Geogebra在高中函数教学中的应用探究

徐毕娟

函数是高中数学最基本的概念，是描述客观世界变量关系和规律最为基本的数学语言和工具，函数的学习贯穿整个高中数学的主线。但函数内容的抽象，思想的深刻等使得学生在函数学习的过程中颇感艰难。在“互联网+ ”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教育产生深刻影响。它是教师教学和学生学习的重要辅助手段。教师应重视信息技术与数学课程的深度融合，借助信息技术优化传统教学手段。Geogebra因为内置函数丰富，绘制函数图像非常方便、迅速，函数检视功能很实用等优点成为函数教学和学习过程中师生的好帮手。以下介绍Geogebra不同的功能在函数教学几个不同方面的应用。

一、神奇滑动条、变中探规律

Geogebra的优点之一便是用滑动条表达变量，控制研究对象，且滑动条设置极为简单，滑动速度、方式、变量范围等都可直接设置。以三角函数的学习为例，设置三个滑动条，让它们逐一滑动，学生便可直观地看到每一个参数对函数图像的影响，尤其是变化先后顺序调整时函数图像左右移动的量，这是学生理解上的一个难点。反复观看，学生可自主归纳参数的意义、函数的平移、伸缩变化规律以及各个性质等。指数函数、对数函数、幂函数等初等函数的教学都是同样的道理。授之以鱼不如授之以渔，通过教师的引导，学生完全可以掌握Geogebra滑动条的使用，课余便可自行或者小组合作探究如等其他未知函数的图像和性质，都是简洁、直观而高效的。也可以培养学生自主学习的能力，提高数学研究的兴趣。

利用滑动条控制变量在函数学习中除了可以探究函数图像和性质，还有很多非常广泛，如在学习定积分的概念时，学生初次接触曲边梯形，对其分割的理解是一个难点。课本提出曲边梯形面积算法是“以曲代直”：将曲边梯形拆分成若干个小的曲边梯形，用矩形来近似表示这些小曲边梯形，用多个矩形面积的总和近似代替曲边梯形的面積。分割越细致，近似程度就越高，这便是用逼近思想求不规则图形面积。传统的教学中，课本讲授是难以让学生体会分割、近似代替、求和再取极限的思想，而Geogebra可以利用非常简便的操作展示整个过程。通过滑动条的滑动，学生可以直观看到曲边梯形面积的过剩近似值和不足近似值趋于同一个数。Geogebra 环境下的可视化教学不仅能将概念的形成过程进行思维可视化，让学生更易接受和吸收，还能增加课堂的活动性和趣味性，使学生积极地参与课堂，不仅仅只做一个倾听者，还能自己思考问题，进行探究，培养学生的创新思维。

二、魅力输入框、变中找关系

Geogebra的输入框可以关联到具体函数解析式，而借助该功能可以巧妙判断两个甚至多个函数之间的关系。比如与函数图像之间的关系。可以设置，将输入框关联函数.这样可以让学生随意在输入框中输入函数解析式，无论什么样的解析式，都会直观得出结论：将图像的左侧擦除，右侧沿y轴翻折即可得到的函数图像.同样只要教师引路，学生学会该方法后就可以独自对与的关系、互为反函数的两个函数之间的关系等其他函数之间的关系进行探究归纳。

三、便捷表格区，函数求零点

Geogebra中的Spreadsheet，即表格区，有着跟Excle相似的功能，可以储存数据、公式、变量、实现序列、迭代等。但与Excle不同的是它不是独立的软件，而是Geogebra的一个功能区，可以跟其他区域结合，使用起来更为便捷。例如求函数的零点（下图示），通过绘图区可以发现函数零点介于0和1之间。之后在表格区第二行前三格分别输入左右端点和区间中点，在E2、F2、G2分别输入“=lgA2-1+2A2”、“=lgB2-1+2B2”、“=lgC2-1+2C2”。其次，在A3、B3分别输入“If（E2*G2<0，A2，C2）”、“If（F2*G2<0，B2，C2）”，之后下拉E2、F2、G2，得到E3、F3、G3的值，再下拉A3、B3、C3，得到A4、B4、C4的值，以此类推，最终得到函数的零点为0.61.任意方程的近似解或函数的零点都可以如此求解.除零点问题外，函数建模过程中的函数的拟合等都利用表格区很好地解决。

四、联合多区域，函数求最值

GeoGebra 最大的特点就是在同一界面内可以运行多种数学区域，例如运算区、表格区、代数区、绘图区、3D 绘图区，还可以同步展示作图过程，可以在不同区域内对数学对象进行相应的操作。例如一个边长为L的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，求截去的小正方形边长a为多少时，容积最大？（下图示）。学生固然可以用导数知识解决此问题，但很抽象，没有直观感受。如果能同时用GeoGebra演示整个过程，学生对此问题的理解会更深刻，学习数学的兴趣也会大大增加。首先在绘图1区绘制该函数图像，边长L是个变量用滑动条表示，再在绘图2区绘制依题意绘制平面图形，在3D立体区绘制立体图形，用滑动条控制折叠的角度，演示折起的过程。容积V的最大值也会显示出来，跟学生用导数求解的结果完全相同。但代数运算和几何直观相结合，学生数学运算、直观想象等数学素养都可以得到培养。

《2017版普通高中数学课程标准》明确指出数学教师在教学实践中要不断探索和创新教学方式，引导学生学会学习，促使更多的学生热爱数学。史宁中教授在课程标准的解读方案中也指出现代数学教师要提高自身信息技术应用能力，有效发挥信息技术的教学功能，拓展数学课堂空间、构建数学学习环境，服务于发展学生数学核心素养，最终落实数学学科立德树人根本目的。使用Geogebra 软件进行数学可视化教学，使学生通过探索发现，合作交流等学习方式掌握数学知识，解决数学问题，并真正理解问题本质，掌握其中蕴含的思想方法，提升直观想象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。Geogebra功能强大，对函数问题的研究还有很多应用，让我们继续研究，开发更好的课例。