多措并举突破导数压轴题

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

多年来，导数在高考中是热点，也是难点，考查越来越灵活，呈现形式越来越多样，且以解答题的形式呈现.新疆2021年普通高考第一次适应性检测试卷中，导数依然是难点，特别是第(2)问，学生得分率非常低，很多同学感觉无从下笔，甚至放弃作答.笔者尝试着从不同的视角出发，以不同的解法突破了此题，现分享于此，以飨读者.

一、题目呈现

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式kx+lnx≤x2f(x)-1在(0,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围.

二、宏观分析

本题是含参问题，关于字母参数求解问题是学生普遍感到困难的问题.在高考的一轮复习中，学生已经接触了一些相对简单的导数题，也掌握了一些解题方法，比如分离变量法、构造函数，利用单调性处理问题，还有导数的几何意义等.因此，我们试着遵循学生的认知规律和已有的知识结构，从这些方面入手剖析问题.

三、试题解答

视角1利用分离变量法、构造法，借助隐零点求解.

整理,得x0+lnx0=(-lnx0)+ln(-lnx0).

并且当x∈(0,x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0.

从而得出k≤1.

评注隐零点是指一个函数存在零点，但无法具体求解出来.本解法涉及到了隐零点问题.隐零点问题通常在模考或高考的考题中以压轴题的形式呈现，学生往往不容易得分.此解法还有一个关键点就是根据隐零点得到的等式不常见，如何构造恰当的函数，进一步得出更简洁的结论，也是值得深思和归纳总结的.一般是将抽象化具体，超越化初等.

视角2 利用公切线,数形结合求解.

评注解法2体现了数形结合思想在解题中的应用.如何在高中数学教学中灵活应用数形结合，以形助数，是每一位数学教育工作者和一线数学教师应该思考的问题.数学家华罗庚有句至理名言：数形结合万般好，隔离分家万事休.因此在解题中，我们需要尽可能地将几何图形及数量关系有机地结合起来，才能达到事半功倍的学习效果.

视角3 借助常用结论构造函数，借助单调性求解.

因此问题转化为求F(x)的最小值即可.

为了解决问题的方便，我们还需新构造函数g(x)=ex-x-1，g′(x)=ex-1，显然x∈(0,+∞)时，g′(x)>0恒成立.所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=0，所以ex≥x+1.从而ex+lnx≥(x+lnx)+1.

所以F(x)min=1.

从而得出k≤1.

评注解法3解决问题的关键在于根据变形得到的代数形式，构造恰当的具体函数，求导后确定新构造函数在指定区间上的单调性，再结合题意解决问题.这就需要在平时的解题中有意识地归纳总结一些常用结论(本例用到了ex≥x+1)，进行必要的证明之后就可以作为相应解答题的关键点和突破口.当然从以上的解题中发现还需要进行恰当的变形，这是更高层次和更高能力的要求.

四、解题反思

从以上的解题中不难发现，数学思想方法在导数压轴题的解题中贯穿始终.构造函数的思想，数形结合的思想在解题中也体现得淋漓尽致，而将不等式问题转化为求函数的最值问题也充分展现出来了，还有化归与转化的思想也必不可少.因此，通过此题的解析与探究，我们应该有更深入的思考.在今后的教育教学中，需要逐步渗透数学思想方法，启发学生多思考、多提炼、多总结，吃透问题的本质和合适的解题策略，期待能够突破导数压轴题.