小学数学教学中图形建模的探索实践

王恒干

【摘 要】培养学生在真实的问题情境下解决问题的能力，是当前重要的核心素养之一。在小学数学教学中，通过图形建模的方式引导、促进与帮助学生进行实际的问题解决，是一个有效而又具有前瞻性的实践策略。本文尝试以二年级的“问题解决”为例，探索在小学数学教学中如何实施图形建模的有效实践，培养学生问题解决意识与能力，发展学生的数学思维。

【关键词】图形建模 问题解决 数学思维

建模，就是建立模型，为了理解事物而对事物做出的一种抽象，是对事物的一种无歧义的书面描述。数学建模一词见于CPA教学法，最早由美国心理学家于20世纪60年代提出，其符合儿童学习特点和规律，关注儿童的数学思考过程。图形建模是数学建模的一类，其从具体实物或问题情境出发，让学生尝试画出对应的图形，通过图形来刻画数量关系，符合儿童的学习心理特征，有助于数学理解，能够发展儿童的数学思维。问题解决是我国义务教育数学课程的重要领域，是发展学生数学思想的基本路径，能够较好地锻炼和培养学生发现、提出、分析、解决问题的能力。图形建模是解决问题的重要抓手，也是发展学生数学思维的有效载体。本文试图从实践层面来探索研究小学数学问题解决中图形建模的有效策略。

一、创设情境，引导学生尝试“画”

情境的创设，是有效开启学生数学学习的“敲门砖”，能够充分激发学生学习的兴趣。创造“不愤不启，不悱不发”的认知状态与氛围，能够引发学生自主强烈的尝试“画”的内在需求。引导学生尝试“画”，就是让学生借助“图形”来呈现自己对语言文字信息的认知理解，寻求另一种方式来思考与表达。引导学生尝试“画”的过程，就是引发学生思维伸展的过程，也是建模的过程。

【片段1】

师：同学们，这学期学校为社团活动购买了一些体育器材，我们一起来看一看。

出示：乒乓球的个数比足球多30个，篮球的个数比足球少10个。

（学生轻声读题）

师：这里究竟是哪种球多呢？你能弄清楚吗？

生：三种球呢，有点难。

师：那么，你有什么好方法把这句话里的数学信息理一理吗？

生：可以画一画，比一比。

师：好的，就请同学们在学习单上画一画、比一比。

（学生尝试画图，教师巡视，选择作品展示交流）

史宁中先生说：“我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、建模。”建模，就是通过模型，用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，构建起数学与现实世界的桥梁，促进学生的思维发展。案例中，教师创设的问题情境，信息量大，关系复杂，对于二年级学生而言，其在认知理解上有一定困难，不能较好地弄清楚数量间的逻辑关系。在这样的“愤悱”状态下，自然就能引发学生动手画画比比的内在需要，引导学生寻求新的方法路径来表征语言文字信息，用图形做抓手，来支撑学生的思维，尝试建模。教师通过图形建模来促发学生的深度理解与思考。

二、互动交流，引导学生清楚“说”

引导学生清楚“说”，是学生思维的再次“生长”，能够有效弥补学生初次“图形建模”的不完善之处，也能够厘清对问题情境的完整理解。因此，教师在引导学生尝试“画”后，需要组织学生开展充分而深入的互动交流。让学生“讲”出来，清楚地表达出“为什么这么画”，就是让学生思维可视化的过程。这个过程能够展现出学生真实的思考状况，同时，还能有效提升学生的自信心，对其人格发展有重要意义。

【片段2】

师：同学们，刚才我們用自己的方式描述了对这句话的理解。下面，我们请这位同学来说一说他的想法。

生1出示作品：

生1：我是这么想的，用这个长方形表示足球的个数，那么乒乓球比足球多30个，画出的长方形则要大一点，大的部分就表示多的30个，而篮球比足球少10个，则画出的长方形要小一些，小的部分就表示少的10个。这样，通过观察三个长方形，即可知道乒乓球最多，篮球最少。

师：你们听明白了吗？这名同学用方形图表示了三种球的数量，通过比较长方形的大小，得知哪种球数量最多，哪种球数量最少。对他的方法，你们有什么疑问或建议吗？

生2：我想问你，你是如何表示“篮球比足球少10个”的？

生1：因为篮球比足球少10个，所以表示篮球个数的长方形要比足球的小一些，但要表示出少10个，因此把小的部分用虚线表示出来，你明白了吗？

生2：知道了，谢谢你！

生3：我有个建议，为了便于观察与比较，你可以把这三个图形竖着排放。

师：你的意思是这样吗？（教师调整生1的作品）

课件出示：

生1：是的，三个长方形上下排放，更容易地看出哪个大，哪个小。谢谢你！

师：真好！经同学们这么一讨论，方形图不但表示出了三种球的数量，还能清楚地看出数量间的关系。看来，图形作用就是大啊！

互动交流、同伴互助是新课改背景下学生数学学习的重要方式。案例中，教师组织了充分的反馈交流，给学生充裕的时间尽情地表露出自己的个性化理解。教师引导学生借助图形来努力清楚地表达自己的思考，并且让学生在同伴的互动帮助下，进一步优化与完善对信息的认知理解，这有效地培养了学生图形思考的能力。用图形来分析思考问题、用图形来提炼概括问题、让学生有条有理地清楚表达，不仅促发了学生的图形建模，让学生感受到了图形建模的优势、特点，还有效地培养了学生数学推理的能力。

