基于反馈变分模态分解和巴氏距离的信号去噪方法

江海，莫跃，何其愚

(1.中国南方电网超高压输电公司天生桥局，贵州 兴义 562400；(2.云南新天地人工环境工程有限公司，云南 昆明 650000)

近年来，水系统管道因受自然环境因素以及人为因素影响导致泄漏事故频发，其不仅造成水资源的浪费及经济损失，还带来极大的消防安全隐患[1-4]。因此，管道泄漏监测逐渐成为研究热门。至今为止，管道泄漏监测方法，主要有负压波法、次声波法、压力法等[5-8]。管道泄露监测过程中，采集的信号中不仅包含着泄露声信号，而且存在着很多的环境噪声，导致泄漏信号难以被提取识别从而造成管道泄漏监测系统误报警、漏报警，影响系统监测以及定位性能[9-11]，所以为了确保泄露检测与定位的可靠性与准确性，必须对采集的信号进行去噪处理。因此，对采集信号进行去噪处理的研究具有重要意义。

传统的信号去噪方法通过设计滤波器将某一特定频带宽度的噪声信号滤除以达到去噪目的，而当噪声信号为瞬态信号或者非平稳信号时，其频谱通常较宽，该方法难以处理[12]。小波阈值去噪方法可以将采集信号转换到小波域，通过设定相应的阈值将泄露信号以及噪声信号分离，但小波基函数以及小波阈值的选取通常较为困难[13-14]。部分学者基于信号局部的特征时间尺度构建一种自适应分解方法-经验模态分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)，该方法无须设置基函数以及阈值即可对信号按照不同频率进行分解[15-16]。2014年，Dragomiretskiy等学者提出变分模态分解方法(Variational Mode Decomposition，VMD)，该方法有效解决了EMD方法分解导致的端点效应以及频谱混叠问题[17-19]。目前，该方法被广泛应用于多个研究领域，如医学图像处理、机械故障诊断等[20-25]。

但是，VMD分解只是将原始信号分解为多个具有不同中心频率的固有模态分量和残余分量，而如何从VMD分解所得多个固有模态分量中挑选有效分量重构原始信号达到去噪目的仍是一个难题[26]。此外，VMD分解效果受人为设定分解层数K值影响较大。单独将VMD算法用作降噪，难度较大，且降噪结果受人为因素影响，需对VMD算法进行改进。

因此，本文提出一种基于反馈机制的VMD与巴氏距离(Bhattacharyya Distance，BD)的联合去噪方法(VMDF-BD)，该方法无须预先设定K值即可完成对有效分量的筛选。

为验证本文所提方法有效性，采用VMDF-BD方法对仿真信号进行了去噪处理，并分别与多种联合去噪算法进行比较。仿真结果表明，该方法去噪效果优于其他四种联合去噪算法，即VMD-SC、VMD-HD、EMD-SC、EMD-HD。此外，利用该方法对实际采集管道信号进行去噪处理，实验结果表明，该方法能够有效去除信号中存在的噪声。

1 反馈变分模态分解与巴氏距离联合去噪方法

1.1 变分模态分解

VMD是一种自适应、完全非递归的模态变分和信号处理的方法，是一种新的可变尺度的信号分解方法，其能将实值信号分解为K个具有特定稀疏特性的模态分量。该方法具有可以确定模态分解个数的优点，其自适应性表现在根据实际情况确定所给序列的模态分解个数，随后的搜索和求解过程中可以自适应地匹配每种模态的最佳中心频率和有限带宽，并且可以实现固有模态分量(IMF)的有效分离、信号的频域划分、进而得到给定信号的有效分解成分，最终获得变分问题的最优解。其本质是通过迭代求解所构建约束变分问题的最优解从而得到估计带宽之和最小的K个模态分量，核心思想是构建和求解变分问题。其具体的分解步骤如下:

首先，通过希尔伯特变换求解各个模态分量的单边频谱，如式(1)

其中，*为卷积运算，δ(t)为单位脉冲函数，uk(t)为第k个模态分量函数，k＝1，2，…，K。之后通过引入各模态的估计中心频率指数项，将各模态频谱分别调制到相应的基频带上，如式(2)

其中，·为乘法运算，ωk为第k个模态分量的中心频率。然后，通过求式(2)的梯度平方L2范数，即求得各个模态分量的估计带宽，如式(3)

