发现定理证明方法，发展几何直观能力

摘 要：对勾股定理的证明，现行各版本初中数学教材都是直接给出弦图或弦图的“外翻”图等，没有说明如何由勾股定理的表达式构造这样的图形。依此教学，学生只能利用现成的图形证明勾股定理，从而感受几何直观的作用;不能学会如何构造相应的图形，无法发展几何直观能力。对此，尝试在教学中，通过联系完全平方公式，建立认知迁移的“合适根据地”，抓住平方关系的几何意义，引导学生探究发现构造图形证明勾股定理的方法，从而发展几何直观能力。

关键词：勾股定理;证明方法;几何直观;探究发现

综观现行各版本初中数学教材中“勾股定理”的内容，勾股定理的猜想通常都是通过特殊的直角三角形，利用数方格的方法;勾股定理的证明则主要采用赵爽的弦图方法、毕达哥拉斯的弦图“外翻”图方法以及欧几里得的“新娘的座椅”方法（有教材给出了美国总统加菲尔德构造梯形的方法作为拓展内容，但实际上，构造的梯形就是弦图“外翻”图的一半）。

勾股定理作为“千古第一定理”，证法极多。赵爽和毕达哥拉斯的方法利用短链公理系统“被直线分割的封闭图形，各个部分的面积之和等于整体的面积”，凸显几何直观，更贴近学生的知识基础与认知能力，在教材中通常作为正文出现。欧几里得的方法利用长链公理系统（要找到将大正方形的面积分割为两个小正方形的面积的方法），突出逻辑推理，对初中生的要求过高，在教材中通常作为拓展的阅读材料出现。

然而，教材都是直接给出弦图或弦图的“外翻”图等，没有说明如何由勾股定理的表达式构造这样的图形。依此教学，学生只能利用现成的图形证明勾股定理，从而感受几何直观的作用;不能学会如何构造相应的图形，无法发展几何直观能力。也就是说，对勾股定理的证明，学生知其然，而不知其所以然。换句话说，对勾股定理，学生知其所以然，而不知何由以知其所以然。总之，就几何直观能力的培养而言，这样的教学并不到位。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“几何直观”作为十个核心词之一， 并且指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”如何利用图形？先要得到（构造）图形。对代数或其他非几何对象或关系而言，即要想到其几何意义，将其转化为几何表征。常用的方法有把数（字母）式看成图形的度量（如长度、面积、体积）或变成坐标系（包括数轴）中的点。此外，对具体教学内容（数学知识或问题）而言，如果说明有关结论（对象关系）的几何表征比较复杂（陌生），一下子难以得到，那么，可从有联系的更简单（熟悉）的内容出发，建立认知迁移的“合适根据地”，由此过渡。

基于这样的想法，笔者尝试在教学中，引导学生探究发现构造图形证明勾股定理的方法，从而发展几何直观能力。

一、设计思考

面对勾股定理的表达式a2+b2=c2，从几何意义的角度，不难构造边长分别为a、b、c的正方形，但是由此很难说明a2+b2=c2——欧几里得便是这样构造图形的，进一步证明还需要作辅助线，利用三角形全等和等面积变换相关知识。

如何更巧妙地构造图形，从而更容易地说明a2+b2=c2？该式左边是两数（字母）平方的和，它曾在完全平方公式（有两数和与两数差两种形式）中出现，即（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2。这两个公式不难构造图形证明。进一步分析可发现，所构造的图形中有边长为a的正方形和边长为b的正方形，因此有a2、b2;还有长、宽分别为a、b的矩形，因此不仅有ab，而且有c（该矩形的对角线）;但是没有c2（边长为c的正方形），也不容易说明a2+b2=c2。不过，由此可以想到：如果式子中有4ab，是否可以构造四个长、宽分别为a、b的矩形，得到一个边长为c的正方形？显然，两个完全平方公式相减，便有（a+b）2=（a-b）2+4ab。尝试构造图形证明这个公式，发现由所构造的图形可以同时得到弦图和弦图的“外翻”图。可见，如何构造弦图和弦图的“外翻”图，完全可以由教师引导学生探究发现。

二、实施过程

根据上述思考，教学的实施过程如下：

师   如何构造几何图形表示两数和的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2？

生    （出示图1） 只要构造以（a+b）为边长的正方形，其中的面积关系就可以表示两数和的完全平方公式。

师   很好！你能提出其他构造几何图形表示代数恒等式的问题吗？

生   如何构造几何图形表示两数差的完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2？

师   很好！如何回答这个问题？

生    （出示图2） 作边长为a的正方形，从这个正方形的一个顶点出发，在相邻的两边上取长为b的线段，分别过线段的另一个端点作平行于正方形边的直线，将正方形分成一个边长为（a-b）的正方形和两个长、宽分别为a、b的矩形，且这两个矩形重叠的部分是一个边长为b的正方形。由此，容易验证两数差的完全平方公式。

