一种电容层析成像图像重建优化算法

张立峰, 张 明

(华北电力大学 自动化系, 河北 保定 071003)

1 引 言

电容层析成像(electrical capacitance tomography,ECT)是一种基于电容传感机制的过程层析成像技术[1～3]。ECT技术利用不同物质间相对介电常数不同的特点,通过电容传感器和采集系统收集电极阵列间的电压信号,联合图像重建算法计算场域内介电常数分布,进而获取被测截面内多相流介质的分布情况,适合于测量各种绝缘物体组成的混合流体,如油-气两相流等。图像重建即为逆问题的求解过程,是ECT技术的核心也是关键技术所在[4～6]。逆问题求解具有非线性和病态性,同时ECT敏感场具有“软场“特性。因此,高质量的ECT图像重建仍然是一个具有挑战性的任务。图像重建算法主要分为非迭代算法和迭代算法,常用的非迭代算法有线性反投影算法(LBP)和Tikhonov正则化算法,代表性的迭代类算法有Landweber迭代算法。其中LBP算法是最简单的ECT图像重建算法,其忽略了介质分布状态对敏感场的影响,虽然成像速度较快,但重建图像的精度较低；Landweber算法[7]是一种典型的迭代算法,以迭代的方式逼近求解过程,成像精度更高；Tikhonov正则化算法可有效地克服逆问题求解的不稳定性,但经常性地对图像边缘过平滑化,降低了重建图像的分辨率。

图像重建算法的准确性决定了ECT系统能否成功应用,本文构建了一种新的ECT图像重建算法,该算法结合范数用于更好的逼近正则化最小化问题,可有效增强对测量异常值的鲁棒性,且具有较快的收敛速度。仿真实验表明,该算法可获得更好的图像重建效果。

2 算法原理

2.1 ECT基本原理

典型的ECT系统[8]包括多电极电容传感器,数据采集系统和成像计算机。多电极电容传感器将材料分布的变化转换成电极之间的电容值的变化。数据采集系统测量电容值并将它们传输到成像计算机。成像计算机通过使用适当的重建算法重建介电常数分布(即材料分布)的图像,并在其上显示重建图像。

尽管ECT图像重建问题[9]具有非线性性质,但在实践中,可通过离散化和线性化简化为：

C=Sg

(1)

式中：C为N×1维的归一化电容值矢量;S为M×N维的归一化灵敏度矩阵;g为N×1维的归一化介电常数矢量(即待重建图像的灰度值矢量)。

由于可用的归一化电容值的数量远小于期望的像素数量,以及灵敏度矩阵S的条件数非常大,所以等式(1)的求解是一个NP问题(nondeterministic polynomial problem)。正则化是处理不适定逆问题的有效方法,其应用非常普遍。为了稳定问题并找到有用且稳定的解决方案,正则化方法使用有关所需解决方案的更多信息。Tikhonov正则化是最常见和众所周知的正则化形式,它将式(1)的逆问题转化为式(2)中描述的最小化问题[10]：

(2)

式中:λ被称为正则化参数,用于控制数据拟合项和正则化项在目标函数中的权重,当λ>0时,称L为正则化矩阵;g0为从先验信息中获得的解的估计。如果将L作为单位矩阵并将g0作为零向量,则标准Tikhonov正则化的目标函数可描述为：

(3)

相应地,式(3)的标准Tikhonov正则化解如下：

g=(STS+λI)-1STC

(4)

传统Tikhonov正则化方法将场域内不同部分设置为相同的权重,但不同介质具有相异的介电常数,因此可能导致图像重建过程中丢失有用的信息。虽然其可保证重建过程的稳定性,但由于该算法是通过平滑图像使求解稳定,对图像边缘总是过度平滑,导致重建图像的空间分辨率较低。

2.2 优化算法

本文基于一种新的优化算法,构建了ECT图像重建算法。该算法可有效减少重建过程目标有效信息的丢失,提高重建图像的分辨率。

对于最小化问题求解,可通过重新加权的方法来解决[11～13],其一般形式可表示为：

(5)

式中:f(x)和gi(x)为任意函数;x∈c为任意约束条件;hi(x)为gi(x)在域中的任意凹函数。解决式(5)所示算法的过程如下。

步骤1 初始化：D0=I;

步骤2 利用最优解矫正x的值：

步骤4 迭代步骤2～步骤3,直至其收敛。

实际中,该算法可用来最小化lp范数,l2,p范数以及很多鲁棒性损失函数,可用于解决ECT重建中目标函数有效值的损失。

(6)

步骤1 初始化：D为单位矩阵D=I,最大迭代次数为K;

步骤2 利用最优解矫正w的值：

w=(STS+rD)-1STC;

