一次基于“解题、说题、命题”的校本研修之旅

于彬 孙庆民

摘  要：校本研修是促进青年教师专业成长的有效途径之一. 文章介绍了一次以“题”为突破口，以“教师视角的解题、学生立场的说题、研究视角的命题”为切入点的比赛，为青年数学教师搭建了一次“解题、说题、命题”的校本研修之旅，并对教师的解题、说题、命题提出几点建议，以供参考.

关键词：专业成长;校本研修;青年教师

数学家波利亚在“怎样解题表”中给出了数学解题的四个经典步骤，并认为解题教学在数学教学中占有举足轻重的地位. 可见，解题能力对于数学教师，特别是青年数学教师的重要性是不言而喻的. 然而，教师仅仅善于解题是不够的，还要善于讲题、说题，也就是具备站在学生立场的解题能力. 同时，教师不应该成为试题的“搬运工”，而应该尝试成为命题者，站在命题者的视角去看待试题、研究试题.

基于此，笔者所在学校在前期组织的解题、说题比赛的基础上，组织了一次“教师视角的解题、学生立场的说题、研究视角的命题”比赛，为青年数学教师搭建了一次全新的基于“解题、说题、命题”的校本研修之旅. 下面以2016年中考山东济南卷第28题为蓝本进行简单介绍，不当之处，敬请指正.

题目  如图1，抛物线[y=ax2+a+3x+3][a≠0]与[x]轴交于点[A4，0，] 与[y]轴交于点[B]. 在[x]轴上有一动点[Em，0 0<m<4，] 过点[E]作[x]轴的垂线交直线[AB]于点[N]，交抛物线于点[P]，过点[P]作[PM⊥AB]于点[M].

（1）求[a]的值和直线[AB]的函数表达式;

（2）设[△PMN]的周长为[C1]，[△AEN]的周长为[C2]，若[C1C2=65，] 求[m]的值;

（3）如图2，在（2）的条件下，将线段[OE]绕点[O]逆时针旋转到[OE′]，旋转角为[α 0°<α<90°，] 连接[E′A，E′B，] 求[E′A+][23E′B]的最小值.

一、教师视角的解题

东营市历年中考压轴题一般是以二次函数为背景，融合一元二次方程、全等、相似、周长、面积、最值等多方面知识进行命制的. 在此次解題比赛中，组织者选取2016年中考山东济南卷第28题，原因主要有以下两点：第一，命题风格与东营市历年中考命题基本一致;第二，由于是面向教师的解题比赛，因此所选试题难度要略大些.

1. 代表性解法呈现

比赛前，要求青年教师在有限时间内解此题，呈现了如下代表性解法.

（1）由[y=ax2+a+3x+3=x+1ax+3，] 得[x=4]是方程[ax+3=0]的根，所以[4a+3=0.] 解得[a=][-34]. 求得直线AB的解析式为[y=-34x+3]，过程略.

（2）根据已知条件，可以得[△PMN]∽[△AEN.] 因此可将周长比转化为对应边的比，下面以[C1C2=65=PNAN]为例进行求解.

由题意，可以设点[N]的坐标为[Nm，-34m+3]，点[P]的坐标为[Pm，-34m2+94m+3.]

所以[PN=][-34m2+3m.]

在[Rt△AEN]中，因为[cos∠EAN=AEAN=4-mAN=45]，

所以[AN=54-m4].

由[C1C2=65=PNAN]，

得[-34m2+3m54-m4=65] ①.

解得[m=2].

限于时间和青年教师的解题水平等原因，很多教师都没有完成第（3）小题.

2. 指导教师点评

上述解法是多数青年教师采用的解法，可以看出大家所选方法都比较简洁、简单，这种方法体现的是一线教师较强的解题水平. 但是，下面几个问题需要引起重视.