其中，∂t为对函数求时间t的导数。最后，加入约束条件，则该约束变分问题最终表示为

其中，s为原始信号。为较好求解该约束变分问题，引入二次惩罚因子α以及拉格朗日乘法算子λ(t)将其转换为无约束变分问题，则式(4)可表示为

最终，通过交替方向乘子算法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM)求解式(5)，得到各参量迭代更新公式分别如式(6)(7)和(8)所示

其中，m为迭代次数，τ为更新参数，其控制拉格朗日乘法算子的收敛速度，迭代终止条件为，ε为收敛精度。

它克服了EMD方法存在端点效应和模态分量混叠的问题，并且具有更坚实的数学理论基础，可以降低复杂度高和非线性强的时间序列非平稳性，分解获得包含多个不同频率尺度且相对平稳的子序列，适用于非平稳性的序列。

1.2 巴氏距离

巴氏距离主要用于统计两概率分布的相似性，其结果与巴氏系数密切相关。巴氏距离的具体计算方法如下:假设在同一定义域x内，存在两个离散概率分布分别为p和q，则巴氏距离为

其中，BD(p，q)为Bhattacharyya系数，其主要用于度量两统计样本之间的重叠量，表示为

本文中，由于采集信号及其VMD分解所得各模态分量的概率分布未知，因此在计算各分量的巴氏距离之前，需要对各个分量进行密度估计，根据密度估计的结果再求巴氏距离。

1.3 VMDF-BD算法

本文基于反馈机制的VMD与巴氏距离构建的联合去噪方法，首先将采集信号作为输入信号进行2层VMD得到两个模态分量，之后分别计算两模态分量与采集信号之间的距离，将距离较小的作为较纯净的模态分量反馈回输入端从输入信号中减去作为新的输入信号，如此迭代直至信号完全分解，最后，利用历次迭代所得较纯净模态分量相加重构原始采集信号，达到去噪目的。其主要步骤如下:

第一步，初始化分解层数，也即VMD分解所得模态数K＝2，初始化迭代次数kk＝1；初始化输入信号为采集信号，Sinkk＝S。

第二步，根据式(6)、式(7)、式(8)对输入信号Sinkk进行VMD，得到两模态分量ukk1，ukk2。

第三步，根据式(9)、式(10)分别计算两模态分量与采集信号之间的巴氏距离，得到BDkk1，BDkk2，取二者中最小距离对应模态分量作为较纯净模态分量，即upurekk＝ukk1，i＝argmin(BDkk1，BDkk2)，其中argmin()表示取最小值的索引。

第四步，判断当前采集信号是否完全分解，其判别条件为:当当前分解所得两模态分量对应巴氏距离的最小值仍大于前次分解所得两模态分量对应巴氏距离的最大值时，则该信号完全分解，即min(BDkk1，BDkk2)＞max(BDkk-11，BDkk-12)。若信号完全分解，则停止迭代，并利用历次迭代所得较纯净模态分量重构原始信号，即，；否则，转第五步；

第五步，将纯净模态分量返回输入端并从原输入信号中减去，得新的输入信号，即，Sinkk＋1＝Sinkkupurekk，并重复第2步～第4步。

2 算法仿真及实验分析

为验证本文所提方法的去噪效果以及有效性，本文将对VMDF-BD算法进行验证。采用用仿真信号中添加白噪声，用降噪方法对该叠加信号进行降噪，并从多角度对比其降噪结果。从而达到验证VMDF-BD算法降噪效果是否可靠的目的。

本文在正弦信号中加入已知的高斯白噪声模拟管道采集信号。仿真实验运行环境为MATLAB R2020b，仿真实验所用正弦信号为x(t)＝sin(2π×13×t)＋cos(2π×96×t)＋cos(2π×145×t)，该仿真信号中所叠加的频率分别为13Hz、96Hz、145Hz，这三种频率也是判断降噪效果的标准。采样频率为1 kHz，采样点数为1200点。

2.1 K值对分解性能的影响

针对上述的仿真信号进行VMD分解，根据分解不同分解层数的中心频率来确定最优分解层数。

仿真实验正弦信号由上述公式仿真而成，分别由频率为13Hz、96Hz、145Hz的正弦信号叠加。本实验采用手动确定k值的大小来找出最佳得分解层数。采用不同K值对仿真信号进行VMD，然后对分解所得的模态分量求其中心频率，所得各模态分量对应中心频率如下表所示。

