高中数学“用教材教”应给学生留下怎样的空间——从苏教版必修第二册四道习题解法谈起

江苏省江浦高级中学 (211800) 徐爱勇

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2020年修订)》指出：数学教材为“教”与“学”提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展数学学科核心素养重要的教学资源.教材应有利于全面落实立德树人的基本要求，有利于教师创造性教学，有利于学生自主性学习.习题是教材的重要组成部分，要提高习题的有效性，科学、准确地把握习题的容量、难度，防止“题海战术”.应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题，解决这样的问题有助于学生数学学科核心素养的提升.因此，教师在使用教材时，应格外关注教材的使用以及使用的效果如何，而不是照本宣科，这对教师的业务素养提出了很高的要求.

使用教材的关键是“用”，而“用教材教”最困惑的问题是：给学生留下怎样的空间？空间过大或过小都不利于学生的学习，有些甚至对学生的学习产生极为不良的后果.我们常说“教之道在于度”，而这个“度”的把握就需要在实践中感悟.笔者有幸参加新教材首轮教学，能够深刻地体会到：教材具备可读性，深入浅出，易于学生理解，激发学生兴趣；教材具有探索性，启发学生思考，提供思维空间；教材具有指导性，促进学生形成良好的学习习惯和思维习惯.

鉴于此，笔者从新编苏教版高中数学必修第二册的四道习题的解法谈起，通过对“教参解法”和“学生解法”的对比剖析，提出高中数学“用教材教”应给学生留下“严谨求实”、“善于思考”、“敢于质疑”、“激励创新”等四个方面的空间，期待与同行们达成共鸣.

2 案例剖析

2.1 留下“严谨求实”的空间

这里的“学生解法”是笔者的“课堂生成”.教师对课堂中即时生成的素材应因势利导，顺应学生，随学生的思路适时调整“教学预设”，这样的课堂往往能收到意想不到的效果.学生通过“歧路分析”，对“两个向量夹角为钝角”的本质有更加清晰的认识，对缜密性思维的培养非常有利.尤其是学生在主动思索的过程中，能够感受到自身的“创造”，从而提升数学学习的自觉性，而这正是我们所期望看到的结果.

2.2 留下“善于思考”的空间

案例2 (苏教版必修第二册第104页第7题)如图1，已知∠A为定角，P、Q分别在∠A的两边上，PQ为定长.当P、Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？

剖析：本题的解法较丰富，“教参解法”是从余弦定理出发，结合整体消元，利用AP2+AQ2≥2AP·AQ进行转化即可.“学生解法”是从正弦定理出发，结合三角变换的相关公式，则很快得到以上解法.笔者在这一教学片段中，减少教师的讲和学生的听，增加学生的想和思，少以自己的思考代替学生的思考，让学生当好思维活动的“主角”，大部分学生都能得到上述“教参”和“学生”的两种解法，从而为学生留下对逻辑推理“善于思考”的空间，把思考的主角地位确实让给学生.

在平时的教学实践中，适时鼓励学生大胆说出自己的“想法”，帮助学生自然地得出问题的“解法”，以及引导学生理性地提炼出一类问题的“方法”，这才是课堂永葆活力的“王道”.

2.3 留下“敢于质疑”的空间

案例3 (苏教版必修第二册第44页第24题)如图2，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有5N和3N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为mN的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围.(滑轮大小可忽略不计)

图2

图3

剖析：“教参解法”与“学生解法”的共同点都是通过建立函数模型求解，不同点则是所选取的变量不同.“学生解法”所建立的函数，看似复杂，实则“单调”，可看作“教参解法”的有益补充.学生不受“教参解法”的束缚，进行个体活动和小组活动，对“滑轮问题”进行了“选题、开题、做题、解题”等系列活动.学生在课堂上，积累了发现和提出问题、分析和解决问题的经验.

数学建模活动是数学内容的主线之一.这条主线不仅能够帮助学生更好地掌握知识技能，更能帮助学生学会数学地思考和实践，是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体，从而为学生留下对数学建模“敢于质疑”的空间.

2.4 留下“激励创新”的空间

图4

学生解法：如图5，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，又由旋转性质得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，∵PB+QD=PQ，∴PQ=PE，在△APE和△APQ中，AE=AQ，PQ=PE，AP=AP，

图5

剖析：“教参解法”侧重对“正切公式”知识技能的掌握，“学生解法”则侧重对“几何问题”数学直觉的想象.“学生解法”虽然偏离“航线”，但它借助几何直观感知事物的形态与变化，利用图形的性质来解决数学问题，从而为学生留下对直观想象“激励创新”的空间.

在教学活动中，教师不应把现成的结论和方法直接告诉学生，而应让学生自己去对学习的对象进行探索、猜想和研究，自己去获得.学生超越课本的“想法”，教师不能置之不理，不能扼杀学生的想象力和创新力，而应激励学生主动探索.探索是创新的基础，创新是探索的目的.创新的起点是质疑，教师应精心对待学生提出的每一个问题，鼓励他们大胆猜想和发现.

3 点滴思考

笔者认为，要在“用教材教”过程中给学生留下应有空间，就必须站在知识系统的高度，从认知规律出发，切实领悟教材编写者的意图，并关注学生的需求，及时解决他们在学习过程中出现的问题.

教材是根据课程标准编写而成的，通过对“用教材教”的系统学习，可以达到课程标准的学习要求.“用教材”是手段不是目的，达到课程标准的要求才是教学的目的.对教材的认识是一个长期的过程，同时又是一个急需解决的问题.解决的好坏直接影响到新课程实施的效果.

“用教材教”体现了新课程对教者的希望，同时“应给学生留下怎样的空间？”也对教者的智慧提出了更大的考验.新课程理念既强调学生的主体地位，又赋予教师创造性地使用教材、开发教学资源的权利.创造性是促进学生自觉、主动、高效“动起来”的重要策略，只有让学生“动”起来，才能使所学的知识“活”起来“用”起来.