巧用同角三角关系式破解数学难题

杜占杰

摘 要：同角三角函数基本关系式是三角函数里面的重要内容之一，它既是对三角函数定义的规律总结又是诱导公式的学习基础，学习中不仅要理解公式的含义，进行简单的代换，而且要对公式灵活变换应用，这不仅是夯实数学基础的需求，也是培养学生创新精神与实践能力的手段。

同角三角函数基本关系式是三角函数一章中重要的一节内容，在学习了任意角的三角函数的定义后，由定义推导出两个基本的同角关系式，我们称之为：同角三角函数基本关系式即：平方关系sin2a+cos2a=1，商数关系。这两个公式的推导可以结合三角函数的定义来进行。推导过程比较容易理解，但要灵活应用公式学生有较多的困难。所以教师的讲解说明特别重要，一定要让学生理解同角的含义也就是公式中的角度a要一致，a的取值为任意角。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，任何知识定理的学习都不可能一蹴而就，也不可能仅凭教师的几句讲解就能完全理解，由于学生的学习能力，基础知识，思维能力各不相同，所以学习效果也大相庭径。教师要做的就是尽可能照顾到绝大多数同学，因材施教，从基本的题型开始训练，步步为营，因而题目的选择就非常重要了，过于简单，大部分同学一看就会，毫无挑战性，那就起不到提高能力水平的作用，如果题目太难，大部分同学望而生畏，直接放弃，这样的教学也是失败无疑。根据笔者对学生多年教学的经验，题目选择要参考所带班级学生的实际情况，是学生跳一跳能够得着的，符合学生的最近发展区。

鉴于所带学生基础较差，数学思维能力薄弱，动手实践能力不够，公式应用以最基本的题目开始，一方面提高学生学习自信，另一方面锻炼学生的运算能力，会算要保障能算对。

同角三角函数的基本关系式应用之一：求值.

已知tanα=-，且α是第二象限角，求α的正弦和余弦值.

解由题意得

sin2α+cos2α=1，①

.②

由②，得sinα=-cosα，代入①式得

6cos2α=1，cos2α=.因为α是第二象限角，所以cosα=-，代入③式得sinα=-cosα=-×（-）=.

题目本身不难，但涉及到二元一次方程组的解法，有部分学生在解方程时出现困难，所以这里可以及时复习方程组的解法，比如加减消元法，代入消元法等，查缺补漏，数学知识的积累在于平时的点点滴滴，切不可掉以轻心。

同角三角函数的基本关系式应用之二：化简：

Sin4a+sin2acos2a+cos2a

本题目涉及到的三角函数有2次方和4次方，对于有高次方的问题，一般来说引导学生将高次方降次，但要保证不改变原式的值，也可以通过将低次变高次与原来的高次方正负抵消，思路比结果要重要，所以多给学生留思考的时间，鼓励学生多维度思考，不要轻易否定学生不成熟的想法。通过笔者引导，学生交流探讨，有这样两种不同的解题思路：

方法一：前两项提公因式sin2a可得sin2a（sin2a+cos2a）+cos2a，由于括号中的部分为平方和公式直接为1，则上式化为sin2a+cos2a=1

方法二：将第二项中的cos2a用公式替换为1-sin2a可得sin4a+sin2a（1-sin2a）+cos2a=Sin4a+sin2a-sin4a+cos2a=sin2a+cos2a=1

反思本题，化简过程的变形可以是降低次数也可以是升高次数，不论何种运算目的都是要将复杂的式子简化，所以不必过于拘泥用何种形式，方法越多越利于学生思维拓展与培养。

同角三角函数的基本关系式应用之三：证明.

证法1：

因为

所以

证法2：因为左边

右边

所以  左边=右边.即原等式成立.

证法3：将原式交叉相乘可得：

Cos2a=（1+sina）（1-sina）即：cos2a=1-sin2a式子成立。即原等式成立。

上述三种证法从不同的角度给出证法，都能很好的解决问题，这些方法无好坏之分，适合学生本人的就是好方法，教师适当引导，指点即可，具体的思路，操作实践需由学生自主决定。给出不同的方法是为了让学生借鉴吸收，取人之长，拓宽自己的解题思路。

培养逆向思维，公式中“1”的妙用，学生习惯于公式的顺推，也就是公式的展开，因为不论公式的推导还是讲解都是顺着进行的，但数学中的逆行思维必不可少，有时候的逆向思维可以起到意想不到的作用。

例：求证：

本题的证明看似无从下手，但如果能意识到“1”的特殊性，便会柳暗花明又一村，这里的“1”不仅仅代表生活中的数量关系，1个人，1张桌子，它在三角函数中有特殊的含义：

1=sin2a+cos2a，如果能将上式中的1转换过来，那么这道题便可迎刃而解了。所以有时候的化简或证明，在实际操作中不一定是把复杂的往简单的方向变，有时候反其道而行之往往起到意想不到的效果。

综上，三角函数的学习方法灵活多变，平方关系，商数关系可以经过不同的变换而形成新的表达式，例如移项、、平方等，不同的形式应用到不同类型题目会化繁为简，化難为易，至于用哪种形式不能一概而论，要具体问题具体分析。正如教学有法，教无定法，贵在得法。学生的自主探索，合作探究固然重要，但学习的能力，时间有限，学生不可能高屋建瓴，整体把握，这就需要教师的引导，激发给学生提供必要的脚手架帮助学生完成学习过程。

参考文献：

[1]李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009，48（8）：1-3.

[2]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报，2009，48（6）：19-24，48（7）：29-31.

[3]章建跃.数学概念教学中培养创造能力[J].中小学数学（高中版），2009（11）