基于加权自适应递推最小二乘法与EKF的锂离子电池SOC估计＊

王建锋 张照震 李平

（1.长安大学，西安710064；2.陕西省道路交通智能检测与装备工程技术研究中心，西安710064）

主题词：荷电状态 扩展卡尔曼滤波 加权自适应递推最小二乘法 锂离子电池

1 前言

锂离子电池荷电状态（State Of Charge，SOC）估计已成为电动汽车的关键技术之一。安时积分法是目前使用最广泛的SOC 估计方法，其优点是计算难度小，缺点是属于开环计算，并且对初始SOC 敏感，实际应用中的随机干扰等会导致误差随着时间累积，影响估计精度[1]。

为了提高估计精度，有学者采用卡尔曼滤波算法进行SOC 估计，传统的卡尔曼滤波算法针对线性系统较优，而动力电池具有较强的非线性特性，因此有学者提出了能够处理动力电池非线性特性的卡尔曼滤波衍生算法。文献[2]、文献[3]提出了扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）方法，该方法将非线性函数按照泰勒级数展开，取一次项进行卡尔曼滤波，其缺点是对具有较强非线性的系统误差较大。为了提高EKF的估计精度，有学者提出了基于自适应扩展卡尔曼滤波（Adaptive Extended Kalman Filter，AEKF）的SOC 估计方法，该方法在SOC初值不精确的情况下仍有较高的估计精度，但该方法的鲁棒性没有得到有效验证。文献[4]、文献[5]利用AEKF 和递推最小二乘法（Recursive Least Square，RLS）估计开路电压（Open-Circuit Voltage，OCV），利用试验建立OCV-SOC 对应关系，进而实现SOC估计，结果表明，该方法有一定的准确性和可靠性，但其估算精度会受电池工况或电池老化等因素的影响而降低。文献[6]、文献[7]在无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法的基础上提出改进方法进行SOC估计，但其估计精度不高，误差在5%左右。文献[8]利用基于遗忘因子的递推最小二乘法（Recursive Least Square Method of Forgetting Factor，FFRLS）进行等效电池模型参数识别，采用容积卡尔曼滤波进行SOC 估计，结果表明，该方法有较好的估计精度，但对噪声较敏感。

由于电池的内阻、极化电阻、电容都会随时间发生变化，为了提高估计的精度，本文将加权自适应递推最小二乘法参数估计与扩展卡尔曼滤波相结合实现锂离子电池SOC的精确估计。

2 锂离子电池建模与参数辨识

2.1 SOC的定义

动力电池SOC 定义为剩余可用容量与电池最大可用容量的比值，放电时动力电池的SOC定义为：

式中，ic为放电电流；QN为电池额定容量。

将式（1）表示成离散的形式：

式中，z(k)为第k个采样点的电池SOC；Δt为采样点k与(k+1)间的时间间隔。

2.2 电池模型的建立

利用戴维宁模型可建立表征电池充放电特性的一阶电路模型，但电池本身为非线性系统，不可能完全由线性模型等效。因此，在戴维宁等效电路的基础上再添加1个电阻-电容（R-C）回路，将电池模型表示为由1个欧姆内阻与2 个R-C 回路组成的二阶R-C 回路结构[9]。该二阶模型较一阶模型有更高的动态性能，并且将电池极化问题中的电化学极化和浓差极化分开等效，精度更高[8,10]。本文建立的二阶R-C等效电路模型如图1所示。

图1 二阶RC等效电路模型

图1 中，Uoc为电池的开路电压，U(t)为电池的端电压，I(t)为电池充放电电流，R0为电池内阻，R1、R2为极化电阻，C1、C2为极化电容[9]。U(t)和I(t)是可以通过传感器直接测量得到的观测量，该电路模型的具体关系为：

式中，U1、U2分别为2 个R-C 回路的电压；z(t)为t时刻的SOC；f()为Uoc与z(t)的映射关系。

由式（1）和式（2）可得到电池模型的状态方程为：

式中，τ1=R1C1、τ2=R2C2分别为2个R-C回路的时间常数；η为库伦效率；T为采样周期；z(kT)、i(kT)、U1(kT)、U2(kT)分别为第k个采样时刻的SOC、充放电电流以及第1个、第2个R-C回路的电压。

