李代数sl(2，C)的斜导子

易 扬，远继霞

(黑龙江大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

0 引言

李代数是现代数学的重要基础，促进了Kac-Moody代数、量子群等新兴分支的出现和发展，和群论、拓扑、微分几何以及理论物理都有密切联系，并在上述领域中有许多的应用.研究者对于李代数的导子做了许多研究工作.[1-9]文献[5]引出斜导子是通常导子的自然推广之一，也是广义导子和时滞导子的一个推广.文献[2-4]中已经得到了一些关于广义斜导子的结果.许多学者对素环和半素环上的偏斜导子做了许多细致深刻的探讨.文献[5]介绍了素环和半素环上的对称斜3-导子的概念.文献[1]将广义斜导子的定义推广到R的右Martindale商环Q上.本文将文献[7]中斜导子的定义推广到了李代数上，并研究了sl(2，C)的自同构所确定的斜导子的形式，得出对sl(2，C)任意的自同构σ，σ-导子空间是1维或3维的.

1 预备知识

本文设C是复数域，所有的向量空间都是在复数域C上的向量空间.设V是C上的向量空间，End(V)为V上的所有线性变换构成的集合.对于一个李代数g，记Autg为g的自同构群.

定义1[7]对于σ∈Autg，令D是g上的线性变换，满足

D([x，y])=[Dx，y]+[σ(x)，Dy]，∀x，y∈g，

(1)

则称D为李代数的斜导子(或σ-导子).

令Derσg为g的所有σ-导子构成的集合.注意到Derσg对于线性变换的加法和数乘构成一个线性空间，将其称为g的σ-导子空间.显然任意一个李代数的导子是id-导子，因此斜导子是导子的推广.本文将研究典型李代数sl(2，C)的σ-导子.回忆李代数sl(2，C)的结构，sl(2，C)是由迹为零的2×2矩阵构成的李代数，不难验证它有以下的一组基：

而且基元之间的运算满足下面的关系式

[h，e]=2e，[h，f]=-2f，[e，f]=h.

2 斜导子的刻画

下面进行斜导子的刻画，引入如下引理：

谈话前,卢一平表现得漫不经心若无其事。他和郝桂芹回顾了家里的收支状况,感叹物价飞涨,报怨收入微薄,接下来,是感叹孩子借读的开销和老人医护费的攀升。看见郝桂芹连连点头、默认,卢一平知道火候到了,机会来了。他开始分析了,他开始总结了。总结的结果,是这样下去将会坐吃山空。得出的结论,是必须改弦易辙才能扭转局面。

证明由于A可逆，故ad-bc≠0，分成bd≠0和bd=0讨论.当bd≠0时，即为情况(1).当bd=0时，可分为b=0和d=0.若d=0，即为情况(2).若b=0，可分为c≠0和c=0，a≠d以及c=0，a=d讨论.c≠0即为情况(3)；c=0，a≠d即为情况(4)；c=0，a=d即为情况(5).

引理2[6]对每个可逆阵A，令σA(X)=A-1XA，则σA是李代数sl(2，C)的自同构，且sl(2，C)的所有自同构是映射XA-1XA所组成的集合.

命题1 DerσAi(sl(2，C))=CDAi，i=1，2，3，4.

证明“⊇”关系显然成立，下面证明“⊆”关系.

σA(X)=A-1XA.

σA：h[(da+bc)h+2bde-2acf]；

e[dch+d2e-c2f]；

f[(-ba)h-b2e+a2f].

设D∈DerσAi(sl(2，C))，且

其中m，n，p，q，s，t，u，r，w∈C.根据(1)式，得到下面的等式：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

由(2)—(10)式，整理得到以下等式：

2bdu+2acq=0，4bcq-4bdm=0，-4bcu-4acm=0，

-4adr-4acn=0，4dat-4bdp=0，2dcq-2d2m=0，

2bau+2a2m=0，-2dcr-2c2n=0，-2bat+2b2p=0，

(ad-bc)m-(ad-bc)w-b2r-a2s=0，(ad-bc)q+2(ad-bc)p-2bas+2b2n=0，

(-ad+bc)u-2(ad-bc)n-2dcw-2c2p=0，-2(ad-bc)p-b2u-a2q=0，

(-2n-u)(ad-bc)+2bdr+2acs=0，2(ad-cb)m+4bcs-4bdn=0，

(2p+q)(ad-bc)+2bdw+2act=0，-4bcw-2(da-bc)m-4acp=0，

(ad-bc)s-(ad-bc)m+d2w+c2t=0，(cb-ad)q+2dct-2d2p=0，

-4(ad-bc)t-2baq+2b2m=0，(2a2-2ad+2cb)p+2baw=0，

2(ad-bc)n+d2u+c2q=0，4(ad-bc)r-2dcu-2c2m=0，

(ad-bc)u+2bar+2a2n=0，(ad-bc-a2)t-b2w=0，

(d2-ad+bc)r+c2s=0，2(ad-cb-d2)n+2dcs=0.

当A=A1时，由上述等式解得：

于是

同理可得，当A=A2时，等式的解如下：

于是

当A=A3时，等式的解如下：

于是

当A=A4时，等式的解如下：

于是

综上所述，DerσAi(sl(2，C))⊆CDAi，i=1，2，3，4.

上述等式的解如下：

p=-1/2q，s=-dw/a，u=-2n，m=t=r=0.

于是