经历建构过程，深挖概念本质内涵

翟娟 张秀爱

[摘 要]数学概念是数学知识的重要组成部分。以“比例尺”的概念课为例，通过核心问题的引领，使学生经历一个自主建构概念、自主理解概念本质内涵的过程，從而对比例尺的概念有一个全面的深层次的认识和理解。

[关键词]比例尺;概念;小学数学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0051-04

数学概念是学生学习数学知识的基础，要想让概念课教学有效发挥它应有的作用，教师就要准确把握概念的核心，教会学生思考和探究，帮助学生自主建构概念。

“比例尺”是一节重要的概念课，涉及的知识面广，下面就谈谈如何在这节课中引领学生有效建构概念，深刻理解概念的本质和内涵。

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

师：今天我们就从贴在黑板上的这个长方形开始研究。如果要把这个长方形按照它的实际大小画在你的本子上，你的本子能画得下吗？

生（齐）：画不下。

师：要想在你的本子上画得下，得把这个长方形怎么样呢？

生（齐）：缩小。

师：非常聪明！怎么缩小才能不改变这个长方形的形状？请动脑想想，在小组内讨论讨论。

【评析：“怎么缩小才能不改变这个长方形的形状？”这个问题直指比例尺的发明和创造，把学生的思维引到了思考按怎样的标准将图形缩小。】

二、解决问题，探究新知

1.探究将图形缩小的比例尺

师：  说说怎么把这个长方形缩小就不会改变它的形状？

生1：将长缩短到原来的[12]，宽也要缩短到原来的[12]。

师：很好，也就是将长和宽都缩短到原来的[12]。

师：还可以怎么缩小？（生答略）

【评析：学生思考得出的结论“将长和宽都缩短到原来的[14]或[15]或[16]”，就是比例尺的雏形。给学生一个探究的空间，学生就会有所“发明”和“创造”。】

师：试着将它们概括为一句话，只要怎么缩小就能让长方形的形状不改变？

生2：只要将长和宽缩小的倍数相同，形状就不改变。

师：“倍数”是描述扩大的，缩小不能用“倍数”描述，是不是只要将长和宽缩小相同的比例，长方形的形状就不改变？

生（齐）：对。

师：把长和宽缩小相同的比例后，形状到底有没有改变呢？请大家仔细观察这5个缩小后的长方形，把它们分别和原来的长方形比较一下，形状变了没有？

生（齐）：没有。

师：为什么把长和宽缩小相同的比例后，图形的形状不发生改变？

【评析：“为什么把长和宽缩小相同的比例后，图形的形状不发生改变？”这个问题意在让学生理解比例尺产生的依据，搞清楚知识的来龙去脉，深刻理解知识背后的道理。】

师：想一想，长和宽缩小相同的比例，也就是把长和宽都除以相同的数，长和宽的什么不变才让形状也不发生改变呢？

生3：长和宽的比值不变。

师：对，长和宽都除以相同的数，长和宽的比值是不变的。现在算一算原来这个长方形的长和宽的比值是多少。这个长方形的长是36厘米，宽是24厘米，长和宽的比值是多少？这个比值表示长和宽之间的什么关系？

生4：  [32]。长是宽的[32]，宽是长的[23]。

师：长和宽都缩小相同的比例后，也就是长和宽都除以相同的数后，长还是宽的[32]。你们怎么想到长和宽都除以相同的数后，长和宽的比值不变的？

生5：根据比的基本性质，比的前项和后项都除以相同的数，比值不变。

【评析：比的基本性质就是比例尺产生的依据，搞清楚了知识的来龙去脉，就为理解比例尺的意义奠定了知识基础。】

师：非常聪明，长和宽的比值不变，也就是长和宽之间的关系没有发生改变，所以形状也不会发生改变。老师还有一个问题需要大家帮忙解决，这5个图形都是把原来的图形缩小后画出来的，怎么才能让人知道这些缩小的图形是把原来的图形如何缩小后得出的呢？

