欧氏空间中全拟脐子流形

王 琪，周志进，冯林安

(贵阳学院 数学与信息科学学院，贵州 贵阳 550005)

对欧氏空间中子流形以及超曲面的研究，是微分几何学的重要任务之一.关于用

i

-平均曲率来刻画欧氏空间中超曲面的全脐性，文献[1]曾给出下列定理1.论文研究(

n

+

p

)维欧氏空间

R

+中

n

维等距浸入紧致无边子流形

M

.首先，定义了

M

的全拟脐性质，其为超曲面的全脐性质的推广.然后，利用文献[3]最近给出的一个积分公式，得到定理2，推广了定理1的结果.

定理1

令

M

为(

n

+1)-维欧氏空间

R

+1中定向的等距浸入紧致无边超曲面且连通，如果存在一个整数

r

(1≤

r

≤

n

-1),使得

i

-平均曲率

H

+1处处非零而且比值

H

/H

+1为常数，则

M

必全脐.

定理2

设

R

+为(

n

+

p

)维欧氏空间，而

M

为

R

+中

n

维定向的等距浸入紧致无边子流形且连通.用

ξ

表示

M

的单位平均曲率向量场，

H

表示

M

沿

ξ

方向的

i

-平均曲率.如果存在一个整数

r

(1≤

r

≤

n

-1),使得

H

+1处处非零且比值

H

/H

+1为常数，则

M

必全拟脐.

1 预备知识和引理

令

R

+为(

n

+

p

)维欧氏空间，

M

=(

M

,

g

)为

n

维光滑黎曼流形.令

φ

:

M

→

R

+为光滑浸入映照，如果方程

g

=

φ

(〈,〉)处处成立，则

M

称为一个等距浸入子流形，其中:

φ

为

φ

的拉回映照，〈,〉为

R

+中的欧氏内积.令

ξ

为

M

的单位平均曲率向量场(参见文献[3]).记

α

,

α

,…,

α

为

M

沿

ξ

方向的主曲率函数，则

M

沿

ξ

方向的

i

-平均曲率定义为

定义1

(全拟脐子流形) 设

φ

:

M

→

R

+为一个

n

维等距浸入子流形，

ξ

为

M

的单位平均曲率向量场, 又

α

,

α

,…,

α

为

M

沿

ξ

方向的主曲率函数，如果

α

=

α

=…=

α

在点

x

∈

M

成立，则点

x

∈

M

称为一个拟脐点.如果

M

的每一点都是拟脐点，则

M

称为全拟脐子流形.

引理1

设

φ

:

M

→

R

+为一个

n

维定向的等距浸入紧致无边子流形，

ξ

为

M

的单位平均曲率向量场，而

H

为

M

沿

ξ

方向的

i

-平均曲率，则

其中：〈,〉为

R

+中的欧氏内积，d

M

为

M

的

n

维黎曼体积形式.

2 定理2的证明

由引理1，有

(1)

因为

H

/H

+1为常数，由(1)式有

(2)

又由引理1，有

(3)

由(2)，(3)式，有

(4)

由文献[1-2,4-10]，有

(5)

假设

H

+1在

M

上处处非零，而且

M

是连通的，故在

M

上：或者恒有

H

+1>0，或者恒有

H

+1<0.如果在

M

上，恒有

H

+1>0，由(5)式，有

(6)

如果在

M

上，恒有

H

+1<0，由(5)式，有

(7)

则无论是(6)或是(7)式的情况，由(4)式，有

(8)

即

(9)

最后，注意到不等式(5)在且仅在

M

的拟脐点处取到等号(参见文献[1-2,4-10])，再由(9)式，即完成定理2的证明.