基于学生视角的解题策略探究案例

李小蛟

(四川省成都市树德中学 610091)

在核心素养视角下，不断优化数学教学活动，提高学生数学的解题能力，既是学生全面发展的需要,更是为学生养成终身学习的重要途径.在高中数学教学中，教师以培养学生核心素养为出发点和落脚点，运用各种有效的教学手段，让学生掌握解决数学问题的方法，能够令学生从解题开始对数学知识文化体系进行学习和剖析，并且更进一步进行系统化与细量化的研究，激发学生的思维，实现动手、动脑、动口三位一体,从而灵活运用所学习的知识去解决数学学习上的问题，使得学生们能够直接提升自己的解题能力，从而增强课堂上教学的有效性和规范性.

一、试题呈现

(1)试讨论f(x)的单调性；

(2)当a=1时，f(x)-xg(x)≥lnx恒成立，求实数b的取值范围.

二、试题解析

1.第(1)问解析

题目的第(1)问中，函数f(x)以对数和分式函数为背景考查导数运算及含参数的单调性问题，涉及复合函数求导和参数分类讨论.以学生的视角出发，复合函数导数运算法则是问题解决的易错点，分类讨论思想充分体现数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养，如何分类，分类的标准在哪里，需要学生非常准确地判断并给出正确的解答.

(1)当a>0时，f(x)的定义域为(0,+∞)，由f′(x)<0，解得00，解得x>a.此时，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增.

(2)当a<0时，f(x)的定义域为(-∞，0)，由f′(x)<0，解得x0，解得a

2.第(2)问解析

题目中(2)问“当a=1时，f(x)-xg(x)≥lnx恒成立，求实数b的取值范围”是给定包含参数且较复杂函数的恒成立，求参数的取值范围，对学生的思维量，运算量要求高，难度较大，下面我们从学生的视角出发来探讨这一问题的解决策略.

策略探究1 基于学生视角，求参数的恒(能)成立问题的思路是参变分离，这种思路可以避免参数的讨论，将参数转移.

故b≤h(x)min=e.

令x=1，则be-1≤1+ln1，则b≤e.

当b≤e时，bxe-x≤xe1-x(x>0)，令m(x)=xe1-x(x>0)，则m′(x)=(1-x)e1-x.所以m(x)=xe1-x在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减.于是m(x)≤m(1)=1，即bxe-x≤1.

综上所述,实数b的取值范围为(-∞,e].

策略探究3 在求解函数与导数的恒成立问题时，优先考虑的还是直接求导对参数讨论，直接求导后讨论难点在于如何对参数进行分类.

说明构造函数n(x)，求导之后的处理还应该前后对照统一解决(否则当b≤0时的处理就比较困难).

策略探究4 在处理函数问题时，可将整体函数分割成一些常见的函数，先进行局部处理，再统一整合.

小结面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路，是一线教师在教学中的重难点.妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界.只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题，因此在教学中我们要基于学生的视角加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力.