生6：在图中注明长和宽都缩小到原来的几分之几。

师：比如说这第一个缩小的长方形在图中注明什么？

生7：长和宽都缩小到原来的[12]。

师：写上这么长的一行字太麻烦，如果把字省去，只留下数怎么样？

师：大家说得对。[12]在这里表示的是两个数之间的关系，如果在图中只标注上[12]很容易让人把[12]当成一个数。想一想，[12]写成什么形式才不会让人把它当成一个数，而只表示两个数之间的关系？

生8：写成一个比1∶2。

师：很聪明，所以只在图中注明1∶2就知道是怎么缩小的了。

【评析：通过讨论，学生认识到了比例尺写成比的形式的道理，也体验到了比例尺产生的必要性。】

师：人们知道了这幅图是缩小后画出的图，也就知道了这个比是谁和谁的比。那1∶2这个比是谁和谁的比？

生8：所画的长方形的长和原来的长的比是1∶2。

师：还有谁和谁的比也是1∶2？

生9：所画的宽和实际宽的比也是1∶2。

师：  还有谁和谁的比也是1∶2？（学生答不上来）

师：想一想，除了所画图形的边长与实际图形的边长的比是1∶2，还有什么长度的比也是1∶2？

生10：所画的长方形的对角线和实际长方形的对角线的比也是1∶2。

师：对角线长度的比到底是不是1∶2？我们请电脑博士验证一下。（播放课件）

师：下面再任意取两个点，比如在所画的长方形上端的长边的[34]处取一个点，再在右端的宽的[23]处取一个点，然后在实际长方形相对应的地方取两个点。所画长方形中这两点之间的距离与实际长方形中相对应的两点之间距离的比是几比几？

生11：1∶2。

师：是不是1∶2呢？也请电脑博士来验证一下。（播放课件）

师：现在你有什么想说的？

生12：所画长方形中任意两点之间的距离与实际长方形中相对应的两点之间距离的比都是1∶2。

师：是不是这样呢？我们在两个长方形中其他相对应的地方任意取两个点，看看距离的比是不是也是1∶2。

播放课件（验证得出）：比都是1∶2。

师：果真跟大家想的一样，所画长方形中任意两点之间的距离与实际长方形中相对应的两点之间的距离的比都是1∶2，我们就把这个1∶2叫作图上距离和实际距离的比（在1∶2的上面板书：图上的距离∶实际距离）。

【评析：通过“逼迫”学生充分地思考“1∶2是谁和谁的比？”，就能让学生对比例尺的意义有一个全面深刻的理解和认识。】

师：现在我们知道了在第一个缩小的长方形中要标注上1∶2，那第二个缩小的长方形中应标注上什么？

生13：1∶3。

师：1∶3是谁和谁的比？

生14：图上距离和实际距离的比。

师：图上距离是几份的数，实际距离是几份的数？

生15：图上距离是1份的数，实际距离是3份的数。

师：图上距离和实际距离的比有一个名字，叫作比例尺（板书比例尺的概念）。请大家一起读一读比例尺的定义。

【评析：有了丰富感知、抽取本质属性的过程，比例尺概念的构建水到渠成。】

师：大家说比例尺是一把尺子吗？

生（齐）：不是 。

师：那比例尺是什么？

生16：是一个比。

师：这个比的前项是谁，后项是谁？

生17：前项是图上距离，后项是实际距离。

师：既然比例尺是一个比，为什么还带个“尺”字呢？ 我们知道尺子是用来测量的标准，“比例尺”带着个“尺”字，说明什么？

生18：说明比例尺也是一个标准。

师：对，说说比例尺是用来干什么的标准。

生19：将图形缩小的标准。

师：对，比例尺是用来将图形缩小或放大的标准，比如1∶2这个比例尺就是把原来长方形按什么标准缩小？

生20：把所有的边都缩小到原来长度的[12]。

师：这个1∶3是把实际的长方形按什么标准缩小？

生21：把所有的边都缩小到原来长度的[13]。

师：说得很对，所有的边都按统一标准缩小或放大，图形的形状才不会改变。

【评析：通过思考“比例尺是一个比，为什么还带个‘尺字”这个问题，学生体会到比例尺的本质属性——是一个将图形缩小或放大的标准。】

师：观察你们“发明”的这些比例尺，它们有什么相同的地方？

生22：前项都是1。

师：比例尺的前项是1有什么好处？

生23：能一眼看出实际距离是图上距离的多少倍，图上距离是实际距离的多少分之一。

师：说得对！比例尺描述的就是图上距离和实际距离之间的倍比关系，比例尺的前项是1，能一眼看出图上距离是实际距离的几分之一，实际距离是图上距离的多少倍，很方便我们计算和解决问题。

