动量守恒之凹槽模型探析

摘要 ：运用动量守恒定律解决凹槽模型一直是高中物理教学的难点，关键在于学生对小球相对地面与相对凹槽的运动轨迹理解困难，笔者以教学实践分享为基础;以严谨的数学推导证明为支撑;以例题多角度说明凹槽模型常见考题问法为拓展，帮助学生走出题海，理解相对运动，动量守恒的本质。

关键词 ：动量守恒定律;凹槽模型;物理教学

中图分类号：G633.3  文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2021）16-063

动量守恒定律是力学三大定律之一，是力时空性质的客观反映，学生从实验探究、物理学史发展，牛顿运动定律的推导，逐渐理解了一维直线的动量守恒定律，但对其动量守恒定律的矢量性，相对性的还是模糊的，笔者通过教学实践找到了科学有效的方法让学生能更加深层次理解动量守恒定律的内涵。

一、动量守恒定律之凹槽模型教学实践

一方面是学生抽象性思维还在发育阶段，学生难以理解设计相对运动，二维平面的动量守恒定律的应用。另一方面，在教辅资料中的参考答案图片都是静态，运动描述都是以文字形式描述，这只能让学生看到基本方程都是学过的，但自己动笔在思维层面还是受阻，感觉寸步难行。因此，笔者从以下三个方面着手解决学生在学习凹槽模型中学的痛点。

1.可视化教具——感知相对运动

笔者运用气垫导轨和易形变的窗帘导轨自制光滑平面上凹槽模型，运用手机凝视拍摄功能让小球相对凹槽的运动尽可能慢下来，让学生感知运动。在探究合作学习中，明确物体受力与运动的关系;让学生尽可能准确描述出来，培养学生力与运动观念，提升物理思维。

2.拆解例题设问——强化过程分析，理解动量守恒

根据受力分析，学生明确了系统所受外力的矢量和为零，进一步升华到运用动量和能量解决此类问题。在问题情境的设计中，将问题步步拆解开，符合学生最近发展区，循序渐进，让学生感悟能量、动量守恒的应用，在类似的情景中对比，逐步形成能量、动量的观念，渐渐地能够运用科学知识分析问题，解决问题。

3.严谨数学推导——培养学生的数理思维

为了让学生进行深度学习，在课堂上抛砖引玉，通过几何画板动态演示了小球相对于地面的运动轨迹是椭圆，并向学生发放严谨的数学证明例题供学生自主学习，对尖子生来说有助于提升数理思维，能把数学和物理更好的有机结合在一起，感知数学知识在物理中的运用。

