从一道考题的多解看初中数学几何解题能力的培养

摘 要：在各地历年的中考数学试卷中，几何题的份量都是很重的，大多数的压轴题都是几何题或与几何相结合的综合题.因此，加强学生几何解题能力的培养，对提高教学质量、提升中考成绩有着十分重要的意义.培养学生的几何解题能力，要从提高对几何基本图形和基本结论熟悉程度、加深对定义、定理、公理、判定、性质的理解、善于发现图中的隐含图形、掌握基本的几何变换和数学基本方法以及几何证明的常见分析方法等六个方面开始.

关键词：中考试题;基本图形;基本变换;基本方法

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）02-0021-05

收稿日期：2020-10-15

作者简介：黄江泉（1965.11-），男，广西桂平人，大专，中学高级教师，特级教师，从事初中数学教学研究.

在2019年广西贵港市中考的数学试题中，有下面这道题目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°<α<180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E.

（1）如图1，当∠CA′D=15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.

①写出旋转角α的度数;

②求证：EA′+EC=EF;

（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB=2，求线段PA+PF的最小值.（结果保留根号）

这题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，综合性强，难度大，方法灵活，有多种不同解法.

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CE A′即可.

（1）②的思路二：过C作CG∥A′D交EF于G，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CE A′即可.

（1）②的思路三：延长ED到G，使DG=DE，先证△CEG为等边三角形，再证△CG A′≌△CE F即可.

（2）的思路一：连结A′F，由△CGF≌△CE A′可知CA′=CF，从而可证△A′CF为等边三角形，进而可证A′E同时平分∠FE B′和∠F A′ B′，从而△A′EF≌△A′E B′，于是得B′与F关于A′D对称，只要求出A B′即可.

（2）的思路二：过A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′M B′分别为含有45度和30度角的特殊直角三角形，通过计算证明B′E=EF，进而可得到B′与F关于A′D对称，只要求出A B′即可.

（1）②的思路一、思路二用到了数学中最常用的截长法，其中思路二用到了“角平分线+平行线”得到的隐含等腰三角形，（1）②的思路三用到了数学中最常用的补短法，（2）的思路一用到了角平分线、全等三角形等基本图形（模型），（2）的思路二用到了特殊直角三角形的基本图形（模型），并且所有的思路中都用到了角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本图形的判定和性质.通过对本题多种解法的分析不难发现，培养和提高初中生的几何解题能力要从以下几方面入手：

一、熟悉几何基本图形和基本结论是培养几何解题能力的前提

几何基本图形和基本结论是几何知识的重要组成部分，是所有几何解题的前提，角平分线、中线、高、点到直线的距离、动点到两定点距离之和的最小值、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、垂径定理、过圆外一点作圆的切线、全等三角形、相似三角形等基本图形及其结论，既是考试考查的重点，也是所有解题的基本依据，我们要熟练掌握.如：

例1 （广西贵港2016-12）如图3，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD=30°;②SABCD=AC·BC;③OE∶AC=3∶6;④S△OCF=2S△OEF成立的个数有（  ）.

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

例2 （广西贵港2017-12）如图4，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是1/2，其中正确结论的个数是（  ）.

A.2  B.3  C.4  D.5

这些题目表面看起来很复杂，但实质都是考查几何基本图形及其結论.例1考的是角平分线、平行四边形、等边三角形等图形的性质，例2考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质.只要掌握相似三角形和全等三角形的基本图形，问题不难解决

二、理解定义、定理、公理、判定、性质是培养几何解题能力的基础

理解定义、定理、公理、判定、性质，就是不仅要熟记定义、定理、公理、判定、性质的结论，还要熟记定义、定理、公理、判定、性质的条件、适用范围、注意事项等，它是几何解题的基础.如：

例3 （广西贵港2019-17）如图5，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为23，OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为.

本题中，不少考生因没有在意弧长公式中圆心角的意义，结果将120度直接代入计算，答案当然错了.

三、善于发现图中的隐含图形是培养几何解题能力的关键  隐含图形是指等腰三角形、等边三角形、平行四边形等特殊的图形在整个图形中表现出来的一部分，如“角平分线+平行线”隐含有等腰三角形，“中点+垂直”也隐含有等腰三角形，“角平分线+等腰”隐含有垂直平分，三角形含有30度和45度角则隐含可构造特殊直角三角形等等.解题中如果我们能够充分发现这些隐含图形，会非常有利于问题的分析和解决.如：图6例4 （广西贵港2019-24）如图6，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.

