立足轨迹方程的求解，探究椭圆的生成方式

张思思

摘 要：基于椭圆单元教学整体分析进行本节课的教学设计，充分利用教材例题和习题，引导学生通过求解轨迹方程，总结归纳椭圆的几种不同生成方式，使学生在亲历的过程中理解并建构知识、发展能力、提升素养。

关键词：单元教学;椭圆方程;轨迹方程;直观想象;数学运算;逻辑推理

一、内容和内容解析

（一）内容

椭圆及标准方程、轨迹方程的求解。

（二）内容解析

内容的本质：解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础。本节课是椭圆单元的第2课时，是学生学习完椭圆的定义及标准方程之后的综合应用。通过对教材例题和习题的探究，能熟练掌握轨迹方程的几种常用求解方法，分析椭圆的不同生成方式，从而对椭圆的定义及标准方程有更深的认识。掌握使用坐标法研究几何问题的方法，用方程的观点实现几何问题的代数化解决。

蕴含的思想和方法：感悟平面解析几何中蕴含的坐标法、数形结合思想、化归与转化思想等数学思想，培养作图能力、运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力等数学能力。提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学素养。

知识的上下位关系：从知识上讲，椭圆的标准方程是在直线和圆的基础上，解析法的进一步运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲，它为我们类比研究双曲线、抛物线提供了基本研究思路，注重数学思想和基本方法的引领性。充分体现椭圆的重要地位，起到承上启下的重要作用，数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。

育人价值：培养学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象的核心素养。

根据上述分析，确定本节课的教学重点：掌握轨迹方程的求解方法，认识椭圆的几种不同生成方式，体会数形结合的数学思想。

二、目标和目标解析

（一）目标

掌握轨迹方程的几种常用求解方法，分析椭圆的不同生成方式，掌握使用坐标法研究几何问题的方法，把椭圆作为重点，强调它的典型示范作用，注重数学思想和基本方法。

（二）目标解析

达成上述目标的标志是：

1.能熟练掌握轨迹方程的几种常用求解方法;

2.能理解椭圆的几种不同生成方式，对椭圆的定义及标准方程有更深的认识，体会数形结合思想;

3.能使用坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决;

4.能类比椭圆的研究方法，研究双曲线、抛物线的相关问题。

三、教学问题诊断分析

学生在解决解析几何有关问题的时候，存在以下几种问题：

（一）作图意识薄弱，解题时没有养成做出草图或相对准确图像的意识;

（二）对题目中条件的实际含义理解不清，无法熟练掌握几何条件与代数条件互化;

（三）计算能力欠缺，对待相对复杂计算存在较强畏惧感;

（四）表达规范有待加强，书写或表达不规范、不完整。

教学难点：椭圆的几种不同生成的理解，数形结合的数学思想方法。

四、教学支持条件分析

借助几何画板、GeoGebra等数学软件制作课件供教师演示，为教师和学生探究轨迹方程和进行数学实验提供了良好的硬件基础。

五、教学过程设计

环节1：旧知回顾，引入课题

问题1：在本单元前我们介绍了圆锥曲线的研究思路是什么？

回答预案：曲线的几何特征——曲线的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用

问题2：上节课我们已经学习了椭圆的定义，并根据椭圆的几何特征，使用坐标法研究得到了椭圆的标准方程。在这个过程中，我们总结了求解轨迹方程的一般步骤是什么？

回答预案：建系——设点——限式——代换——化简——检验

师生活动：通过问题引导学生回顾旧知，总结在椭圆的标准方程推导过程中，研究轨迹方程求解的一般步骤。

追问1：轨迹方程的常用求解方法有哪些？椭圆是否还有其他的生成方式？

接下来我们通过研究教材上的例题和习题，来研究这两个问题。

设计意图：通过复习椭圆的定义及其标准方程，引导学生思考椭圆是否有其他的生成方式。引导学生正确认识教科书中的例题与习题，帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力，解决问题、分析问题的能力，培养学生数学抽象的素养。

环节2：问题研討，典例剖析

探究1：利用定义法求动点的轨迹方程

[例1]（教材P115-6）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆O上任意一点，线段PA的垂直平分线l和半径PQ相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

问题3：本题隐藏的几何特征是什么？分析点Q运动过程中的变与不变，为什么不变？

师生活动：师生共同研究例1，教师通过GeoGebra软件动态展示，几何直观展现动点Q的轨迹，引导学生思考。教师个别提问，学生回答点Q运动过程中的变与不变。

追问2：（教材P115-10）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心O的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