二、小球在半圆槽中相对地面运动轨迹证明

例1  如图所示，质量为M，半径为R的光滑半圆形凹槽B，静止放置在光滑水平面上，质量为m的小球A（可视为质点），从凹槽的左端最高处静止释放。

（1）试证小球A的运动轨迹为椭圆？

（2）小球在最低点所受到的支持力？

情景分析

解：（1）以系统质心所在竖直线为y轴，槽水平直径所在线为x轴建立直角坐标系，下面证明在此坐标系下小球的运动轨迹为椭圆。

初始时小球所在位置坐标（- MR M+m ，0），圆形凹槽方程为（x- mR M+m ）2+y2=R2

∵A、B在水平方向上外力的矢量和为0

∴A、B组成的系统在水平方向上动量守恒，取向右为正

mv1-Mv2=0 得： v1 v2 = M m

对任意位置，由上式知，A向右移动△xA，B必向左移动△xB，且△xB= m M △xA

此时小球的横坐标为：x=- MR M+m +△xA……①

此时半圆方程为：（x+ m△x M - mR M+m ）2+y2=R2……②

将①代入②可以求出此时小球纵坐标满足：

（ M+m M △xA-R）2+y2=R2……③

联立①③消去参数△xA，可得小球的轨迹方程：

[ M+m M （x+ MR M+m ）-R]2+y2=R2

整理可得轨迹方程： x2 （ MR M+m ）2 + y2 R2 =1

【解法一】小球相对地面轨迹不是圆但相对B轨迹是圆，在最低点时，以B为参考系（此时B相对地面没有加速度，为惯性参考系），A相对B的速度为：

v=v1+v2

由能量守恒与水平方向动量守恒可得：

mv1-Mv2=0

mgR= 1 2 mv21+ 1 2 Mv22

解得：v1=  2MgR M+m

v2=  2m2gR M（M+m）

由牛頓第二定律：N-mg=m v2 R 可得：N= 2mg（M+m） M +mg

【解法二】小球相对地面运动轨迹为椭圆，长轴a=R，短轴b= MR M+m

小球在最低点时轨迹的曲率半径为ρ= b2 a = M2R （M+m）2

由牛顿第二定律：N-mg=m v2 R 可得：N= 2mg（M+m） N +mg

【评析】本题从物理运动规律出发，通过数学严格的推导证明让学生理解物体运动的相对性，明确物相对于地面的轨迹为椭圆，相对于凹槽的运动是圆。

若学生不理解相对运动，笔者认为可以这样解释——以凹槽为参考系，即固定在凹槽上的摄像机将拍摄到小球沿凹槽边缘切线飞出，凹槽是理想的半圆即小球竖直上抛。在地面系看来就是小球和凹槽水平方向速度相等。小球脱离凹槽后，凹槽匀速运动速度与小球水平速度始终相等，所以小球仍然会落回凹槽内。

三、经典例题问法分享

例2 如图所示，带有1/4光滑圆弧轨道、质量为M=4kg的滑车静止置于光滑水平，一质量为m=2kg的小球从A点以水平速度v0=6m/s冲上滑车，求：

（1）若水平轨道光滑，小球恰好到达圆弧的最高点B，求圆弧的半径R？

（2）若水平轨道光滑，当小球再次运动A点时，小球和小车的速度分别为？

（3）若水平轨道光滑，当小球再次运动A点时，小球对小车做得功？

（4）若水平轨道光滑，圆弧半径为R=1m，小球相对于小车上升的最大高度又为？

（5）若粗糙的水平轨道长度L=2m，发现小球再次回到A点时做自由落体运动，求摩擦因素μ？

情景分析

解：（1）由水平方向动量守恒，与系统能量守恒得：

1 2 mv20= 1 2 （m+M）v2+mgR

mv0=（m+M）v

解得：R=1.2m

（2）mv0=mv1+Mv2

1 2 mv20= 1 2 mv21+ 1 2 mv22

解得：v1=-2m/s，v2=4m/s

（3）由动能定理得：W= 1 2 Mv22=32J

（4）【解法一】由相对运动，当物体恰好要离开凹槽时，物体的水平速度与凹槽的速度相等（记为v3），即飞离凹槽后，小球在水平方向上相对凹槽静止，当上升到最大高度时小球竖直方向的速度为零。

1 2 mv20= 1 2 （m+M）v23+mgh

mv0=（m+M）v3

解得：h=1.2m

相對凹槽上升最大高度为：h1=h-R=0.2m

【解法二】从初始时刻到小球刚要离开凹槽时列能量守恒，水平方向动量守恒方程，小球离开凹槽后做斜抛运动，记小球竖直向上的速度为v4结合于运动学方程可得：

1 2 mv20= 1 2 mv23+ 1 2 mv24+ 1 2 Mv23+mgR

mv0=（m+M）v3

解得：v4=2m/sv24=2gh1

解得：h1=0.2m

（5）小球做自由落体运动，说明小球相对于地面的速度为零。而动量守恒的参考系的统一。从初始时刻到小球再次回到A点列动量守恒，能量守恒。

mv0=Mv

1 2 mv20= 1 2 Mv2+μmgL

解得：μ= 9 20

【评析】

此问题经过精心设计，学生只有对两物体之间的相互作用，以及运动分析有清晰的认识，才能运用守恒观念进行解题。

综上所述，新高考后，对学生分析问题和解决问题的能力提出了更高的要求，在题量的限制下，物理大题的综合性会有所加强，解决此类动量守恒问题，必然会涉及两个以上的物体作为研究对象，研究对象多，学生的思维就会产生混乱，就把物理基本的受力分析，运动分析丢到一边，而凹槽模型作为一个学生理解的难点，在教学需教师先应用多媒体手段让学生先观察凹槽与小球之间的相对运动，这样符合人认知自然的客观规律，更能让学生理解物理的魅力所在。

【本文系云南省曲靖市教育科学研究课题《核心素养视角下高中物理领域学习指导》的阶段性成果，项目编号QJQSKT2019YB07。】

作者简介：赵学齐（1994.11-），男，云南昆明人，汉族，硕士研究生，二级教师，研究方向：高中物理教学。

（作者单位：曲靖市第一中学，云南 曲靖 655000）