（1）求证：AE是半圆O的切线;

（2）若PA=2，PC=4，求AE的长.

本题中，条件出现了“中点+垂直”，隐含有等腰三角形，因而可以通过“延长AO、DC相交于M，或延长EO、AB相交于N”这样的辅助线，帮助解决问题.例5 （广西贵港2017-26）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处.

（1）如图7，若点D是AC中点，连接PC.

①写出BP，BD的长;

②求证：四边形BCPD是平行四边形.

（2）如图8，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长.

本题（2）的关键是 “角平分型全等三角形隐含着BD是等腰三角形的高”，从而想到连结AP并延长BD交AP于E，然后过P作PF⊥AC于F 即可构造“双垂直型相似”，利用相似列比例式即可把问题解决.

例6 （1）（广西贵港2015-10）如图9，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（  ）.

A. 0  B. 1  C. 2  D. 3

（2）（广西贵港2017-11）如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（  ）.A.4  B.3  C.2  D.1

上述两题均隐含有两边为定长的三角形这样的隐含图形，因而问题实际上是“已知两边求第三边的范围”，这样利用三角形的三边关系即可解决.

例7 （广西贵港2018-11）如图11，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（  ）.

A.6   B.33

C.26D.4.5

本题中隐含两个最常用模型（图形）——将军饮马模型和点到直线模型，因此，作E关于AC的对称点F，过F作FM⊥AB，则FM即为所求.

四、掌握基本的几何变换是培养几何解题能力的桥梁

几何变换是平面几何的重要内容之一，是研究几何关系的基本方法.平移、旋转、轴对称是初中几何的基本变换，熟练掌握这些变换是培养和提高几何解题能力的桥梁.

例8 （广西贵港2018-26）如图12，已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P.

（1）当P与O重合时（如图13所示），设点C是AO的中点，连接BC.求证：四边形OCBM是正方形;

（2）请利用如图13所示的情形，

求证：ABPB=OMBM;

（3）若AO=26，且当MO=2PO时，

请直接写出AB和PB的长.

本题（2）的关键是进行平移变换，过B作BC⊥AO于C，即得△ABC ∽△PBM，由对应边成比例即可;（3）的关键仍然是利用“双垂直型相似”列比例式解决，只是要注意不同位置的存在，要分类讨论.

例9 （广西贵港2016-26）如图14，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H.

（1）如图15，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.

①求证：△AGE≌△AFE;

②若BE=2，DF=3，求AH的长.

（2）如图16，连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由.

本题（2）的关键是进行旋转变换构造全等三角形，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得△ADM′，即可证明△ADM′≌△AMN，M′N=MN，M′D=BM，且△M′DN为直角三角形，故问题顺利解决.

五、掌握数学基本方法是培养几何解題能力的突破口

数学基本方法论是数学解题的突破口，几何解题更是离不开数学基本方法.几何变换法、面积法、割补法、截长法、补短法等都是几何解题中最常用的数学方法.如：

例10 （1）（广西贵港2017-17）如图17，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作CE交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）

（2）（广西贵港2018-17）如图18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）.

（3）（广西贵港2016-11）如图19，抛物线y=-

112x2+

23x+53与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（  ）.图19

A.（4，3）  B.（5，3512）

C.（4，3512）D.（5，3）

这些与面积有关的问题，都要用到割补法等数学基本方法.其中（1）还要注意到图中的隐含图形——等边△AOD，才能求出有关的圆心角;（2）要分割成两个扇形和两个三角形面积的和与差;（3）用到的是非常典型的平行轴分割的方法以及二次函数最大值的模型.

例11 （广西贵港2019-12）如图20，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（  ）.

A.S1+S2=CP2

B.AF=2FD

C.CD=4PD

D.cos∠HCD=35

本例可用反证法的思想，答案A明显正确，假设B正确，很容易推导出C也正确，即B与C同对同错，所以只能选D.

六、掌握几何证明的常见分析方法是培养几何解题能力的重点

几何证明的常见分析方法很多，如综合法、分析法、反证法、枚举法（穷举法）、完全歸纳法、不完全归纳法……等等，但最常用的方法有综合法、分析法和分析综合法.熟练掌握这些常见的分析方法是我们探求解题途径的重点和关键.