师生活动：教师通过几何画板软件动态展示，几何直观展现动点的轨迹。师生通过思考、讨论、交流，共同总结得出圆心O到两圆圆心距离之和为一个定值。

教师总结：轨迹方程的求解方法1——定义法;椭圆生成方式1——椭圆的第一定义。

设计意图：通过信息技术在数学教学中的运用，增强教学的直观性和操作性，使学生在信息技术的帮助下体会轨迹问题中的变与不变。

探究2：利用相关点法求动点的轨迹方程。

[例2]（教材P108例2）在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

师生活动：学生思考，教师通过GeoGebra软件动态展示，几何直观展现动点的轨迹。师生共同分析得到，点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动，可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程。教师板书例2的求解过程，引导学生总结利用相关点法求点的轨迹方程的方法。

问题4：如果过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

追问3：你能发现椭圆和圆之间的关系吗？

师生活动：教师通过GeoGebra软件几何直观展现动点的轨迹，如果過点P作y轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆。引导学生发现，圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。

教师总结：轨迹方程的求解方法2——相关点法;椭圆生成方式2——利用伸缩与变换。

设计意图：引导学生思考椭圆与圆的关系，提高学生分析问题的能力。通过问题引导学生独立思考，体现数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平。

探究3：利用直接法求动点的轨迹方程。

[例3]（教材P108例3）A、B两点坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。

师生活动：学生上台进行扮演，其他同学进行小组讨论。教师引导学生讨论所求方程是否满足“曲线上点的坐标都满足方程”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”两个问题。

设计意图：使学生体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步理解通过方程研究曲线性质的合理性，培养理性思维。

追问4：我们把这个问题一般化，是否椭圆上的点（长轴端点除外）与长轴的两个端点连线的斜率之积是一个定值？如果是，这个定值是多少？

师生活动：师生共同探究一般问题：

1.已知A（-a，0），B（a，0），点M在椭圆则。

椭圆的性质：椭圆上的点（长轴端点除外）与长轴的两个端点连线所成角是定值。

2.已知A（-a，0），B（a，0），点M满足则点M的轨迹是椭圆（长轴端点除外），轨迹方程是。

教师通过对椭圆标准方程推导过程的变形，从数的角度进行解释：

，得，

得，得

教师总结：轨迹方程的求解方法3——直接法求轨迹方程;椭圆生成方式3——一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数。

设计意图：不同于教材中从“距离”间的关系给出椭圆的定义，本例题从“角度”间的关系反映椭圆的性质及其生成方法，引导学生理解坐标法的基本思想，这条性质还具有可推广性，给后续拓展教学留下了空间。此外，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会，得到生成椭圆的另一种方法，一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数的轨迹是一个椭圆，使学生体会椭圆的几何特征的不同的表现形式。

[例4]（教材P113例6）动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和M到直线距离的比是常数，求动点M的轨迹。

师生活动：学生利用直接法求得动点M的轨迹方程，发现点M的轨迹是一个椭圆。

教师通过对椭圆标准方程推导过程的变形，从数的角度进行解释：

，得

并引导学生思考这个方程的几何意义如何？教师通过GeoGebra软件几何直观展现动点的轨迹，引导学生总结归纳，得出椭圆的第二定义。

教师总结：椭圆生成方式4，椭圆的第二定义。

设计意图：介绍椭圆的第二定义，体现从特殊到一般的过程，为后续引出抛物线的定义和圆锥曲线的统一定义作铺垫。用“距离”的眼光看待问题，将推导椭圆标准方程的式子变形为，这说明“统一定义”和“个性定义”的等价性。从数的角度进行分析，充分体现数与形的内在统一性，体现数形结合的思想。将已有的几何元素、几何关系代数化，通过代数运算及变形，考查不同途径下代数运算的几何意义，发现几何性质，提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象素养。

环节3：当堂检测，巩固知识

设计意图：通过习题的训练，提高学生解决与分析问题的能力。有利于学生理解和掌握相应的内容，从而获得四基、四能，提升数学学科核心素养。

课堂小结：谈谈本节课你有何所想所得？

本节课通过研究轨迹方程的求解方法、探究椭圆的几种不同的生成方式，培养学生数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想等数学思想。

1.轨迹方程的求解方法。

2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程：椭圆的几种不同的生成方式。

设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高学生的抽象概括能力、数学运算能力和逻辑推理能力。渗透直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养。

作业布置：

1.书面作业：完成目标检测。

2.整理作业：类比探究双曲线的几种不同生成方式。

3.拓展作业：解析几何形成与发展（可上网查阅），推荐书目：阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》。

设计意图：教材中安排了“文献阅读与数学写作，解析几何的形成与发展”，要求学生查阅与解析几何有关的文献，了解解析几何形成与发展的过程，以及解析几何对人类文明的主要贡献，从而体现数学文化的渗透。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1学生用书.[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1教师用书.[M].北京：人民教育出版社，2004.

[3]普通高中教科书数学选择性必修第一册学生用书.[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4]普通高中教科书数学选择性必修第一册教师用书.[M].北京：人民教育出版社，2020.

[5]普通高中教科书数学教师培训手册.[M].北京：人民教育出版社，2020.