【评析：通过思考和分析“比例尺的前项是1有什么好处？”这个问题，学生体会到了比例尺所表示的是一种关系，是图上距离和实际距离之间的倍比关系。】

师：比例尺在生活中有着广泛的应用，生活中什么地方会用到比例尺？

生（齐）：地图上。

师： 对！在绘制地图或绘制一些建筑和场所的平面图时要用到比例尺。我们学校足球场长100米、宽70米，如果要在本子上画出足球场的平面图，应该用1比几的比例尺？请小组讨论。

生24：我们通过计算得出应该用1∶1000的比例尺将操场进行缩小。

师：说说怎么得出了1∶1000這个比例尺的。

生25：先把100米和70米化成以厘米为单位，100米=10000厘米，70米=7000厘米，如果把10000厘米和7000厘米都缩小到它们的[1100]，那么所画的长就是100厘米，所画的宽就是70厘米，100厘米和70厘米在本子上都画不下，就想到了应该把10000厘米和7000厘米都缩小到它们的[11000]，这样所画的长和宽分别是10厘米和7厘米，就能在本子上画得下了，所以应该用1∶1000的比例尺。

师：你们很善于思考和分析问题。我们在选择比例尺时必须根据实际图形的边长和所用图纸的边长来确定比例尺的大小，选择的比例尺算出的图上距离必须能在图纸上画得下。

师：想一想，如果要在本子上绘制山东省的地域版图，应该按1比几的比例尺进行缩小？（生答略）

师：到底按1比几的比例尺进行缩小呢？

师（出示图1）：从图中标注的比例尺中，你一眼就看出了什么？（生答略）

师：根据大家说的，当图上两点之间的距离是1厘米的时候，代表的实际距离是多少厘米？

生26：8000000厘米。

师：为什么是8000000厘米，怎么不是8000000米呢？

生27：因为比的前项和后项单位相同，前项单位是厘米，后项单位也必须是厘米。

师：把8000000厘米化成用千米作单位是多少千米？

生28：80千米。

师：怎么想到是80千米的？

生28：因为1千米=1000米，1米=100厘米，所以1千米=100000厘米，8000000厘米÷100000=80千米。

师：根据图上1厘米代表实际距离80千米，就可以把这一比例尺转化成图的形式（如图2），它也是比例尺，它叫线段比例尺，这里面的每一小段的长都是1厘米，从这个线段比例尺中，你一眼就能看懂什么？

生29：图上1厘米代表实际距离80千米。

师：对，从线段比例尺中一眼就能看出图上1厘米代表的实际距离，这就是线段比例尺的优点。

【评析：有了对数值比例尺的充分认识和理解，线段比例尺对学生来说已不是难点，只是形式上的一种转化。】

师：带线段的比例尺叫线段比例尺，那由数字组成的比例尺叫作数值比例尺。

2.探究将图形放大的比例尺

师：有了把图形缩小的比例尺，你还能想到什么比例尺？

生1：还有把图形放大的比例尺 。

师：非常聪明，的确有把图形放大的比例尺，缩小的比例尺前项是1，放大的比例尺呢？

生2：后项是1。

师：说说什么时候会用到放大的比例尺。

生3：绘制一些很小的机器零件的时候。

师：对，一般在绘制一些微小的、精密的零件结构图时，为了让工人能看清楚零件的内部结构，要用到放大的比例尺来把零件放大画出来。比如图4就是把一个零件放大后画出来的结构图，这幅图的比例尺是5∶1。看到这个比例尺你立刻就知道什么了？（生答略）

三、课堂回顾，总结提升（略）

四、实践应用，拓展延伸（略）

【反思】

本节课以核心问题为引领，让学生在解决问题中经历了一个自主建构概念、自主理解概念本质内涵的过程，在这个过程中学生对比例尺的概念有了一个全面的、深层次的认识和理解，具体表现在以下两点：