电池模型的观测方程为：

式中，U(kT)为第k个采样时刻的端电压。

2.3 基于加权自适应递推最小二乘法的参数在线辨识

在二阶RC 等效模型中，开路电压能很好地跟踪锂离子电池的荷电状态，通过SOC-OCV 曲线可以得到荷电状态与开路电压之间的非线性关系。

该非线性关系可通过试验获得。具体步骤为：保持25 ℃的环境温度，使电池以0.2 C的电流速率连续放电/充电，容量发生0.1倍变化时停止放电/充电，静置10 min，循环该过程，直至电压达到充/放电截止电压[8,10]。

本文针对单体锂离子电池开展试验，分别记录充电和放电时的SOC 与开路电压，将充电和放电时相同SOC 下的开路电压的平均值作为最终值，拟合电池SOC-OCV 的非线性关系。该曲线的多项式拟合次数选为6～9次较为合适。当次数少时，曲线细节不能很好处理，精度较差，当次数过多时会出现过拟合的问题，本文经过多次试验，采用8次拟合，试验结果如图2所示。

图2 锂离子电池SOC-OCV试验结果

拟合出的8次多项式方程为：

得到SOC-OCV 关系后，采用加权自适应最小二乘法对所建立电池等效模型进行参数辨识，流程如下：

对式（3）进行拉普拉斯变换：

以开路电压与端电压拉普拉斯变换的差(Uoc(s)-U(s))作为输入，充放电电流的拉普拉斯变换I(s)作为输出，则该模型的传递函数为：

参数辨识是基于离散采样数据的，所以对式（8）按照式（9）进行双线性变换：

式中，Z=eTs为Z 变换算子；T为采样周期；s为拉普拉斯变换算子。

得到模型离散传递函数为：

将式（10）写成差分方程的形式为：

式中，a1～a5为待定系数；y(k)为第k个采样时刻开路电压与端电压的差。

为了表示方便，将式（11）写成向量形式：

将式（12）写成矩阵的形式，并且采用递推最小二乘法，以残差平方和最小为目标函数，可得递推方程为：

递推最小二乘法通过周期性参数校正和更新来降低应用环境不确定对系统模型及模型参数的影响，从而实现对系统实时特性的精确获取。然而，对于持续缓慢变化的系统，该方法很难实现参数的精确估计。因此，本文采用加权自适应递推最小二乘法进行参数估计，引入自适应加权因子调整递推模型对旧数据和新数据的置信比例，从而实现模型参数的精确估计[8,11-12]。

加权自适应递推方程为：

式中，λ(k)为自适应加权因子；l、r为加权调节系数，根据估计误差进行调节，当误差变大时，减小加权因子，误差变小时，增大加权因子。

求解式（15）可以得到锂离子电池的等效模型，利用该模型，采用不同的估算方法可以进行电池SOC等参数的估计结果。

3 联合算法SOC在线估计

3.1 扩展卡尔曼滤波

卡尔曼滤波给出了线性和高斯条件下滤波问题的最优解，但动力电池具有非线性特性。解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其条件后验概率的完整描述，然而这种精确的描述需要无尽的参数，从而无法实际应用。为此，学者们提出了大量次优的近似方法。扩展卡尔曼滤波就是将非线性系统线性化进行最优估计的方法。通过对非线性系统进行Taylor级数展开，略去高次项，用一次项对非线性系统进行近似，然后利用卡尔曼滤波方法进行状态估计[13]。

状态方程和观测方程为：

其中，xk为系统k时刻的状态变量；yk为系统k时刻的输出值；wk为状态噪声；vk为观测噪声；uk为观测值。

将非线性函数f(xk,uk)和g(xk,uk)在估计点处按照Taylor级展开，略去高次项，保留一次项，则有：

将式（17）写成离散形式：

根据扩展卡尔曼滤波原理，将式（18）对照模型式（4），可以得到基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC 估计的求解方程为：

按照式（19）进行卡尔曼滤波递推即可估算SOC值。

3.2 联合算法原理

由于电池的内阻、极化电阻、电容都会随时间发生变化，为了提高估计的精度，需要在线估计电池的参数和状态，本文将加权自适应递推最小二乘法参数估计与扩展卡尔曼滤波相结合进行电池SOC的精确估计，算法流程如图3所示。

图3 联合算法流程

首先，在初始静止状态下测量电池端电压，根据OCV-SOC曲线得到初始z值。利用某时刻的电压、电流和e(z)通过加权自适应最小二乘法辨识电池模型参数，将参数代入扩展卡尔曼滤波器中计算该时刻的SOC 最优估计值，利用OCV-SOC 曲线得到此时刻的e(z)。然后，利用不同时刻的电压、电流和e(z)重复以上操作计算各时刻的估计值。通过该联合估计方法实现电池模型参数辨识及电池荷电状态的精确估计。

