递推思想及其应用

【摘 要】递推思想是数学中的重要思想方法，用它来解决与正整数有关的问题或操作次数较多的问题时，通过建立相邻项的关系就能使复杂的整体问题转化为简单多次的局部问题。本文旨在介绍递推思想在数列、函数、计数问题中的

应用。

【关键词】递推思想;数列;应用

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0171-02

递推思想是探索数学规律，通过有限认识无限的一种数学思想，在高中阶段培养学生用递推思想思考问题的能力，可以促进学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的提升[1]。本文旨在介绍此法在数列、函数等相关问题中的应用，注重分析问题、解决问题的思维过程，渗透思想方法，能提高学生解决问题的能力。

1   数列问题

例1：（2018年上海市浦东新区高三二模）已知数列{an}中a1=1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N *，均有Sn=an+k?k（k是常数，且k∈N *）成立，则称数列{an}为“H（k）数列”。若数列{an}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问是否存在数列{an}，使得|an2?an?1an+1|≤40对一切n ≥ 2，n∈N *成立？如存在，求出a2的所有可能值;如不存在，说明理由。

【分析与解】an+1=an+3?an+2an+3=an+2+an+1（n∈N *），所以an+2=an+1+an（n ≥ 2），|an2?an?1an+1|=|an2?an?1（an+an?1）|=|an?12?anan?2|=…=|a32?a2a4|=|a32?a2a3?a32|≤40（n ≥ 3），因为S1=a3?2，a1=1，所以a3=3，|9?3a2?a22|≤40，且n=2时，|a22?3|≤40，所以a2=0，±1，±2，±3，±4，±5，?6。

【点评】{an}从第二项起是斐波那契数列，虽可求通项，但以通项代入会导致繁复的运算。于是考虑将整体的恒成立问题通过递推关系转化为只与前几项有关的局部运算，使问题得以简化。

例2：（高中数学联赛模拟题）数列{an}中，a1是正整数，an=[]，n ≥ 2，其中[x]表示不超过实数x的最大整数。求证：存在正整数N，使得aN=N。

【分析与解】若a1=1，命题已成立。若a1≥2，经计算知{an}的前若干项单调递增，而正整数数列bn=n递增且趋于正无穷，类似于连续函数的零点存在定理可知存在正整数N，使得aN=bN，所以，单调性与临界点是解决问题的关键。首先证明存在正整数m，使得am ≤ m。反之对任意正整数n都有an≥ n+1，因为an=[]≤，

所以an2 ≤ nan?1，an?12≤（n?1）an?2，…，a22 ≤ 2a1，相乘得an2an?1…a2 ≤ n！a1，所以（n+1）2?n…2 ≤ an2an?1…a2a1≤ n！?a12，即an ≥ n+1对任意正整数n都成立，矛盾。所以存在正整数m，使得am ≤ m。若am=m，命题已成立，否则设N是最小的正整数使得aN ≤ N?1，则N?1 ≥ aN=[]>?1，所以aN?1

【点评】本题先作直观分析，再利用高斯函数的性质x?1<[x]≤ x建立递推不等式，将正整数的相等关系通过离散性转化为不等关系求解，從而将数列的整体性质转化为简单多次的局部性质来解决。

2   函数问题

例3：（2017年上海市建平中学高三三模）若定义在R上的函数 y= f（x）满足：对于任意实数x，y，总有 f（x+y）+ f（x?y）=2 f（x） f（y），则称f（x）为“类余弦型”

函数。

若f（x）为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有为f（t）>1，证明：函数f（x）为偶函数;设有理数x1，x2满足|x1|<|x2|，判断f（x1）和f（x2）的大小关系，并证明。