分析法是从求证的结论入手，以公理、定理为根据，寻求所必须的条件，再从所需条件出发，一步一步地寻求到所需的条件为已知条件时，命题即得证，这种方法也叫“执果索因”法;而综合法是从已知条件为出发点，以公理、定理为依据，一步步推导出欲证的结论，这种方法也叫“由因导果”法;分析综合法将分析法和综合法结合起来，即先从结论入手看需要什么条件，再从已知出发看可导出什么结论，如果这两者正好一致，问题即可解决，这种方法也叫“两头凑”的方法，通常情况下我们都用这样的分析方法.如前面例4的（1）：

从结论（求证）入手，要证AE是半圆O的切线，就要过O作OF⊥AE于F，证OF=OB，于是要证△AOF≌△AOB，这就要证∠BAO=∠OAF（E），进而要证△ABO ∽△AOE或△ABO ∽△AFO.

再从已知出发，由∠B、∠BCD、∠AOE均为直角可得△ABO ∽△OCE，由∠AOE为直角、OF⊥AE可得△AOF ∽△AEO，由△ABO ∽△OCE得ABOC=AOOE，由△AOF ∽△AEO得AOOE=AFOF，于是ABOB=AFOF，所以△ABO ∽△AFO，这样所需要的条件与所得到的结论就一致了，问题也就可以解决了.

这个分析问题的方法就是分析综合法.

在培养学生几何解题能力的过程中，除了加强学生对几何基本图形和基本结论的熟悉程度，对几何定义、定理、公理、判定、性质的理解，引导学生善于发现图中的隐含图形，掌握好数学基本方法和基本的几何变换以及常见的分析方法外，还要学会对几何结论进行分类，掌握几何难题突破的一般程序等.如对几何结论，我们可以从线段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面进行分类;而对几何难题的突破，可从完善图形（重新画图）、标识等量、发现隐含图形、挖掘图形关系（全等或相似）等方面入手.

下面通过一个具体例子来体会一下：

例12 （包头2018-25）如图21，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点.

（1）如图21，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE.当OE=DE时，求AE的长;

（2）如图22，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G.当BE平分∠ABC时，求BG的长;

（3）如图23，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1.

①求S△ED′MS△EMN的值;

②连接BE，△D′MH与△CBE是否相似？请说明理由.

本例中，（1）比较简单，（2）就有难度了，如何突破呢？先标出等量：BE平分∠ABC则有∠ABE=∠CBE=45°，于是发现有隐含图形——等腰直角△ABE，进而可得△AEF≌△DCE，从而可求得BF=1，再注意到∠CBE=45°，过G作GK⊥BC于K，则GK=BK，由相似成比例则可解决.（3）则可从折叠出发，得出相等的量有：D′H =DH，E D′=ED，D′H⊥EC等，再从所求入手，①相当于求D′MMN，而D′N∥CD，所以D′MMN=CHHD，所以，只要求出CH或HD即可.由已知可得DE= D′E=4，CD=3所以EC=5，D′C=1，设DH=x，则D′H=x，CH=3-x，由勾股定理即可求出x，问题即可解决. ②的突破则重在发现隐含图形——等腰△D′MH和等腰△CBE（其中△D′MH为“角平分线+平行线”得出的等腰三角形，既是隐含图形，也是典型的几何模型），问题即可解决.

再看一例：

例13 （宜昌2018-23）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把ΔPBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.

（1）如图24①，若点E是AD的中点，求证：图24

△AEB≌△DEC;

（2）如图24②，①求证：BP=BF;

②当AD=25，且AE

③当BP=9时，求BE·EF的值.

问题（1）的思路比较具体、简单，是一对“一线三垂直型”全等;（2）中的①只要注意到翻折隐含着角平分线，由“角平分线+平行线”即可;（2）中的 ②相当于要求PC，从何入手？只要注意到图中含有“一线三垂直”型相似三角形，即可求得EC=20，BE=15，再注意到PG=BP=BF，用“平行”型相似（△CEF∽△CGP）即可求得BP，进而求得PC;（2）中的③则要注意到PG与BF平行且相等，连结FG即可得BPGF为平行四边形，故GF=BP且∠EFG=∠FBP，所以△GEF ∽△EAB，由相似成比例即可解决.

当然，我们强调对数学图形、数学结论、数学方法和几何变换的掌握，不是简单的把它们背下来就可以了，而是要在实际应用中去理解、去体会，学会举一反三、触类旁通，才能不断形成和提高解题的能力.

参考文献：

[1]张惠萍.初三学生解题能力突破策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（06）：30-32.

[责任编辑：李 璟]