对于第（1）小题，很多教师选用因式分解的方法进行处理，这应该是和教师所掌握的知识面有关系. 但是，为什么大家摒弃了直接带入求解这一自然的方法呢？

对于第（2）小题，为什么在直角三角形中使用余弦值求[AN]，而没有采用正弦值或其他方法？显然，这种方法计算量小，但是这种小计算量背后却蕴涵了较大的思维. 学生的水平能否达到这个要求？后续教学需要注意什么？

对于上述①式，学生能否算出正确结果？对于没来得及完成的第（3）小题，对你有什么启发？如何提高计算能力和解题水平？

通过上面的点评，可以看出青年教师在解题方面的能力需要进一步提高（主要体现在第（3）小题）. 此外，在解题教学方面的能力有待加强，需要更多地站在学生的立场思考问题，将自己的解题思路转化为学生的解题思路，这才是解题教学的关键.

二、学生立场的说题

比赛时，为了更好地挖掘上述试题的价值，要求青年教师结合试题从来源、背景、解法、变式、反思五个方面进行详细阐释. 下面呈现部分解法及分析.

1. 青年教师给出的解法和分析

对于第（1）小题，青年教师在给出前文所述方法的基础上，也提供了如下解法.

将点[A4，0]代入[y=ax2+a+3x+3，] 得[20a+][15=0.] 解得[a=-34.] 利用待定系数法，可求得直线[AB]的解析式为[y=-34x+3].

对于第（2）小题，青年教师在给出前文所述方法的基础上，关于[AN]长利用了如下两种不同的解法.

（勾股定理法）由点[A]的坐标为[A4，0]，点[N]的坐标为[Nm，-34m+3，] 在[Rt△AEN]中，根据勾股定理，得[AN=4-m2+-34m+32].

（锐角三角函数法）在[Rt△AEN]中，[sin∠EAN=NEAN=][-34m+3AN=35]. 解得[AN=][5-34m+33=-54m-4].

下面给出青年教师对第（2）小题的分析.

关于[AN]长的三种求法中，勾股定理法应该是学生比较容易想到的，因为遇到直角三角形，想到勾股定理是比较自然的想法. 利用锐角三角函数求边长的方法计算比较容易，但是限于学生的知识掌握情况，应该不容易想到. 在教学中，教师要善于引导学生串联知识，架起勾股定理和锐角三角函数之间的桥梁，从而帮助学生构建知识网络.

对于相似比的三种转化，上述分析是按照[C1C2=65=][PNAN]进行证明的，实际教学中可能还会出现[C1C2=65=][MNEN]或[C1C2=65=PMAE]两种情况，但这对解决此题影响不大.

2. 指导教师点评

（1）关注运算量和思维量，提升数学运算素养.

各位青年教师分析到位、切中要害，但是对学生数学运算能力的认识还有待提高. 在实际教学中，教师应该引导学生体会不同方法之间的运算量和运算技巧. 显然，沟通两者的是学生的思维量，一般来说思维含量大了，运算量可能就小了. 例如，对于第（2）小题给出的关于线段AN的三种解法，教师在教学中应该给学生讲清楚三种方法得到的最终结果是一致的. 也就是说，勾股定理法中的[AN=4-m2+-34m+32=][4-m2+916m-42=][54-m4.] 往往简单计算需要更多的思维量，正所谓“多思少算”.

此外，对于代入PN和AN以后得到的式子[-34m2+3m54-m4=65]，教师在教学中也应该呈现给学生其求解过程，让学生体会“直接算”和“约分算”的不同效益，这体现的仍然是运算量和思维量的之间关系. 例如，[-34m2+3m54-m4=3m44-m54-m4=65]. 因为[0<m<4]，所以[3m=6]. 解得[m=2].

（2）关注解题教学和解题育人，培育理性思维.

《中国学生发展核心素养》中指出，理性思维具体表现为崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法;尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度;逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等. 在数学学科中，具体表现为理性求真、严谨求实、反思求变. 可以看出，上述“多思少算”的过程，特别是让学生在比较不同方法并选择方法的过程中，可以很好地培育学生的理性思维.

三、研究视角的命题

通过前述解题和说题，特别是指导教师的点评，为青年教师的解题、解题教学，甚至解题育人等方面指明了前进的方向，在此基础上，青年教师在指导教师的帮助下，开启了研究视角的命题.

1. 青年教师主要想法呈现

对于第（3）小题，有个别青年教师给出了如下两种解法，分别呈现如下.

