一类含参数半正二阶离散Neumann边值问题正解的存在性

杨晓梅， 路艳琼

（西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州730070）

0 引言

随着科学技术的发展，物理学、种群生物学、经济学等自然科学和边缘学科领域出现了大量由差分方程边值问题描述的数学模型.因为在实际应用问题中主要关注的是此类问题的正解，所以此类问题引起了学者的广泛关注，并取得了很多结果［1-9］.2005年，姚庆六等［10］运用锥上的不动点指数理论获得了一类非线性半正二阶微分方程Neumann边值问题

正解的存在性，其中η＞0，且f：［0，1］×［-Mη2，+∞）→［-M，+∞）连续，其中M＞0.戚仕硕等［11］利用锥压缩和锥拉伸不动点定理研究了二阶Neumann半正边值问题

正解的存在性，其中f：（0，1］×（0，+∞）→R连续，且λ＞0，M＞0.李延明［12］运用锥上的不动点定理研究获得了Strum-Liouville边值条件下二阶差分方程超线性半正问题

正解的存在性，其中γi≥0，i=1，2，3，4，γ1γ3+γ1γ4+γ2γ3＞0，且λ是正参数.曾云霞［13］运用Guo-Krasnoselskii不动点定理讨论了二阶常系数离散Neumann半正边值问题

（A2）f：［1，T］Z×［0，+∞）→［-M，+∞）连续，其中M＞0为常数；

（A4）f（t，0）＞0，t∈［1，T］Z.

注记1由条件（A4）可知，存在2个常数a、b，使得f（t，u）≥b，（t，u）∈［1，T］Z×［0，a］.

运用锥上的不动点定理建立非线性项半正情形下问题（1）正解的存在性.本文的主要结果为定理1和定理2.

定理1若条件（A1）～（A3）成立，则对充分小的λ＞0，问题（1）存在1个正解.

定理2若条件（A1）～（A4）成立，则对充分小的λ＞0，问题（1）存在2个正解.

1 预备知识

注记2利用引理1～4可以将文献［4］中关于问题的正解存在性结果推广到问题（1）.

引理5［15］E是Bananch空间，K⊂E是E中的一个锥.Ω1、Ω2是E中的开子集，且¯Ω1⊂Ω2.若全连续算子A：K∩（¯Ω2＼Ω1）→K满足：

2 主要结果的证明

定理1的证明首先定义

令ω=λM¯ω，u是问题（1）的正解，当且仅当u=~u+ω是下列问题

故由定理2可知对充分小的λ＞0，问题（17）存在2个正解.