表1 不同K值VMD所得各模态分量中心频率Tab.1 Center frequencies of modal components obtained by VMD with different K values

由表1可知，当K＝2，即分解层数小于仿真信号所含不同频率成分数时，可以看到其只分解出中心频率为13Hz附近的分量，高频分量并不存在，属于欠分解；当k＝3，可以看到其中心频率包括12.99999，95.9918，145.0022，根据上述仿真可知，该正玄信号的组成频率为13 Hz、96Hz、145Hz，因此可只k＝3的分解尺度合适；当K＝4以及K＝5，即分解层数大于仿真信号所含不同频率成分数，可以看到不仅分解得到了与仿真信号频率成分相近的模态分量，而且还存在中心频率为149.4952Hz、66.4038Hz、149.7513Hz的成分，属于过分解。由此可知，VMD分解性能受K值影响较大。因此对于如何确定分解层数成为影响去噪效果的重要因素。

2.2 vmdf-bd迭代终止条件

据此，本文提出VMDF-BD方法，该方法是基于反馈机制的VMD与巴氏距离构建的联合去噪方法，该方法的反馈机制能够较好地迭代终止判断从而能够较好地达到去噪的目的。

迭代何时终止是去噪是否有效果的重要影响因素，因此为验证本文所提VMDF-BD方法所设定迭代终止条件成立，对上述仿真实验正弦信号应用VMDF-BD方法进行分解，根据其分解后的结果求其各次迭代后所得分量中心频率及巴氏距离如表2所示。

表2 历次迭代各模态分量中心频率以及巴氏距离Tab.2 Central frequency and pasteurization distance of each modal component in previous iterations

由表2可知，当迭代至第三次时，本次分解所得两模态分量对应巴氏距离分别为0.0824、1.4973，其最小值依然比上次分解所得距离最大值0.0817大，因此根据本文所设迭代终止条件，当前信号已经完全分解。而从中心频率的变化上看，第三次迭代产生的新分量的中心频率与正弦信号中所含三频率成分均无关，根据1.3中的分解完成判别方法，说明当前该信号已经完全分解，其分解所得各分量为历次迭代分解所得较纯净模态分量。因此，VMDF-BD方法所设计迭代终止条件成立。

2.3 去噪性能对比分析

对于信号处理来说，去噪效果往往会在很大程度上影响结果的判断，本实验的最终目的也是找到较合适的去噪方法。因此本文在上述仿真实验正弦信号中加入snr＝5dB的高斯白噪声，分别采用VMDF-BD，VMD-SC，EMD-SC，VMD-HD，EMDHD对其进行去噪处理。为保证实验的科学性，VMD-SC以及VMD-HD中VMD分解层数K值设定与EMD-HD以及EMD-SC自适应分解层数一致，均为9层。将加入白噪声的信号采用上述几种方法去噪之后重构，各方法所得重构信号与原始信号时域对比图如图1所示，频域对比图如图2所示。

图1 时域对比图Fig.1 Time domain comparison diagram

从图1可知，VMD-HD以及EMD-HD所得去噪结果在时域方向即与原始信号相去甚远，在去掉噪声信号的同时也去掉了较多的有效信号，虽然信号较为平滑，但同时也导致信号严重失真。VMDSC以及EMD-SC与原始信号波形基本一致，但其内仍包含有较多噪声信号。而本文提出的VMDFBD所得去噪信号与原始信号相比，波形基本一致，且更平滑，去噪效果显著。为了更清楚的表征各种方法的去噪效果，本实验也在频域方向做了对比。

从图2中可知，与时域对比图相似，VMD-HD以及EMD-HD所得去噪后信号频谱与原始信号频谱相比，均缺少了两个频率较高的分量，即这两种去噪方法不可靠。VMD-SC所得去噪后信号频谱与原始信号频谱相比，其去除了部分分布在低频的噪声，高频噪声并不能很好的去除，而EMD-SC所得去噪后信号频谱与原始信号频谱相比，基本一致，去噪效果不明显。本文所提VMDF-BD所得去噪后信号频谱与原始信号频谱相比，在原有频率分量处基本保持一致，在其余处频谱幅值趋于0，很好地达到了去噪的要求，从频域上观察，其去噪效果显著。