方法1（代数法）：设点[E′]的坐标为[E′x，y，] 则[x2+y2=4][x>0，y>0].

设[y]轴上有一点[C0，n，] 使在OE的旋转过程中，总有[E′C=23E′B]，即[x2+y-n2=23x2+y-32.]

化简，得[5x2+5y2+24y-18ny+9n2-36=0.]

又因为[x2+y2=4]，

所以[5×4+24y-18ny+9n2-36=0，]

即[3n-43n+4-6y=0.]

因为[n]为定值，所以[3n-4=0.]

解得[n=43.]

所以点[C]的坐标为[C0， 43.]

从而[E′A+23E′B]的最小值[AC=42+432=4310].

方法2（几何法）：设[y]轴上有一点[C0，n，] 使得在OE的旋转过程中，总有[△OE′C∽△OBE′，]

所以[OE′OB=OCOE′=E′CBE′=23.]

所以[E′C=23BE′]，[OC=43].

所以[E′A+23E′B]的最小值 [AC=42+432=4310].

在此基础上，有青年教师指出第（3）小题超出了初中生的认知范围，建议将“求[E′A+][23E′B]的最小值”改为“直接给出[E′A+][23E′B]的最小值，不用写出计算过程”. 这个建议有一定的道理，但没有从本质上降低此题的难度.

对于第（2）小题，有青年教师建议给出如下四个命题方向：（1）PN的最大值是多少？（2）[△PAB]面积的最大值是多少？（3）PM的最大值是多少？（4）[△PMN]周长的最大值是多少？

2. 指导教师点评

关于第（3）小题的解法，指导教师先对青年教师给出的代数角度的解题思路给出肯定，同时指出很多数学题都存在代数和几何两种处理方式，这符合题目呈现出来的特点——代数法“易想难算”，几何法“难想易算”.

此外，第（3）小题对于青年教师来说难度偏大，部分教师在解题比赛中苦思冥想没有明晰思路，很难有效突破“求[E′A+23E′B]的最小值”中“如何转化[23E′B]”这一瓶颈，只挖掘出圆的方程[x2+y2=4]和几何法（阿氏圆），最终也未能成功求解. 如果从二次函数的轴对称性出发，以“将军饮马”问题为原型重新命制此题，可能会更好地突出对初中阶段数学学科核心知识的考查.

另外，指导教师认为青年教师提出的关于第（2）小题的四个命题方向非常好. 一是以二次函数为载体，将线段长度、周长和面积融合在一起，体现了中考试题的层次性和综合性;二是在实际教学中可以设计成四个递进的追问，将学生的思维引向深处，進而培育学生的理性思维.

四、几点建议

1. 关于解题

教师应该多站在学生的立场去思考解题思路，在思路融会贯通以后，思考哪种方法是学生最容易想到的，哪种方法对学生来说是最简单的. 如果教师能在正式讲题之前多了解几名学生答题的心路历程，那就更好了，特别是出错学生的想法尤其值得关注. 这样，教师才能够真正了解学生，在解题教学中才会心中有数.

2. 关于说题

说题是比较常见的一种教研方式，可以综合考察青年教师的教学基本功. 说题应该更加关注题目的“源”与“流”，侧重分析问题的一题多解、多解归一，一题多变、多变归一，弄清楚题目的来龙去脉，不但要知其然，还要知其所以然. 唯有如此，才能真正提升解题及解题教学的能力.

3. 关于命题

命题可以看成是一种更深层次的解题行为，是与课程标准、与教材、与自己深度交流和对话的过程. 其中，命制原创题非常难，但是可以尝试从教材中的例题和习题出发，精挑细选、精雕细琢. 此外，还可以从历年的优质中考试题出发，通过变式和改编等方式，让“旧题换新颜”.

五、结束语

针对青年数学教师的专业成长的实践还需深入探究，欢迎更多的一线教师和教研部门积极参与进来，在备课、说课、磨课、阅读、教研、写作等方面，探索出更多有效、有针对性的措施，做青年数学教师专业成长的引路人，助力青年数学教师的专业成长.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]蔡卫兵. 2015年浙江省宁波卷第26题解法探究及反思[J]. 中国数学教育（初中版），2016（6）：54-57.