基于“一题多解”的初中数学核心素养培养

丁淑琳，王罗那，黄 韬

(1.湖州市环渚学校，浙江 湖州313000；2.湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000)

数学核心素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具有的品质，是人们与周围环境产生相互作用时表现出来的思考方式和解决问题的策略[1].一题多解是利用不同的思维方法对同一个问题使用两种或两种以上的方法进行求解.其本质是紧扣习题本身，灵活运用定义、定理等基本原理，通过不同的途径呈现问题的解答过程.

在教学过程中，合理渗透一题多解的思想，有利于促进学生灵活运用数学知识能力，活跃学生的数学思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，从而激发学生对数学学习的兴趣[2].如何恰当地实施一题多解，培养学生的数学核心素养，本文以初中数学例题为例，通过一题多解进行分析探讨.

1 试题呈现

并非所有的例题都适合一题多解，一题多解的题目需具备代表性、综合性、灵活性等特点，既要包含基本知识点，又要有一定的知识广度和难度.本文选择以下例题作为实施一题多解的载体.

例如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m≠0)分别交x轴、y轴于A、B两点,已知点C(3,0).设点P为线段OB的中点,连结PA、PC,若∠CPA=45°,则m的值是( ).

图1 教学例图Fig.1 Teaching illustration

1.1 试题分析

本题是一次函数与几何相结合的题目，主要考查待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点.题目的呈现以函数为主线，聚焦图形与几何问题，虽然外表朴实无华，但内涵却很丰富.题目构思紧扣《义务教育数学课程标准(2011年版)》要求，以培养学生的核心素养为出发点，引导学生在解决实际问题的过程中总结经验，探究与感悟知识的发生发展过程，挖掘问题本质，帮助学生获得知识和素养水平的双重提升[3].根据题意可得到以下几个条件：①直线斜率为1，即∠ABO=∠BAO=45°；②P为线段OB中点；③∠CPA=45°.根据学生的已有知识和解题经验，本题可应用相似、等腰直角三角形等知识来解题[4].在教学中教师应更多地让学生去联想一些基本模型，这才是解题的关键.但学生解题的难点是如何通过作辅助线将已有的条件联系起来，这需要学生具备较强的数学素养，也是教师在教学中需要重点培养的.

经以上分析，结合教学经验与反思，本文对此题拟定了一题多解渗透核心素养的实施路径，见表1.

表1 一题多解渗透核心素养的实施路径

1.2 解法展示

视角1利用常见模型构造相似.根据题目条件的特殊性很容易联想到一些解题的基本模型，如“一线三等角”“半角模型”“K字型”“12345”等.利用模型进行一题多解能够培养学生的几何直观、推理能力和模型思想.

思路1构造“一线三等角”模型.“一线三等角”模型是一种常见的建立三角形相似的方法.该题目只有两个等角，所以可以利用45°角构造等腰直角三角形，从而构造“一线三等角”模型，并在构造时过C点作辅助线，再利用相似三角形的基本性质列出方程[5].

图2 教学例图Fig.2 Teaching illustration

思路2构造“半角模型”.“半角模型”是一种常见的基本模型，这类问题一般利用旋转得到全等三角形，进而得到线段之间的关系[5].本题由于△BOA与点P的特殊性，所以可以构造“半角模型”.

图3 教学例图Fig.3 Teaching illustration

思路3构造“K字型”模型.“K型全等”和“K型相似”模型是一个基本图形.利用该模型不仅可以找到全等三角形，还可以找到相似三角形，从而进行边长的转化和寻找等量关系.本题有45°角，所以可以构造“K型全等”模型.

图4 教学例图Fig.4 Teaching illustration

图5 教学例图Fig.5 Teaching illustration

图6 教学例图Fig.6 Teaching illustration

视角2直接构造相似.相似三角形的构造除了视角一中的4个思路外，还可直接从本题的条件出发，利用45°角构造等腰直角三角形相似和母子型相似.这是一种很好的思路，更加注重通性通法，能培养学生的几何直观和推理能力.