4 仿真验证与分析

为验证本文算法的估计性能，利用本文锂离子电池模型设计仿真测试，测试中的电流和SOC值如图4所示。

图4 仿真测试数据

利用数据驱动方法分别进行基于EKF、FFRLS 和ARWEKF 的SOC 估计的仿真对比，估计结果如图5所示，误差如图6所示。

图5 模拟仿真SOC估计结果

图6 模拟仿真SOC估计误差

从图5、图6中可以看出，在模拟工况下，3种算法的估计值都能精确地跟随真实值，ARWEKF 算法的稳定性更好、误差更小，具体指标对比情况如表1所示。

表1 模拟仿真3种算法估计结果对比 %

由表1 分析可知，ARWEKF 算法比EKF 算法和FFRLS 的估计精度更高。ARWEKF 算法在SOC 估计中的平均绝对误差和均方根误差值均小于0.5%，最大绝对误差值小于1.4%。

5 试验验证与分析

5.1 静态工况试验

本文采用Neware Bts 动力电池测试平台，如图7所示，该平台是融合了NEWARE 新技术的动力电池测试系统，主要用于动力电池的循环寿命测试、倍率充放电测试、脉冲充放电测试、直流内阻（Direct Current Internal Resistance，DCIR）测试，可实现单工步设置记录条件和保护条件。

图7 Neware Bts动力电池测试平台

将测试仪与电池连接后，根据选定工况建立好工步文件，通过测试仪作用到电池上，传感器将数据通过网络接口传输到上位机进行数据显示和存储。试验过程为：将挑选的通过测试的新电池先静置1 h，然后以1/3 C的电流完全放电，静置1 h，采用恒压充电方式充满电池，再静置3 h后以如图4所示的1 C电流放电，当电池电压达到截止电压时停止试验。数据的采样频率为1 Hz，通过电流积分获得SOC的实际值，试验中放电电流如图8所示。

图8 静态工况放电电流

采用不同的方法按照本文建立的模型进行电池SOC 估计。EKF 算法、FFRLS 和本文提出的ARWEKF算法对电池SOC估计的结果如图9所示。图9中的观测值利用安时积分法获得。3 种算法SOC 估计值与观测值之间的误差如图10所示。

图9 静态试验SOC估计结果

图10 静态试验SOC估计误差

从图9、图10 中可以看出，在静态工况下，3 种算法的估计值都能精确地跟随真实值，ARWEKF 算法的稳定性更好、误差更小，3 种算法的具体指标对比情况如表2所示。

表2 静态工况下3种算法估计结果对比 %

从表2 分析可知，ARWEKF 算法比EKF 算法和FFRLS 的估计精度更高。ARWEKF 算法在SOC 估计中的平均绝对误差和均方根误差值均小于0.3%，最大绝对误差值小于0.7%。

5.2 动态工况试验

联邦城市运行工况（The Federal Urban Driving Schedule，FUDS）是用于测试动力电池应对电流急剧变化响应的一种工况，每个周期包含1 372 s 内的剧烈变化序列。在20 ℃下对电池进行FUDS工况试验，测试平台采用Neware Bts动力电池测试平台，该工况下的放电电流如图11所示。

图11 动态工况放电电流

采用不同的方法按照本文建立的模型进行电池的SOC估计，结果如图12所示，估计误差如图13所示。

图12 动态试验SOC估计结果

图13 动态试验SOC估计误差

从图12、图13中可以看出，在动态工况下，3种算法的估计值虽能有效地跟随真实值，但随真值的波动较静态工况的波动大，3 种算法的具体指标对比情况如表3所示。

从表3分析可知，ARWEKF算法明显优于EKF算法和FFRLS算法。ARWEKF算法在SOC估计中的平均绝对误差和均方根误差值均小于0.6%，最大绝对误差值小于1.9%。

表3 动态工况下3种算法估计结果对比 %

6 结束语

为了提高锂离子动力电池SOC动态估计的精度，本文提出了基于加权自适应递最小二乘法与扩展卡尔曼的锂离子电池SOC估计方法。试验结果表明，本文所提出的方法具有较高的精确性和良好的鲁棒性，能够为实际工程应用中的SOC估计提供可靠依据。