专题复习 圆中的相似

康聪

【摘要】在几何教学中建立几何模型，类比迁移知识，能培养学生在复杂的问题中提炼几何模型、解决问题的数学意识，能培养学生的数学核心素养.

【关键词】几何模型;核心素养;圆;相似

数学是研究数量关系和空间形式的科学，作者通过对平面几何“圆”这一章的教学进行认真总结，发现教师若能从个别习题的指导跳出来，加以科学思维角度的分析、指导，学生可以从复杂的几何问题中抽象出基本图形，将更有利于学生今后的学习.

本节是复习课，复习课要根据学生的认知特点和规律开展教学.在复习阶段，教师应以巩固、梳理已学知识、技能为主，促进学生形成知识系统，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.

圆是初中重要的几何内容，也是学生学习的难点，为加强学生理解图形的能力，本文从中考题中总结出以下基本图形，供读者参考.

基本图形一 引例：如图1，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，连接AC，CB，BD，DA，图中的相似三角形有.

解析：∵DB=DB，

∴∠DAB=∠DCB.

∵∠APD=∠CPB，

∴△APD∽△CPB.

同理，△APC∽△DPB.

反思：圆内的相似三角形可以解决什么问题呢？

练习1：如图2，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，BD是⊙O的直径.已知AC=1，BD=3，求cos∠BPC的值.

图2

解析：连接BC，∵BD是直径，∴∠BCD=90°.

由引例可得△APC∽△DPB，CPPB=ACDB=13，

∴在Rt△BCP中，cos∠BPC=CPPB=13.

反思：利用上面的基本图形条件特殊化由相似比得到线段比，求出三角函数值.

变式：如图3，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，BD是⊙O的直径.已知AC=1，BD=3，若C为AB的中点，求PC的长.

解析：∵C为AB的中点，∴AC=BC=1.

∵由练习1可得cos∠BPC=CPPB=13，

在Rt△BCP中，设CP=a，则PB=3a，得a2+1=（3a）2，

解得PC=a= 24.

总结：在圆中借助三角形相似，可以求线段长、三角函数值（也是用线段表示）等，我们解决问题的常用工具为线段的转化、勾股定理等.

基本图形二 引例：如图4，在⊙O中弦DA，BC的延长线交于圆外一点E，图中的相似三角形有.

解析：∵四边形DACB是圆内接四边形，∴∠EAC=∠B.

∵∠AEC=∠BED，

∴△EAC∽△EBD.

练习2：如图5，在⊙O中，弦DA，BC的延长线交于圆外一点E，BD是⊙O的直径.若S△EAC=S四边形ADBC，求cos E的值.

解析：连接DC，∵DB是直径，∴∠DCB=90°.

由引例可得△EAC∽△EBD，S△EACS△EBD=EC2ED2=12，∴ECED= 22.

在Rt△DCE中，cos∠E=ECED= 22.

变式：如图6，在⊙O中弦DA，BC的延长线交于圆外一点E，BD是⊙O的直径.若C为AB的中点，BD=5，BC=3，求四边形ACBD的面积.

解析：连接DC，∵C为AB的中点，∴∠EDC=∠BDC.

∵DB是直徑，∴∠DCB=90°，∴∠E=∠B，

∴DE=DB=5，EC=EB=3，∴S△EDB=12，

由引例可得△EAC∽△EBD，∴EC2ED2=S△EACS△EBD=925，∴S△EAC=10825，

∴S四边形ADBC=12-10825=19225.

小结：利用相似，给出相应面积关系，可求三角函数值.反之，给出一定的线段长和条件，可求图形面积的大小，万变不离其宗.

基本图形三  引例：如图7，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径.过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，写出图中的相似三角形.

解析：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°.

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCA=∠OCB.

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，

∴∠PCA=∠PBC.

∵∠CPA=∠BPC，

∴△CPA∽△BPC.

练习3：如图8，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径.过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，已知PC=4，tan∠PCA=12.

（1）求证：∠PCA=∠ABC;

（2）求⊙O的半径.

解析：探究问题（2）.

∵AB是直径，∴∠ACB=90°.

在Rt△ABC中，tan∠B=AC[]BC.

∵∠B=∠PCA，∴tan∠B=tan∠PCA=1[]2=AC[]BC.

由引例可得△CPA∽△BPC，得PAPC=PCPB=ACCB，∴PA4=4PB=12，∴PA=2，PB=8，∴AB=6，r=3.

反思：题中只有一个线段长条件PC=4，若求半径r，仅有tan∠PCA=12的条件是不够的.挖掘题目中的隐含条件△CPA∽△BPC，可将∠PCA转化成∠PBC，借助直角三角形，得线段比ACCB=12，再次利用相似，得到相似对应边连等式，PAPC=PCPB=ACCB，从而求出半径长.

图9变式：如图9，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径.过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，已知AB=10，tan∠PCA=34，求PA的长.

解析：由△CPA∽△BPC，得PAPC=PCPB=ACCB=34，

∵AB=10，∴PAPC=PCPA+10=34，得4PA=3PC，4PC=3PA+30，求得PA=907.

圆的学习是学生学习强度的分水岭，主要看学生在学习几何图形时能否找到突破口把未知转化成已知，体现了数学的价值观念.数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.

解题的关键是找到题中的线索，利用基本图形所对应的基本结论，打通思路，使解题方法“水到渠成”，这里的“水”是指特征条件，“渠”就是指基本图形，审视到“水”，就会联想到“渠”，从而达到“水到渠成”的效果.

一个几何综合题的图形包含多个基本图形或基本图形的一部分元素，如果从中提炼基本图形，或补充、构建完整的基本图形，解题效率可大大提高.