，选择制订合理的解决方案”的问题解决等。而这一切都要建立在“理解”的基础之上。

二、为“理解”而教的内涵阐释

从现代心理学的视角观察“理解”，“理解实质上是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有经验及认知结构，主动建构内部的心理表征，进而获得心理意义的过程”。从教育学的视角观察“理解”，最为知名的是“理解的六侧面，即：能解释、能阐明、能应用、能洞察、能神入、能自知”。在小学数学中，理解是“一个进行中的、动态的、非线性的且反反复复建构组织的过程”，是“对数学知识的正确、完整、合理的表征”，是“学生在理解基础上的数学学习，也即，通过这样的学习，学生获得了对数学的理解”。本文试从如下三方面阐释为“理解”而教的主要内涵。

（一）目标指向：学科育人

会解题、会计算是数学学习的基础，但不是数学学习的全部。“理解性学习”倡导进一步去反思为什么要这样做、是怎样做的，尽可能去体悟数学家发现数学知识的过程，数学家对数学本质的论述，数学对人类文明的作用，即“理解数学”。

比如，教学“用数对确定位置”，可相机介绍“笛卡儿从蜘蛛织网联想到坐标”的数学故事。又如，教学“圆”，可以相机介绍“圆，一种同长也”“圆是世界上最美的图形”等论述，既加深学生对圆特征的认识，也让学生感受中外古代数学家、哲学家的智慧。再如，教学“两位数乘两位数”，除了教材上的一般计算程序（竖式），还可以介绍我国古代的“铺地锦”算法，思考“铺地锦”算法与竖式计算的内在关联，有助于学生加深对竖式的理解，进而比较算法的优劣，形成数学思维和数学意识;同时，感受中国古代数学家的智慧，燃起浓浓的民族自豪感。这是生动的“立德树人”“学科育人”。

（二）学习机理：构建联系

为“理解”而教的过程就是师生共同建立数学知识结构的过程。恰如希伯特与卡彭特所言，“数学概念的理解，是指它成了学生内部心理网络的一个部分……理解的程度是由结构内部联系的数目和强度来确定的……随着网络的变大和组织的更完善，理解就增长了”。

比如，教学“乘法”，不是机械地让学生去背乘法口诀，而是需要提供“为什么要学乘法？”这样一个建立知识结构体系的前提性问题，即“乘法是加法的简便运算，当很多个相同加数连加，人们感觉到不方便了”。又如，还是教学“乘法”，为什么2+2+2=6既可以写成2×3，还可以写成3×2？如果停留于“乘法是加法的简便运算”是无法解释的。这就需要通过画出一个2×3的点子图或方阵图，也可通过一个具体的问题“每2台电脑一组，有3组;每3台电脑一组，有2组”，来帮助学生理解与思考。“同一幅图，横着看是2×3，竖着看就成了3×2。”新旧知识之间、不同表征之间的丰富联系，有效地帮助学生达成对数学的深刻理解，让学生体悟到“原来如此”。

（三）核心要素：学以致用

为“理解”而教，要求学生能灵活地迁移所学知识。迁移主要表现为在一种新的情境中，灵活地运用所学的知识以及相关技能。

比如，“简便运算”教学成功的标志不在于学生“题目要求简便运算才使用简便运算”，而是“看到这道题可以简便运算，我就使用简便运算”，甚至“这道题原来不可以简便运算，我想办法让它可以简便运算”。又如，“解决问题的策略——画图”教学成功的标志不在于学生“题目要求画（线段）图才画（线段）图”，而是“遇到含有复杂的倍数、相差等数量关系的问题时，能主动想到并能画出（线段）图来帮助分析”;再进一步，遇到需要“一一列举”或“列表”的相关问题时，能灵活地辨别和使用相关策略，而不是机械套用画图策略。

三、为“理解”而教的实施路径

由于小学数学学科有其自身的特点，如严密的逻辑性、高度的抽象性、知识的系统性、学习的连贯性和广泛地运用符号等，要想实现为“理解”而教，需要对应理解的层级，精心设计教学活动。基于上述思考，在借鉴有关成果的基础上，笔者建构了“理解”层级发展模型（如图7），以下结合具体案例分级阐释。

（一）情境探学：激活经验性理解

学生对日常生活中的真实世界与客观对象有一些自然体悟和原初认识，当然，随着年级的升高，许多已学知识和方法也成为学生的原初经验。不过，受年龄、阅历、知识等限制，这样的经验大多原始且杂乱、零碎而局部。原初经验对学生来说非常重要，是学生理解数学知识的内在依据。以原初经验为根，“别的知识方可接得上去”;而如果没有立足原初经验，数学知识对学生来说，宛如水中月、镜中花。