步骤4 迭代步骤2～步骤3,直至其收敛。

3 仿真实验及结果分析

3.1 仿真实验

ECT仿真建模中采用12电极传感器阵列,如图1所示。实验平台基于Windows10操作系统,Intel Core i5-8300H 处理器。实验以油-气两相流为仿真对象,利用COMSOL 3.5a有限元仿真软件建立6种仿真流型,其设置的原则主要考察对中心物体及多物体分布的重建效果。其中气相及油相的相对介电常数分别设置为1和2.8,应用有限元法进行ECT正问题求解,采用单电极激励单电极测量模式,其仿真的独立电容测量值数目为66,再联合Matlab编程进行图像重建,重建图像的像素点个数为812。

图1 12电极ECT传感器Fig.1 12 Electrode ECT sensor

根据实验条件,使用LBP算法,Landweber迭代算法,Tikhonov正则化算法和本文构建的优化算法进行ECT图像重建,对不同重建结果进行对比,重建图像如图2所示。

图2 重建图像Fig.2 Reconstructed image

图2中Landweber迭代算法重建图像为迭代300次所得图像,Tikhonov正则化算法的正则化参数选取为0.005。

3.2 结果分析

流型1为中心流流型,主要考察各算法对场域中心物体的分辨能力。

由图2可见,本文采用的优化算法与其他算法相比,重建图像中物体的位置、形状及大小均为最优,表明了其对中心物体较好的成像效果；流型2至流型5为多物体分布,其中包含一个中心物体,在此种情况下,由于屏蔽作用,其他算法均很难获得中心物体较好的重建图像,甚至无法成像,而优化算法可有效区分中心及边缘物体,且其重建图像的形状保真度较高；流型6为多物体随机分布流型,由于ECT系统的软场效应,常用算法对此种分布重建效果不理想,不能有效区分多个物体,而采用优化算法所得重建图像可清晰的区分多个物体,且形状保真度高。

针对管道中心物体及多物体分布的情况,与常用算法相比,该优化算法具有明显优势。同时,本文使用图像相对误差(Er)及相关系数(Cc)定量评价重建图像质量[14]。其计算公式如式(7)和式(8)所示。

(7)

(8)

由式(7)及式(8)可见,图像相对误差越小,相关系数越大,表明重建图像的精度越高,反之则越低。

计算图2各重建图像的图像相关误差及相关系数,其结果分别如表1及表2所示。

表1 重建图像的相对误差Tab.1 Relative error of reconstructed images

表2 重建图像的相关系数Tab.2 Correlation coefficients of reconstructed images

分析重建图像的评价指标可知,对于流型1～6,相比于其它3种算法,优化算法重建图像具有更小的相对误差和更大的相关系数,算法性能提升效果明显。

同时,本文还比较了各算法重建图像所用时间,其结果如表3所示。

表3 重建图像时间Tab.3 Consuming time of image reconstruction s

由表3可见,Landweber迭代算法获得重建图像的时间最长,比有的算法甚至高出一个数量级；LBP算法和Tikhonov正则化算法获得重建图像的时间较小,其原因为这两种算法是非迭代算法,运算比较简单。而本文采用的优化算法,其获得重建图像所用时间明显低于Landweber迭代方法,与LBP算法和Tikhonov正则化算法相比,优化算法获得重建图像所用时间略高,但差别不太大,表明该算法可保证成像的实时性要求。

4 静态实验

使用华北电力大学电学层析成像技术研究室的数字化ECT系统进行了静态实验,研究了本文提出的优化算法对实际物体的图像重建效果,ECT数据采集系统如图3所示。被测管道是内径为100 mm的圆形有机玻璃管,使用有机玻璃棒和空气模拟油-气两相流。

图3 数字化ECT系统Fig.3 Digital ECT system

在静态实验中,模拟了5种流型,选取了LBP算法、Landweber迭代算法、Tikhonov正则化算法与本文提出的优化算法分别进行图像重建并进行分析对比,各算法重建结果如图4所示。

图4 静态实验重建图像Fig.4 Reconstructed images of static experiment

由图4可见,流型1为中心单物体分布,流型2至流型5为多物体分布流型,由重建结果可知,相对于其他几种算法,采用优化算法所得重建图像可有效分辨物体分布,且伪影更少。尤其对于流型2及流型5这种存在中心物体的多物体分布,使用其他3种算法进行图像重建时,中心物体重建效果差,甚至无法成像,而采用优化算法均可得到较好的重建结果。

5 结 论

本文针对传统正则化算法过平滑化导致图像分辨率较低的问题,提出一种优化迭代算法。该算法对场域内中心区域、多物体及小物体介质成像的分辨能力明显提高,同时具有较快的成像速度,既满足了系统对于精度的要求,也具有良好的实时性。仿真及静态实验结果表明,本文使用的算法相较于其他算法得到的重建图像精度更高,尤其是在小物体目标检测中效果明显,为ECT图像重建问题提供一种可行的方法。