Quasi-Stone代数的核理想Quasi-Stone代数的核理想

沈吓妹

(宁德师范学院 福建宁德 352100)

1 引言及预备知识

2004年，文献[1]讨论了PO代数的理想特征。2012年，文献[2]研究了双重伪补Ockham代数上核理想与余核滤子间的关系。本文则刻画了Quasi-Stone代数上核理想的结构特征。

1993年，文献[3]引入Quasi-Stone代数。Quasi-Stone代数指一个有界分配格(L;∧，∨，0，1)，其上赋予一元运算*，满足下列条件:

(QS1)0*=1，1*=0；

(QS2)(∨-De Morgan律) (∀x，y∈L)(x∨y)*=x*∧y*；

(QS3)(弱∧-De Morgan 律) (∀x，y∈L)(x∧y*)*=x*∨y**；

(QS4)(∀x∈L)x≤x**；

(QS5)(Stone等式)(∀x∈L)x*∨x**=1。

一个p代数是指一个格L，它具有最小元0与一个L到L的映射*，满足x∧y=0⟺y≤x*。

一个Boolean代数指代数(B;∨，∧，*，0，1)满足：(1)(B;∨，∧)是分配格；(2)a∨0=a与a∧1=a，∀a∈B；(3)a∨a*=1与a∧a*=0，∀a∈B。

设I为格L的一个子格，如果a≤i∈I蕴含a∈I，称I为L的理想。若存在L的同余φ使得kerφ=I，这里kerφ={x∈L|x≡0(φ)}，称理想I为L的核理想。通常，用符号I(L)表示L的所有理想，符号KI(L)表示L的所有核理想。众所周知，I(L)是L的子格[4]，其中运算∧与∨如下：

(∀I，J∈I(L))I∧J=I∩J，I∨J={a∈L|a≤i∨j，i∈I，j∈J}。

设L是Quasi-Stone代数，θ是L上的一个格同余，若(x，y)∈θ⟺(x*，y*)∈θ，称θ是L上的同余。

引理[3]设(L;*)是Quasi-Stone代数，且x，y∈L，则:

(1)x≤y⟹x*≥y*； (2)x*=x***； (3)x∧x*=0；(4)x∧y*=0⟹x≤y**。

2 核理想

定理1 设(L;*)是Quasi-Stone代数，I是L的理想，则：

I是L的核理想当且仅当(∀i∈L)i∈I⟹i**∈I。

证明：“⟹”：设I是L的核理想，则存在L上的同余φ，使得kerφ=I。∀i∈I有i≡0(φ)，故i*≡1(φ)。从而i**≡0(φ)。由核理想的定义，得i**∈I。

“⟸”： ∀i∈L，i∈I蕴含i**∈I。定义L上的一个等价关系θI：

(x，y)∈θI⟺(∃i∈I)x∧i*=y∧i*

先证θI是L的格同余.设(x1，y1)，(x2，y2)∈θI，则存在i，j∈I使得x1∧i*=y1∧i*及x2∧j*=y2∧j*.由(QS2)得，(x1∧x2)∧(i∨j)*=(y1∧i*)∧(y2∧j*)=(y1∧y2)∧(i∨j)*及(x1∨x2)∧(i∨j)*=(y1∧i*∧j*)∨(y2∧i*∧j*)=(y1∨y2)∧(i∨j)*.因此，(x1∧x2，y1∧y2)∈θI及(x1∨x2，y1∨y2)∈θI.故θI是L的格同余。

再证θI是L的同余.设(x，y)∈θI，则存在i∈I使得x∧i*=y∧i*。则由(QS3)知，x*∨i**=y*∨i**。由i*∧i**=0有x*∧i*=y*∧i*。于是(x*，y*)∈θI。故θI是L的同余。

最后证kerθI=I。设(x，0)∈θI，则存在i∈I使得x∧i*=0。由引理(4)，x≤i**。因i**∈I，知x∈I，即kerθI⊆I。反之，∀i∈I，由引理(3)知i∧i*=0∧i*。因此，i∈kerθI。从而I⊆kerθI。故kerθI=I。因此，I是L的核理想。

推论1 设(L;*)是Quasi-Stone代数，I是L的理想，则θI是具有核理想I的最小同余。

定理2 设(L;*)是Quasi-Stone代数，则KI(L)是I(L)的子格。

证明：∀I，J∈KI(L)，易知I∧J∈KI(L)。∀x∈I∨J，则存在i∈I及j∈J使得x≤i∨j。

由引理(1)得x**≤i**∨j**。由定理1知i**∈I及j**∈J。从而x**∈I∨J，故I∨J∈KI(L)。因此，KI(L)是I(L)的子格。

定理3 设(L;*)是Quasi-Stone代数，I是L的理想，令I*={x∈L|(∀i∈I)x**∧i=0}，则I*是L的核理想。

证明：先证I*是L的理想。设x，y∈I*，则∀i∈I有x**∧i=0及y**∧i=0。从而(x∨y)**∧i=(x**∨y**)∧i=(x**∧i)∨(y**∧i)=0，即x∨y∈I*。又设a≤x∈I*，则a**≤x**。因此，a**∧i=0，即a∈I*。故I*是L的理想。

∀j∈I*，则∀i∈I有j**∧i=0。因j**=j****，于是j**∈I*。由定理1，I*是L的核理想。

定理4 设(L;*)是Quasi-Stone代数，则(KI(L)，*)是p代数，其中∀I∈KI(L)，定义I*={x∈L|(∀i∈I)x**∧i=0}。

证明：由定理2知KI(L)是I(L)的子格。

∀I∈KI(L)及∀x∈I∧I*，则x∈I且x∈I*。由I*的定义知x**∧x=0，即x=0。因此，I∧I*={0}。设J∈KI(L)且I∧J={0}。∀x∈J，则x**∈J。于是，∀i∈I，都有x**∧i∈I∧J。因此，x**∧i=0。故x∈I*，从而J⊆I*。故(KI(L)，*)是p代数。

定理5 设(L;*)是Quasi-Stone代数，则(KI(L)，*)是Boolean代数当且仅当L的每一个核理想都是主核理想。

证明：“⟹”： 设(KI(L)，*)是Boolean代数，则∀I∈KI(L)，得I∧I*={0}及I∨I*=L。于是∀a∈I，b∈I*都有a∧b**=0，且存在i∈I，j∈I*有i∨j=1。因i∧j=0，则i=j*，j=i*。又由a∧j**=0，由引理(4)得a≤j***=j*=i。故I=i↓。因此L的每一个核理想都是主核理想。

“⟸”：∀I∈KI(L)且I是主核理想，则存在i∈I使得I=i↓。由定理1，知i**∈I=i↓。令J=(i*)↓，则I∧J={0}。由i**∈I及i*∈J得i**∨i*=1∈I∨J。因此，I∨J=L。故(KI(L)，*)是Boolean代数。

3 结语

给出Quasi-Stone代数上核理想I的判定条件，进而由核理想I构造一个核理想I*，由此证明Quasi-Stone代数上所有核理想构成一个p代数，且进一步证明所有核理想构成一个Boolean代数当且仅当每个核理想都是主核理想。