【分析与解】可取满足条件的一个函数——双曲余弦函数f（x）=进行判断，得 f（x1）< f（x2）。问题只要求证明有理数相关结论，而有理数可用整数表示，所以考虑将所给函数方程表示为某种整数条件再建立递推关系求解。令x=1，y=0得2f（0） f（1）=2f（1），由f（1）>1知f（0）=1。令x=0得 f（y）+ f（?y）=2 f（y），所以 f（y）=

f（?y）对任意实数 y都成立，所以f（x）是偶函数。设 y≠0，令x=ky（k∈N*）得 f（（k+1）y）+f（（k?1）y）=2 f（ky） f（y）>2 f（ky），所以f（（k+1）y）? f（ky）> f（ky）?f（（k?1）y）>…> f（y）?f（0）>0，所以对任意非零实数 y，数列{ f（ky）}k≥1单调递增。设有理数|x1|=，|x2|=，其中p是非负整数，q，r，s是正整数，由|x1|<|x2|知 ps

f（x1）=f（|x1|）=

=f（|x2|）=f（x2）。

综上，有理数x1，x2满足|x1|<|x2|时， f（x1）< f（x2）。

【点评】本题针对有理数的条件建立函数值数列的递推不等式，将任意两个有理数的函数值的大小关系转化为同一数列的单调性求解，递推关系的建立至关

重要。

3   计数问题

例4：（2018上海市复旦大学附属中学高一期中考试）对任何有限集S，记 p（S）为S的子集个数。设 M={1，2，3，4，5}，则对于所有满足 ABM的有序集合对（A，B），求 p（A） p（B）的总和。

【分析与解】记 Mn={1，2，…，n}，p（A）p（B）的总和为Tn，容易计算T1=7。对任意的ABMn，设n+1时（A，B）变为（A'，B'）。若n+1B，则A'=A，B'=B，

p（A'）p（B'）=p（A）p（B）;若n+1∈B＼A，则A'=A，B'=B∪{n+1}，p（A'）p（B'）=2p（A）p（B）（A=B时也有A'=A，B'=B）;若n+1∈A，则A'=A∪{n+1}，B'=B∪{n+1}，

p（A'）p（B'）=4p（A）p（B）。所以，对任何有序对（A，B）总有

p（A'）p（B'）=7p（A）p（B） ，从而 Tn+1=7Tn ，故Tn=7n 。

【点评】本题可对A的元素个数讨论，利用子集个数公式和二项式定理求出 i 元素子集时 p（A） p（B）的总和，再求所有的总和，这样就将变成完全局部化的处理。递推方法则考虑到了从n到n+1的变化情况及其关系，并将局部关系应用到整体来解决，是与元素个数有关的计数问题的常用方法。

例5：（2017年上海市长宁区高三二模）设x1、x2、…、x10 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m、n，且1 ≤m

A.512       B.256       C.255       D.64

【分析與解】考虑最大项的位置，建立递推关系。设x1，x2，…，xl是1、2、…、l的一个排列，满足条件的排列个数记为 Al，显然A1=1。当l ≥ 2时，考虑最大项l的位置。若xk=l，则l+k=xk+k ≤ xk+1+k+1，所以xk+1 ≥ l?1，故只能有xk+1 = l?1，以此类推可知xn=l?n+k（n=k，k+1，…，l），即xn+n=l+k（n=k，k+1，…，l），特别地，若x1 = l，则只有一种排列：xn=n+1?l（n=1，2，…，l）。又因为当n

作差得Al+1=2Al，又因为A1=1，所以Al=2l?1（l∈N*），A10=512。

【点评】本题考虑极端情况，通过最大项的位置决定其他项的取值，得到l?1阶递推关系再求通项，既有局部递推关系的建立，也有利用递推关系处理整体问题的思维方式，都是化繁为简的基本思想的体现。

上述实例是中学阶段利用递推思想解决问题的部分应用，递推思想不仅在数列、函数、计数问题上有所应用，还在众多数学分支如组合、概率、组合、矩阵问题的研究中显示出独特的魅力，有较高的理论和应用价值。把握好递推思想，运用好递推关系不仅可以提高学生的数学素养，更对学生今后进行学术问题的研究起到非常重要的作用[2]。综上，数学解题的过程是一个不断经历探索思考的过程，遇水善于搭桥，逢山敢于开路，只有经历这样的过程才能提高学生的思维能力和水平。

【参考文献】

[1]曹程锦.递推思想及其应用[J].中等数学，2018（3）.

[2]凌世芳.例谈地推思想在中学数学中的应用[J].中学数学，

2012（3）.

【作者简介】

何正华（1990～），男，汉族，浙江兰溪人，硕士，中学二级教师。研究方向：中学数学教学。