Banach格上的几乎L-Dunford-Pettis性质

陈缘媛， 陈金喜， 陈滋利

（西南交通大学 数学学院，四川 成都611756）

近年来，关于Banach格及其上的算子理论的研究中，主要讨论算子所在的空间性质和算子本身的性质.2012年，Aqzzouz等［1］对Dunford-Pettis集的性质作了进一步研究.2016年，Retbi等［2］提出了Banach空间上的L-Dunford-Pettis集和L-Dunford-Pettis性质，并对其进行了研究.2018年，Halmeh等［3］提出了几乎L-Dunford-Pettis集，并对其相关性质进行了讨论.本文基于L-Dunford-Pettis性质和几乎L-Dunford-Pettis集的启发，给出了几乎L-Dunford-Pettis性质的定义，并研究此性质与不交Dunford-Pettis全连续算子、弱紧算子、正Dunford-Pettis的相对紧性质以及L-Dunford-Pettis性质等之间的关系.

本文中E′表示Banach格E的拓扑共轭空间，L（E，F）表示Banach格E到Banach格F的有界线性算子全体.设T：E→F是Banach格E到Banach格F的算子，如果T将E中的Dunford-Pettis集映为F中的相对紧集，则称T为Dunford-Pettis全连续算子.记为DPcc［4］.T：E→F是一个算子，若T将E中的不交Dunford-Pettis序列并且是弱零序列映为F中的相对紧集，则称T为不交Dunford-Pettis全连续算子.记为DPdcc［3］.显然Dunford-Pettis全连续算子一定是不交Dunford-Pettis全连续算子，反之却不一定成立.根据文献［5］知道，B是E′上的范数有界子集，如果E中的任意不交序列xn，且在B上都一致收敛于零，即

则称B为几乎L-集.当E和F是Banach格并且F是Dedekind完备的，对任意算子T∈Lb（E，F），定义正则范数‖T‖r＝‖｜T｜‖，则Lb（E，F）在‖T‖r下是Banach格.（Lb（E，F），‖·‖r）表示在正则范数下E到F的有界线性算子全体.

未解释的关于Banach格和相关算子理论的部分概念、术语以及符号详见文献［6-7］.

1 几乎L-Dunford-Pettis性质

知道每个弱紧算子是不交Dunford-Pettis全连续算子，反之不一定成立.例如，恒等算子Idl1：l1→l1是不交Dunford-Pettis全连续算子，但不是弱紧算子.

下面定理介绍在几乎L-Dunford-Pettis性质下，研究不交Dunford-Pettis全连续算子与弱紧算子的关系.

定理1.5设E是一个Banach格，则下面命题是等价的：

1）E有几乎L-Dunford-Pettis性质；

2）对于任意Banach空间X，每一个E到X的DPdcc算子是弱紧算子；

3）任意E到l∞的DPdcc算子是弱紧算子.

因此T′不是弱紧算子，从而T也不是弱紧算子.

推论1.6设E是具有Dunford-Pettis性质的Banach格，如果E′有序连续范数，则E有几乎LDunford-Pettis性质.

证明设Τ：Ε→X是Banach格E到Banach空间X的DPdcc算子，设xn为E中的不交有界序列，由文献［7］推论2.9知道xn是弱收敛于0，因为E有Dunford-Pettis性质，E中的每个相对弱紧集是Dunford-Pettis集，则xn是Dunford-Pettis集.根据假设，有‖T（xn）‖→0.则T是M-弱紧算子，通过文献［6］定理5.61知T是弱紧算子，由定理1.5知，E有几乎L-Dunford-Pettis性质.

如果E′中的每个L-Dunford-Pettis集是相对弱紧集，则称Banach格E有L-Dunford-Pettis性质［2］.很显然如果Banach格E有几乎L-Dunford-Pettis性质，则E一定有L-Dunford-Pettis性质，但反之不一定成立.根据引理1.12推论出几乎L-Dunford-Pettis性质与L-Dunford-Pettis性质等价时的条件.

推论1.13如果一个Banach格E有L-Dunford-Pettis性质，若满足以下任一条件，则E也具有几乎L-Dunford-Pettis性质：

1）任意Banach空间X，

则称T是几乎Dunford-Pettis算子［9］.用LaDP（E，F）表示E到F的全体几乎Dunford-Pettis算子所成的集合.

知道几乎Dunford-Pettis算子是DPdcc算子，但反之不一定成立，接下来讨论DPdcc算子与几乎Dunford-Pettis算子的关系.

定理1.14设E为一个Banach格，则以下条件等价：

定理1.15设Banach格E有弱序列连续格运算，若E有弱Dunford-Pettis性质和Grothendieck性质，则E有几乎L-Dunford-Pettis性质.

证明设T：E→X是DPdcc算子，因为E有弱Dunford-Pettis性质，由定理1.14知T是几乎Dunford-Pettis算子，又因为E有弱序列连续格运算，由文献［10］的推论2.7，T为Dunford-Pettis算子.因为l1不是Grothendieck空间，则E不包含l1的可补同构像，由文献［11］定理2.1，E有RDP性质，所以T是弱紧算子，根据定理1.5得E有几乎L-Dunford-Pettis性质.

例如，l∞具有弱序列连续格运算，而且l∞具有弱Dunford-Pettis性质和Grothendieck性质，所以l∞有几乎L-Dunford-Pettis性质.