一、经历比例尺产生和形成的过程，认识比例尺的本质属性

从本质属性上讲，比例尺就是一个标准，是一个将图形进行缩小或扩大的标准。为了让学生认识到这一点，教师提出了一个引领性的探究问题：“怎么缩小才能不改变这个长方形的形状？”这一问题就把学生的思维指向了比例尺的发明和创造，指向了将图形缩小的标准。学生经过思考初步得出“长缩短到原来的[12]，宽也要缩短到原来[12];长缩短到原来的[13]，宽也要缩短到原来[13]……”至此，学生初步感知到长和宽缩短的标准必须相同，图形的形状才不会改变。在引导学生把分数化成比，揭示比例尺的概念后，教师又提出问题：“比例尺既然是一个比，为什么还带个‘尺字呢？”这一问题就让学生对比例尺是一个“标准”的认识明晰和深刻了：将实际图形所有的边长都按照同一个比进行缩短，所有边缩短的标准就都相同了，这样图形各边之间的关系就不会改变，图形的形状也就不会发生改变了，图形缩小或扩大后的形状不发生改变才能方便人们进行测量、计算和解决问题，这正是比例尺作为一个标准的价值所在。

二、经历比例尺意义的探究过程，感悟比例尺的本质内涵

这节课引导学生探究了比例尺两方面的本质内涵：

内涵之一：比例尺表示的是图上距离和实际距离之间的关系。

为了让学生理解比例尺表示的是一种关系，首先引导学生“创造”出比例尺的雏形——把长和宽都缩短到原来的[12]或[13]或[14]，这时的[12]、[13]、[14]都是比例尺的雏形，在此基础上让学生思考“怎么才能让人知道这些缩小的图形是把原图形怎么缩小后画出来的？”。学生思考得出：如果在图中标注[12]、[13]、[14]这样的分数，很容易让人误认为是个数，不容易看出所画图形与实际图形之间的关系，只有转化成比的形式后标注在缩小的图形中，才能让人清楚地看出所画图形与实际图形之间的关系。至此，学生就初步体会到了比例尺表示的是所画图形与实际图形之间的关系。接下来，在得出比例尺的概念，学生发现了得出的比例尺前项都是1之后，教师再让学生思考“比例尺的前项是1有什么好处”，学生就能深刻体会到比例尺所表示的关系是“图上距离是实际距离的几分之一，实际距离是图上距离的多少倍”。

内涵之二：比例尺所表示的比是所画的图和实际的图中相对应的任意两点间距离的比。

如果仅仅让学生认识比例尺表示的关系是所画图形与实际图形的边之间的关系，那学生对比例尺意义的理解是不够全面的。为了让学生深刻理解比例尺的意义，教师借助1∶2这个比，“逼迫”学生充分思考1∶2是谁和谁的比，学生通过思考和验证，最终认识到所画长方形中任意两点之间的距离与实际长方形中相对应的两点之间距离的比都是1∶2。这样学生就对比例尺的本质意义有了透彻的理解。

三、经历选择确定比例尺大小的过程，深化对比例尺意义的认识和理解

在充分理解比例尺意义和内涵的基础上，教师提出“如果让你在本子上画出长100米、宽70米的足球场的平面图，应该用1比几的比例尺？”，这一富有挑戰性的问题激起了学生的探究热情。学生通过分析得出要在图纸上画得下图形，就必须根据实际图形的边长和所用图纸的边长这两个重要因素来确定比例尺的大小。这是一个应用比例尺概念的过程，学生不仅学会联系实际选择和确定大小合适的比例尺，同时在运用概念解决问题的过程中再一次深化了理解。

弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确的方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来。”只有这样，学生对知识的认识和理解才会更加深刻。整节课上，教师不暗示、不牵引，所有的问题和知识都让学生自己去探究和发现，教师在其中只是一个参与者和关键处的点拨者。通过解决一个个富有挑战性的问题，学生对概念的理解不断深化，学生的思维也在不断向纵深处发展，智慧和能力也得到了有效的促进和提升。“在做数学中学数学”，唯有此，数学课堂才会充满生机和活力。

（责编 金 铃）