师   这里出现了图形的重叠，边长为b的正方形的面积被减了两次，只好再加上一次。这种方法有点不太顺畅。能不能不利用这种方法，重新构造几何图形表示两数差的完全平方公式呢？

（学生思考。）

师   两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式之间具有怎样的关系？

生   容易发现，（a+b）2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=（a-b）2+4ab，即（a+b）2=（a-b）2+4ab。

师   非常好！能构造一个不存在重叠使用的几何图形表示这个恒等式吗？

生    （出示图3） 在以（a+b）为边长的正方形中挖去四个分别以a、b为长、宽的矩形，就可以達到目的。

師   现在需要研究这样的一个问题： （出示图4） 在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，那么 a、b、c之间具有怎样的关系？前面构造的几何图形对于发现这个直角三角形的三边关系有帮助吗？

（学生思考。）

生   最后构造的正方形中存在四个长、宽分别为a、b的矩形，这样的矩形恰好是由两个直角边长分别为a、b的直角三角形斜边重合 （成为矩形的对角线） 拼成的。由三角形全等的判定，可知这四个矩形的对角线长均为c。由此，我隐隐地意识到，Rt△ABC三边长a、b、c之间的关系就隐藏在这个正方形中的面积关系中。但目前，我还不知如何具体利用这个正方形。

师   非常好！从思想观念上说，这个问题已经解决了。那么，怎样运用这个思想观念来具体地处理最后构造的正方形呢？请大家开动脑筋。

生   不难想到，要连接这个正方形中四个矩形的对角线。但是我想，不应该随意地连接，而最好通过连接得到面积与矩形对角线长 （也就是直角三角形斜边长） 有关的封闭图形，从而充分利用正方形中的面积关系得到直角三角形的三边关系。 （出示图5） 因此，我这样连接四个矩形的对角线。

师   很好！这四条对角线构成了什么图形？

生   这四条对角线构成了一个边长为c的正方形，它外面有四个直角边长分别为a、b的直角三角形，它们一起构成了一个边长为（a+b）的正方形。所以，图中的面积关系是（a+b）2=c2+4× 1 2 ab，化简可得a2+b2=c2。

师   很好！ （出示图6） 如图，你重点关注了四条对角线外的四个直角三角形，通过面积关系巧妙地得到了直角三角形的三边关系。 （指着图5） 这个图形中，还有其他面积关系可以得到直角三角形的三边关系吗？

生   这四条对角线构成了一个边长为c的正方形，其内部有四个直角边长分别为a、b的直角三角形，剩余部分是一个边长为（a-b）的正方形。所以，图中的面积关系是（a-b）2+4× 1 2 ab=c2，化简可得a2+b2=c2。

师   很好！ （出示图7） 如图，你重点关注了四条对角线

内的四个直角三角形， 同样通过面积关系巧妙地得到了直角三角形的三边关系。由此可以充分肯定，Rt△ABC三边长 a、b、c之间的关系为a2+b2=c2。这就是勾股定理。

（学生露出惊喜的表情。）

师   同学们很厉害！不知不觉就发现了古代数学家证明勾股定理的方法：

（指着图6） 公元前6世纪，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯用这个方法证明了勾股定理; （指着图7） 公元3世纪，我国古代数学家赵爽用这个方法证明了勾股定理。

……

课后，有学生告诉笔者：利用表示两数和的完全平方公式的图形（即图1）或者表示两数差的完全平方公式的图形（即图2），也能证明勾股定理。他出示图8和图9，解释道：“虽然这两个图形中都只有两个长、宽分别为a、b的矩形，但是可以这样连接得到相互垂直的两条对角线，由此可以发现，四边形ABCD的面积分割成两个三角形来算的话，都是 1 2 c2，而且，换一组底和高来算的话，结果都是 1 2 （a2+b2）。”

这个意外的生成让笔者感到惊喜。这说明学生能够灵活运用平方关系的几何意义构造图形：相乘的两数只需要是相互垂直的两条线段的长，由实际情况可以构造矩形，也可以构造三角形等。也说明学生理解了面积法的本质：对同一图形的面积“算两次”，利用面积不变得到数量关系。这表明学生的几何直观能力得到了较好的发展。

参考文献：

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[5] 花奎.强化几何直观，拓展知识结构——基于新教材的“基本不等式”（第1课时）教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（4）.