思路5作垂线，构相似.在平面直角坐标系中“利用垂直构造相似”是一种常用的方法.本题结合45°角构造等腰直角三角形与相似，一箭双雕，寻找两种图形之间的线段关系，从而找到等量关系.

图7 教学例图Fig.7 Teaching illustration

思路6做平行，构相似.利用平行线构造“母子型”相似模型.基于∠CPA=45°，而对应的比例线段都较容易表示，“母子型”相似也是常用的一种基本模型，所以该方法是一种较好的解题思维.

图8 教学例图Fig.8 Teaching illustration

视角3构造辅助圆.

思路7利用“四点共圆”.“四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等、半径相等，以及直径所对的圆周角是直角等知识点[5].如果学生能突破常规解法，并利用辅助圆解决问题，那么他们的创新能力就能得到很大提升.

图9 教学例图Fig.9 Teaching illustration

视角4利用已有性质或公式.

思路8利用角平分线性质.由于45°角是90°角的一半，构造了角平分线，因此可以利用三角形内角平分线的基本性质.利用45°角补全直角也是一种常用的手段.

图10 教学例图Fig.10 Teaching illustration

思路9利用三角函数公式.本解法不同于以上解法，是用代数的方法来求解几何问题，无需添加辅助线，通常把这种解决问题的方法称为解析法.该思路主要抓住∠CPA是45°和点P、C、A都是已知或可以用含m的代数式直接表示这一特征，联想到两直线夹角公式.这对提前学过高中知识的学生来说是比较自然的解法.

图11 教学例图Fig.11 Teaching illustration

2 教学导向

(1) 注重基础知识，强化基本技能.数学基础知识是一切解题的“源泉”,也是数学教学的起点.数学基本技能是数学学习的基本要求，也是数学能力与数学核心素养的基本体现.数学教学不能只注重解题而轻视数学基础知识和基本技能，而要重视数学基础知识的巩固，以及基本技能的形成与提炼.

(2) 熟悉基本模型，明确解题方向.波利亚说：“解题的成功要靠正确的思路选择，要靠从可以接近它的方向攻击堡垒.”基本模型是解决较难几何问题的一个很好的突破口，从未知图形中构造基本模型，利用基本特征和结论往往可以化难为易，顺利得解[5].教师要通过构造基本模型实现“学会建模”的教学理念，加强模型的运用，明确解题方向.

(3) 呈现多样解法，内化核心素养.无论是哪种方法，其本质都是抓住题目中的条件特征，并对其进行分解和重组.多样解法的生成与诸多因素有关.在平时教学中,教师应通过多样解法的呈现引导学生掌握几何基本模型结构,提炼几何证明的通性通法,使学生学会重新分解和组合题目条件，学会从数量和图形中寻求解题的突破，增强学生的合情推理能力.

(4) 关注初高衔接，提升解题能力.近年来，注重初高中知识衔接问题是中考数学的一大特点，很多高中的知识点在初中也稍有涉及.或以阅读材料形式给出，或可以直接使用，简化解题过程等.如解答本文例题时使用的角平分线性质、三角函数公式等，教师应做好初高中知识方法衔接的讲解与应用，使学有余力的学生提升解题能力和水平.

3 结 语

“掌握数学就意味着要善于解题”，这句话点明了数学教学的根本目的——提高学生探索和解决问题的能力，培养学生的数学创新精神.中高考这些选拔性考试具有较强的导向性，因此培养、提高学生的数学思维能力，有效地将核心素养培养贯穿于数学教学全过程，是实际数学教学的重要一环.“一题多解”教学既能激发学生学习数学的兴趣，又能培养学生的创新意识和创新思维，还可以提高学生的思维能力和解题能力，从而提升学生的数学核心素养.随着人工智能时代的到来，“计算思维”等新素养对学生的关键能力与素养的养成至关重要，因此合理利用数字化、信息化资源将有助于进一步打开学生的解题思路与视角[6].作为一线教师既要授之以“鱼”，更要授之以“渔”，让学生能真正高效地学好数学.