曲径通幽 转“角”寻踪——例析解析几何“角”转化的常用策略

福建省莆田第二中学 (351131) 黄少莹

福建教育学院数学教育研究所 (350025) 蔡海涛

解析几何是高中数学的主干知识，高考重点考查的内容.作为几何定量问题中的重要元素“角”，是常见的考查载体，并且往往与三角函数、平面向量、平面几何等相关知识交汇考查.如何转化这些已知或求解(证)的“角”的信息，寻找适当的转化途径，是解决问题的关键.本文例析“角”转化的常用策略.

一、利用斜率转化

解：(1)易得e=2(过程略).

二、利用三角函数转化

图1

三、利用平面几何性质转化

图2

(1)求p的值；(2)求直线l的方程.

解：(1)易得p=2(过程略).

评析：由∠OMA=∠OMB知OM为∠AMB的角平分线，利用角平分线的性质得到点O到直线AM,BM的距离相等，从而得到k1k2=1，再将问题转化至A,B两点坐标，结合韦达定理进行解题.

四、利用平面向量转化

评析：由已知∠F1PM=∠F2PM，选择结合点坐标利用向量的数量积求出cos∠F1PM与cos∠F2PM，由二者相等可以得到m与P点坐标的关系，从而求出m的取值范围.

五、利用解三角形结合定义转化

(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16，求|AF2|；

评析：本题先利用椭圆定义确定△ABF2的三边关系，再利用余弦定理解决问题.当已知的角所在三角形与焦半径有关时，可考虑联系定义并结合解三角形进行转化.

六、结语

“角”是描述圆锥曲线形状特征的一个重要元素，它的变化直接导致曲线类型和形状的变化.求解圆锥曲线“角”的问题，往往综合性较强，是圆锥曲线教学中的一个难点，学生往往未能结合图形特征，合理找到对“角”转化的切入点来进行解题.教学中，教师可立足教材，聚焦高考试题，归纳通性通法，使学生感悟解决“角”问题的思想就是化归与转化的思想，转化的途径即从数从形这两个角度来突破，鼓励学生敢于思考，勇于挑战，反思感悟，从而提升直观想象与逻辑推理的数学核心素养.