等差法解答一类走走停停行程问题

摘 要：本文研究了某一类走走停停行程问题，用等差数列的思想处理复杂的追及点判断，在初始路程差不是休息路程整数倍的题型解答中具有优越性.在判断最终追及点和计算第一次追及时间上做了深入研究和详细解释，总结出更具有通用性的解法.

关键词：走走停停;时间差;追及

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）02-0031-02

收稿日期：2020-10-15

作者简介：苏蕤轩（1991.2-），男，四川省成都人，本科，从事小学数学教学研究.

一、引入

在很多小学毕业考试、小学杯赛或初中数学考试中常出现行程问题，它是普遍学生的弱项，同时也成为命题者偏爱的题型之一，在奥数竞赛中拥有非常显赫的地位.走走停停行程问题属于难点题型，它并不能直接用基本行程公式解决，需要经过复杂的判断和计算，已有文献给出了路程差是休息路程整数倍时的解答方法，但是该方法并不能解决路程差不是休息路程整数倍的题型.本文重在于探索一种更具有通用性的方法.

二、难点突破

此类问题的难点在于如何判断最终状态，本文通过等差数列和斜率来突破难点，通过平移快者的路程来计算追及时间.

1.最终状态判断

本文把题目给定的路程差用S表示，休息路程用ΔS表示，休息时间用ΔT表示，快者的速度用vk表示，慢者的速度用vm表示.

我们把快者行进到S的时间视为“首项”，此后每行完ΔS，快者增加了时间，慢者也增加了时间，但是慢者增加的时间更多，所以相差了ΔSvm-ΔSvk，这也就是“公差”.每行进ΔS，首项就会减少一个“公差”，直到减少到0，或者减少到小于公差（这是多数情况）.所以休息次数的本质就同于等差数列求项数，对于快者而言，全部的休息次数还要加上“首项”计算时经历的休息次数.

最终追及点判断需要明确到底是快者追及上行进中的慢者还是休息中的慢者.本文将结果分为如下三类：

（1）快者最后一次休息后的行进中，第一次追及上行进中的慢者;

（2）快者最后一次休息后的行进中，第一次追及上休息中的慢者;

（3）快者最后一次休息前的行进中，第一次追及上行进中的慢者.

根据斜率和余数可以判断到底属于哪种类型.如图2，主要就是判断参考点到底在a的右下方还是左上方，通过比较斜率即可.若b斜率小于a，必在右下方;若b斜率大于a，必在左上方;若b斜率等于a，则可任意看待.b的斜率为k快=ΔS′余数+ΔS′v快，（ΔS′表示快者的当次休息区跟慢者的前一个休息区的距离），a的斜率就是慢者的速度k慢=v慢.

判断好斜率后，如果b斜率小于a，就还要判断追及点会不会在慢者的休息区，因为排除了类型（3），还得锁定到底是（2）还是（1），所幸这比较容易，比较下一个休息区的时间差即可.

如果是类型（2），那么：公差-余数<休息时间，如果是类型（1），那么：公差-余数>休息时间，见图3，标注的横线部分就是“公差-余数”.

2.追及时间计算

如果是类型（1）和类型（3），可优先使用平移快者的方法，快速得到连续追及的时间，我们假定追及上时快者比慢者多休息Δn次，那么连续追及时间为S+Δn×ΔT×vk÷vk-vm，這个时间恰好等于慢者的连续行进时间，外加慢者的休息时间即为总的追及时间.

如果是类型（2），直接通过慢者计算即可.假定慢者一共休息了n次（含最后一次），因为最后一次没有休息完，离休息结束还有“公差-余数”，所以直接当成n次计算总时间，然后减去“公差-余数”即可.

三、典例分析

例1 快慢两人分别从相距550米的两地同时出发同向而行，他们每走200米都会停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是40米每秒.求快者第一次追上慢者的时间.

解答：快者行至路程差的时间外加休息时间550÷100+2×1=7.5秒

公差20040-200100=3秒

次数7.5÷3=2次……1.5秒

斜率501.5+50100=25小于40

（50是快者的休息区跟慢者前一次休息区的距离，因为200的倍数减去550，最小值为50）

下一次的余数3-1.5=1.5秒，大于1秒

属于类型①，接下来平移快者，直接计算追及时间

快慢者休息次数差为3，连续追及时间为550+100×3×1÷100-40=1416秒

总时间为1416+2×1=1616秒

答：甲第一次追上乙的时间是1616秒.

例2 快慢两人分别从相距550米的两地同时出发同向而行，他们每走200米都会停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的时间.

解答：快者行至路程差的时间外加休息时间为：550÷100+2×1=7.5秒

快者已经休息2次

公差为20060-200100=43秒

次数为7.5÷43=5次……56秒

斜率为5056+50100=37.5小于60

下一次的余数：43-56=12秒，小于1秒

属于类型②，接下来用慢者直接计算时间，慢者在第5+1=6个休息区，距离休息结束还有12秒

6×20060+1-12=2512秒

答：快者第一次追上慢者的时间是2512秒.

例3 快慢两人分别从相距500米的两地同时出发同向而行，他们每走200米都会停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的时间.

解答：快者行至路程差的时间外加休息时间500÷100+2×1=7秒

公差20060-200100=43秒

次数7÷43=5次……13秒

斜率10013+100100=75大于40

属于类型③，接下来平移快者，直接计算追及时间

快慢者休息次数差为2，连续追及时间为500+100×2×1÷100-60=1712秒

总时间为1712+5×1=2212秒

答：快者第一次追上慢者的时间是2212秒.

处理此类休息路程相同的走走停停行程问题可以按照如下思路解决：

其一、通过两者行进休息路程的时间差计算休息次数;

其二、通过斜率判断属于哪种类型;

其三、直接计算（类型②）或通过平移法计算（类型①或类型③）追及时间.

 参考文献：

[1]黄佳琴.中小学数学竞赛中的行程问题[J]科技信息，2010（13）：129+145.

[2]赵玉春，陈旻.一类走走停停行程问题的解答[J]中学数学，2012（12）：77-78.

[责任编辑：李 璟]