三、示范讲评，引导学生完整“想”

学生通过尝试“画”，用图形表达出了自己对语言文字的理解，并借助图形努力把语言文字的内在清楚地表达出来，这是学生思维的两次“生长”。但是，学生的图形化认知常会流于肤浅，所谓清楚的表达仍显得缺乏条理，建构的模型不够完善。此时，需要教师的应时而出，通过示范讲评，有效引导学生完整地“想”，回顾图形建模的思考过程，再次经历从具体情境的“具象”到图形建模的“形象”。故而，教师的示范引导，则显得十分的重要。

【片段3】

师：同学们，刚才我们一起欣赏了这名同学的作品，想不想看看老师的作品啊？

生：想！

师：从这句话知道，乒乓球、篮球的数量都是与足球比的，因此，我们可以把足球的个数看作标准量，用这样一条线段来表示。那么，乒乓球、篮球的个数怎么表示呢？

课件出示：

生1：因为乒乓球的个数比足球多30个，所以画的线段要长一些，长的部分就表示多的30个。

师：你说的意思是这样吧。

课件出示：

生2：那么表示篮球个数的线段则要比足球短一点，因为篮球比足球少10个。

师：是这样吗？

课件出示：

生3：这样不行，看不出少的部分。我们可以把表示篮球个数的线段比足球短的部分用虚线表示，这样就能清楚地看出少的10个。

教师出示：

师：真好！我们这么一商量，表示三种球的线段就画出来了，还能表示出它们之间的数量关系。

课件出示：

师：同学们，现在请你们对照线段图说一说，三种球的数量之间的关系，并想一想，这个线段图和前面那名同学的方形图有什么联系与不同。

案例中教师带领学生一起经历了线段图的制作过程，体验了线段图对于本问题情境更为简洁的优势所在。同时，教师还非常有条理地示范解析了线段图的表征特点，引导学生形成完整而又清晰的思维认知。教师通过方形图与线段图两种图形表征的比较辨析，让学生再次深入感受图形建模的优势与价值，促进学生高阶思维的发展。

四、反思修正，引导学生优化“解”

学生的思维是有深浅的，是需要不断反复的，只有这样才能促使学生形成相對完整而又清晰的问题思维。因此，组织学生对自己的认知理解进行反思与修正，就显得很有必要。学生的反思过程，也是再一次的问题思考，更是对不同方式的表征与解释的辨析。学生的修正过程，既是自我认识与思维的提升，也是对问题解决的重要趋近。

【片段4】

师：同学们，刚才我们用了不同的图示方法，把一个很复杂的数量关系清楚地表示出来了。你画的图，对吗？有什么需要改正的，请在学习单上订正。修改后，和你的同桌说一说。

（学生修正自己的作品）

师：好了，对于这句话，同学们都有了明确深刻的理解。现在，我们把这道题补充完整。你会解答吗？

课件出示：

（学生尝试解题）

师：哪个同学愿意来分享下你的解答过程？

生1：我是这么解答这道题的，通过线段图可以清楚地看出，乒乓球数量最多，篮球数量最少，但要求乒乓球个数比篮球多几个，必须先求出它们各自的数量。第一步：求乒乓球的数量50+30=80（个）。第二步：求篮球的数量50-10=40（个）。第三步：求乒乓球比篮球多的数量80-40=40（个）。

师：哦，真不简单，我们才二年级，就能解决三步计算的问题了。同学们，你们都是这么做的吗？有不一样的解法吗？

生2：我有更简单的解法，借助线段图能够清晰地知道，乒乓球个数最多，篮球个数最少，而且还能从图上直接找到乒乓球数量比篮球多的部分，也就是30+10=40（个）。请大家看图。

生2出示作品：

师：哟，三步计算的问题被你一步搞定了，真棒！同学们想一想，如果没有线段图，我们能一下子看出数量之间的关系吗？

生3：不能。有了线段图，我们才能直接比较数量的多少，寻求最直接的解答方法。像这道题，借助足球这个中间量，寻找乒乓球与篮球数量的直接关系，足球的个数就变成一个多余条件了。

师：同学们，看来线段图不仅能帮助我们分析理解题意，还能指导我们找寻解决问题的最佳路径。有图真好！

案例中，教师引导学生反思修正，充分发挥学生的主体能动性，进一步加深学生对问题的理解。这是一次非常可贵的思维升级。继而，教师引导学生结合新的信息，独立解答问题。教师通过学生多样化的解答，引导学生进行比较辨析，让学生进一步感受图形建模的价值意义。

问题解决是抓手，解决问题是能力，发展学生的思维是关键。小学数学教学中，教师借助图形建模让学生经历问题思考的全过程，并能有效地解决问题。教师引导学生积极地思考，合理地表征，清楚地表达，准确地解答，这样既能有效提升学生的问题解决能力，还能充分激发学生数学学习的兴趣，更能锻炼学生的数学高阶思维能力。