比如，《角》一课教学。课堂伊始，教师安排的第一个活动就是“画角”：你认为什么是角？请把你心目中的角画在纸上。有的学生画的是桌角，有的学生画的是羊角，有的学生已经能画出“数学中的角”。这样的设计，可以了解学生对角的认识，暴露其原初经验。教师根据学生的情况，引导学生对既有的原初经验进行筛选、整理、优化和提升，区分生活中的角与数学中的角，实现经验的改造或重组。

（二）交流展学：达成工具性理解

随着学生对自身的原初经验进行整理、组织、概括与重新表征，并使经验性理解逐步摆脱原初经验中的非本质属性，会用概念判断某一事物是否为概念的具体例证，便步入了形式化理解的层级，也叫工具性理解。关于工具性理解，有一个生动的比喻“屠夫与刀”：工具性理解水平的“屠夫”，只要知道如何使用“刀”就可以了，不需要知道“刀”是如何制造的等其他关联的内容。

比如，对于“分数的意义”，学生通过一个物体、一个图形、一个计量单位、许多物体组成的一个整体等若干例子，概括提炼出“把单位‘1平均分成若干份就是分母，表示这样的一份或几份就是分子”，就可以说明所有的分数的意义了，这就是工具性理解。至于“一个图形的二分之一与一个整体的二分之一的区别与联系”“单位‘1是可以动态变化的”等诸多问题暂时不去关注。

（三）关联拓学：实现结构性理解

与工具性理解只关注单一数学概念或知识的学习不同，结构性理解往往会把所学知识与有着各种关联的其他知识进行比较、分类、分层，从而找出它们的相同点、不同点以及层次关系。“如果能组织起有效的认知结构，并使之成为内部知识网络的一部分，那么就说明是理解了。”对某一具体的数学知识而言，网络的结点和通道越丰富，对其本质的理解就越深刻。

比如，《认识千米》一课教学。在学生有了走100米的直接感受的基础上，教师告知“像这样的10个100米就是1000米，也就是1千米”，再告知“我们的操场1圈有300米，3圈多一些就是1千米”，学生就会有间接的感受。这是一种体验关联。当然，仅仅如此还不够，还应该引导学生关联之前所学的“毫米”“厘米”“分米”“米”等旧知，形成“毫米10厘米10分米10米1000千米”这样的结构性理解，以便于知识储存。当然，除了这样的纵向关联，还可以横向关联。如图8所示，长度单位之间可以结构化，面积单位、质量单位等也可以结构化。

（四）迁移评学：获得创新性理解

如果学生没有达到结构性理解，那么将难以建构完善的认识结构;而学生没有达到创新性理解，则难以在陌生的问题情境中应用数学知识解决问题。还是以“屠夫与刀”来类比：高水平的“屠夫”不仅知道如何用“刀”，对“刀”的好坏也能加以甄别。如果“屠夫”能创造性地用“刀”解决一些稍复杂的问题，并发现“刀”的不足，对“制刀”提出问题和建议，这就获得了创新性理解。

比如，《认识千米》一课教学。学生形成“毫米10厘米10分米10米1000千米”这样的结构性理解后，如果能提出“之前学的相邻长度单位间的进率是10，而米和千米的进率为什么是1000？”“有没有‘十米‘百米？”“为什么不学‘十米‘百米？”等问题，就标志着学习进入创新性理解阶段。

同样的标志还有，学生在学习“公顷”时提出的“平方米和公顷的进率为什么是10000？”“平方米和公顷之间还存在什么面积单位？”等问题。

（五）反思省学：走向观念性理解

当学生的学习达到了结构性理解和创新性理解之后，还可以再上升一个层级，那就是观念性理解（也叫文化性理解）。数学作为一种文化，所蕴含的思想方法、理性精神、对社会的重要推动作用、独一无二的美，会影响学生的一生。

如前文所述，教学“用数对确定位置”时，相机介绍“笛卡儿从蜘蛛织网联想到坐标”的数学故事;教学“圆”时，相机介绍“圆，一种同长也”“圆是世界上最美的图形”等论述;教学“两位数乘两位数”，在竖式计算方法后，介绍“铺地锦”算法……长此以往，学生可以逐步形成对数学综合的、整体性的理解，对数学高屋建瓴式的体察与感受，进而对数学产生积极情感。

当然，建构属于学生的数学理解，支持学生的深度学习，是数学教学的本质追求，理应成为小学数学教育工作者的不懈追求。今后，也还需要做更为深入的探索。

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（吴存明，江苏省南京市溧水区洪蓝中心小学副校长。南京市学科带头人。江苏省优秀教育工作者，江苏省教育科研先进个人，南京市中青年拔尖人才。获评首届新一轮南京市“斯霞奖”。著有《小学数学教学问题与对策》《让学習深度发生：小学“让学课堂”的思考与实践》等。）