图2 频域对比图Fig.2 frequency domain comparison diagram

去噪效果的好坏一般采用均方根误差RMSE和信噪比SNR两个指标，RMSE是预测值与真实值偏差的平方与观测次数n比值的平方根，一般情况其值越小越好，SNR指有用信号的功率和噪声信号功率的比值，其比值越大，说明去噪效果越好。因此本实验为进一步说明去噪性能，引入去噪性能指标对各去噪算法进行比对，即RMSE和SNR，分别定义为

其中，s(t)为原始信号，s′(t)为去噪后信号，T为信号总长度。则各去噪方法SNR以及RMSE计算结果，如表3所示。

表3 各去噪方法SNR以及RMSETab.3 SNR and RMSE of each denoising method

一般来说，信噪比越大，均方根误差越小，则去噪效果越好。从表3可知看出:RMSE指标的排序为:VMDF-BD＜VMD-SC＜EMD-SC＜VMD-HD＜EMD-HD；SNR指标的排序为:VMDF-BD＞VMD-SC＞EMD-SC＞VMD-HD＞EMD-HD。本文所提方法VMDF-BD的SNR最大，RMSE最小。VMD-SC与EMD-SC的结果次之，去噪效果相似，均优于VMDHD与EMD-HD的去噪效果。与上述时域和频域的判断结果一致，在上述五种去噪算法中，本文所提VMDF-BD方法去噪效果最好。

2.4 VMDF-BD管道采集信号测试

将上述方法用于实际采集的信号分析。本次实验装置如图3所示，主要包括三个部分:次声波传感器，数据采集及传输模块，PC端。

传感器安装于管道之上采集信号并通过同轴电缆传输给数据采集与传输模块，并经其转换为数字信号后经双绞线发送至PC机，在PC机上可进行信号分析，从而进行管道泄露判断及泄露点定位。

图3 实验装置示意图Fig.3 Schematic diagram of experimental device

本实验的实际实验参数为:管道为约200米长型号为DN20的PVC直水管道，管内水压为0.1Mpa。数据采集与传输模块内采样频率为500Hz，采样精度为24 bit。

通过阀门开度控制管道有无泄漏。为加快信号处理的速度，从采集信号中截取1200点进行分析。对该信号的分析包括时域和频域两个方向进行去噪前后对比。本实验所采用的去噪方法即上述的VMDF-BD法。原始信号的去噪前后时域对比图如图4所示。

图4 去噪前后信号时域对比图Fig.4 time domain comparison of signals before and after denoising

从图4可知，去噪后信号与原始信号相比，波形基本一致，保留了较多的信号细节，但更平滑，可知该去噪方法效果显著。为了清楚地展现去噪效果，本实验将原始信号和去噪后的信号均进行了时频转换，其频域对比图如图5所示。

图5 去噪前后频域信号对比图Fig.5 Comparison of frequency domain signals before and after denoising

据资料显示，管道泄露所产生的频率处较低频的范围，因此高频部分为噪声信号。从图5可看出，去噪后的信号的幅值均低于去噪前的信号，尤其在高频部分，本文提出VMDF-BD法用于管道泄露声波信号去，能够达到去噪目的。因此，本文提出的方法可以有效去除实际管道采集信号中引入的宽带噪声。

3 结论

针对管道采集信号中存在的噪声干扰问题，提出了一种基于变分模态分解与巴氏距离的联合去噪算法。通过对仿真信号降噪的方法，分析得出了该算法具有较好降噪效果的结论。并将该算法实际应用在管道采集的信号中进行降噪处理，其降噪效果较好。

该算法取得了较好的去噪效果。其主要优点如下:

(1)采用巴氏距离来度量各分解所得模态分量与原始信号之间的相似性，使去噪信号减少失真。

(2)引入反馈机制，无须人为设定VMD分解层数，确保采集信号完全分解，以尽可能去除噪声。

(3)仿真实验中，本文所提方法去噪效果明显优于其余四种去噪算法。实际测试中，本文所提方法能够有效去除实测数据的噪声，并且保留原始信号的基本特性。

因此，本文所提去噪方法具备一定的研究价值，并且能够为下一步的信号识别、分类提供帮助。