“以学为主”下的高中数学有效教学

胡冬梅

摘 要：高中数学教学中“以学为主”，充分尊重学生在学习中的主体地位，有助于营造良好的课堂氛围，调动学生学习的积极性，挖掘学生的学习潜力。为获得预期的教学目标，“以学为主”教学活动中，应认真研究学生学习内容，做好课堂教学设计，采取针对性授课策略，保证学生能够深入理解，牢固掌握所学知识。本文以“三角恒等变换”教学为例进行探讨。

关键词：高中数学;以学为主;教学

“三角恒等变换”是高中数学的重要知识点。该部分涵盖很多公式，部分公式较为相近，需要学生牢固记忆。为避免学生学习过程中产生枯燥感，帮助其构建系统的知识网络，使其在解题中正确、灵活运用相关公式，应结合自身授课经验，认真开展“以学为主”教学活动。

一、预留时间，鼓励自学

教学中为给学生留下深刻印象，使其搞清楚“三角恒等变换”公式之间的区别与联系，应做好教学环节的合理设计，尤其应注重给学生预留空白时间，要求学生先进行“三角恒等变换”公式的学习并尝试着进行推导，更好地把握“三角恒等变换”公式的本质。同时，为避免学生将相关的公式记混淆，可对相关的公式分门别类并运用多媒体屏幕进行展示，引导学生观察公式的细微区别，必要情况下要求学生运用思维导图、列表格等方法进行对比记忆。另外，自学的过程中引导学生通过解答相关习题检验自学成果，以暴露出自学的薄弱点，及时加以弥补。如课堂上可要求学生解答如下习题：

已知α∈（0，），2sin2α-1=cos2α，则cosα（ ）

A. B. C. D.

该习题难度不大，只要能够牢固记忆“三角恒等变化”公式，利用sin2α+cos2α=1，这一隐含条件不难作答。

∵2sin2α-1=cos2α，∴4sinαcosα-1=2cos2α-1，可得2sinαcosα=cos2α，即，2sinα=cosα，sinα=cosα。

又∵sin2α+cos2α=（cosα）2+cos2α=1，∴cos2α=1，又∵α∈（0，），∴cosα>0，即，cosα=，选择D项。

二、讲解例题，鼓励反思

“三角恒等变换”教学中，开展“以学为主”教学活动时，不能对学生放任不管，仍应注重讲解相关例题，只不过需要把握例题讲解时间，不能占用太多时间，锻炼学生思维的灵活性。教学实践表明，一些学生往往善于运用“三角恒等变换”公式进行正向的推理，而在逆向推理上较为薄弱。针对这一现象，应在例题的筛选上多下功夫，注重选择代表性较强的例题，为学生展示“三角恒等变换”公式的逆向运用。如在课堂上为学生讲解如下例题：

已知x∈（0，），y∈（0，），=，则（ ）

A.y-x= B.2y-x= C.y-x= D.2y-x=

该题难度一般，考查“两角和与差”公式的逆向应用。课堂上讲解该例题，能使学生体会“两角和与差”公式逆向推理过程，又能使其更加牢固的掌握这一公式，使其在以后遇到类似问题，能够迅速地找到破题思路。

∵cos2y=（1-sin2y），=

∴==，

即，cosy（cosx+sinx）=siny（cosx-sinx），

cosycosx+cosysinx=sinycosx-sinysinx，cosxcosy+sinxsiny=sinycosx-cosysinx，∴cos（x-y）=sin（y-x），∵x∈（0，），y∈（0，），∴y-x=

三、注重训练，鼓励交流

“以学为主”下进行“三角恒等变换”教学时，为使学生积累相关的解题经验，提高解题能力，应注重鼓励学生做好日常的训练活动，尤其为获得良好的训练效果，要求学生认真落实以下内容：其一，高中数学学习时间紧，因此在训练时应提高训练效率，避免题海战术，应结合自身实际做好训练习题的挑选，注重将重点放在巩固记忆不牢固的知识上;其二，端正训练态度。训练的过程中不能简单地追求得出正确答案，应要求学生多进行反思与交流。其中反思的内容包括习题考查了哪些知识点、设计的是否有陷阱、怎样快速的寻找到解题思路等。同时，与多与其他学生交流学习心得，多借鉴他人高效的解题方法。如辅助角是“三角恒等变换”部分的重要内容，为更好地掌握该内容，要求学生多做相关的训练习题，如下题：

已知函数f（x）=（3sinx-4cosx）|cosx|在x=x0处取得最大值，则sin2x0的值为（）

A. B. C.- D.-

该习题考查的知识点较多，主要有分类讨论、辅助角等，是一道优秀的习题。训练中要求学生认真对待，详细写出解题过程。

∵cosx的正负未知，因此，需要进行分类讨论。

①当cosx≥0，则f（x）=（3sinx-4cosx）cosx=3sinxcosx-4cos2x=sin2x-2cos2x-2=sin（2x-φ）-2，f（x）max=-2=;

②当cosx<0，f（x）=（3sinx-4cosx）（-cosx）=-3sinxcosx+4cos2x=-sin2x+2cos2x+2=cos（2x+φ）+2，此时cosφ=，sinφ=，此时f（x）max=+2=;此时2x0+φ=2kπ，2x0=2kπ-φ，∴sin2x0=sin（2kπ-φ）=sin（2kπ-φ）=-sinφ=-，选择D项。

四、拓展能力，鼓励总结

“以学为主”下的“三角恒等变换”教学中，为避免学生学习的过程中浅尝辄止，应注重引导学生进行有针对性的学习，并鼓励其做好学习的总结。学生自学的过程中往往进行训练以达到巩固学生所学，提高学以致用能力的目的，但是为了更好地拓展解題能力，训练时应引导学生不能满足于已取得的成绩，要求在训练的过程中做一些有难度的习题，拓展自身视野。同时，认真总结相关习题特点、习题“难”在何处以及相关的破题思路，从而对所学知识有个更为全面、清晰的认识。如为拓展学生能力，可要求学生解答如下习题：

已知α=1°，β=61°，γ=121°，则以下结论正确的是（ ）

（1）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=3;

（2）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=-3;

（3）=3;

（4）=-3;

A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）

该习题具有一定难度，需要学生积极联系所学，把握角度之间的内在关系，运用“三角恒等变换”公式加以巧妙的变形、求解。

∵α=1°，β=61°，γ=121°，∴tan（β-α）=tan60°=，tan（γ-β）=tan60°=，tan（α-γ）=tan（-120°）=。

∴tanβ-tanα=（1+tanαtanβ）①，tanγ-tanβ=（1+tanβtanγ）②，tanα-tanγ=（1+tanγtanα）③。

①+②+③得：（3+tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ）=0

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ=-3，（2）正确。

将①×tanγ，②×tanα，③×tanβ分别得到：

tanβtanγ-tanαtanγ=（tanγ+tanαtanβtanγ）

tanγtanα-tanβtanα=（tanα+tanαtanβtanγ）

tanαtanβ-tanγtanβ=（tanβ+tanαtanβtanγ）

以上各式相加得到：tanα+tanβ+tanγ+3tanαtanβtanγ=0，

∴=-3，（4）正確。综上正确答案为D项。

结束语

在“以学为主”的背景下开展“三角恒等变换”教学活动时，应将更多的时间留给学生，自己则扮演好“领路人”的角色，让学生自己学习、思考、总结并给予学生学习上的指引，使其在训练中犯错、纠错，如此既能营造活泼的数学课堂氛围，又能更好地加深学生印象，提升学生的学习体验，使其更加愿意学，积极地学。

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