数学核心素养之逻辑推理在课堂中的应用实例分析

叶珊

摘 要：对于核心素养的提升，不是增设课程增加课时专门培养，而是选取合适的教学案例作为载体，通过日常教学逐步渗透。本文以《导数压轴题中的“取点”问题》为例，尝试将逻辑推理能力的培养在课堂教学中落地。

关键词：逻辑推理;“取点”问题;超越不等式

在高中阶段数学主要有六大核心素养，逻辑推理是其中之一。《中国高考报告（2020）》中提出：逻辑思维能力是理性思维的重要体现，是数学学科考查的主旨。逻辑推理能力是一种有条件、有步骤、有根据的渐进式思维方式，对于高中数学有着重要意义，这项能力可以让学生快速、有效地进行数学学习。笔者认为，对于核心素养的提升，不是增设课程增加课时专门培养，而是选取合适的教学案例作为载体，通过日常教学逐步渗透。本文以《导数压轴题中的“取点”问题》为例，尝试将逻辑推理能力的培养在课堂教学中落地生根。

一、预估学生思维水平——调动学生内在的思维能力

苏联心理学家维果茨基提出的“最近发展区”理论指出，在课堂上教师安排的思维活动量要充分和恰当。所以只有正确估计学生实际思维水平，才能让学生自主地去搭建思维的脚手架，使学生积极地思考起来。

导数压轴题中函数零点的个数及寻求函数零点存在区间的端点问题往往成为广大师生的解题困惑和难点，尤其是通过“取点”来验证零点存在，这个“点”的选取难道了许多考生，而参考答案上却“神乎其神”，所以大部分学生都认为该问题太玄，找不到规律，不知从何下手。为切合学生实际的思维水平，在课堂引入环节，笔者设置了两道题：

这两题的设置，让学生通过对问题进行观察、比较、分析和概括，发现此类问题的根源不是“如何取点”而是“超越不等式的求解”，由此得到取点的一般方法：通过放缩等手段，把超越不等式恰当地转化为可求解的一次不等式、二次不等式、简单的指数不等式、简单的对数不等式，即将“超越不等式”放缩为“可求的不等式”来实现“取点”。

二、展现问题解决的过程——训练逻辑推理能力

逻辑推理能力的孕育——发现问题，逻辑推理能力的生命——提出问题，逻辑推理能力的生长——分析问题，逻辑推理能力的归宿——解决问题。在教学中，教师要善于选择典型例题，引导学生参与学习活动，探究知识的形成过程：提出问题、分析问题、转化问题、发现结论、回顾解题、概括方法和模式等，进而培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。

为了激发师生的合作探究欲望，发现和提出有思维价值的问题，笔者选择了“取点”问题的典型高考题（2016年全国I卷理21（1））：

[典例]已知函数有两个零点，（1）求a的取值范围。

展示某一位学生的部分解题过程：求导得。当a≤0时，不满足题意（过程略），当a>0时，f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由于，，当x→-∞时，，所以当a>0时，f（x）有两个零点，满足题意。

通过以上解题过程让学生探究以下三个问题：

（一）以上解题过程中，画线部分证明不严谨，应该如何改进？

（二）取点的目的是什么？放缩的方向如何确定？

（三）放缩不等式中的哪个部分，才能达到取点的目的？放缩的度如何把握？

这三个问题的设置，分散难点，减缓坡度，让学生的思维乐于呈现。通过问题串逐个突破“取点”问题的重点和难点，学生总结出以下三个关键点：1.证明零点个数需要借助于“零点存在性定理”进行严谨地证明;2.取点的目的：取x0<1，使得f（x0）>0，（为了使x0尽量小，我们不妨令x0<0）;放缩的方向：根据不等式的传递性，要求f（x）>0，就用“>”从左到右进行放缩;3.放缩ex为常数，转化为可求解的不等式。

学生方法1：（放缩方法：将ex放缩为常数，转化为一元二次不等式求解）

学生改进的第2种方法将问 题转化为求解一个简单的一元一次不等式，但是不等号的方向不确定，无法确认对于一切满足条件的参数a所求的解集是否落在规定区间内，因此放缩失败。学生思维的碰撞引发了新的思考：为什么改进2与改进1的放缩方法一样，甚至放缩后的不等式更容易求解，可是却放缩失败呢？

[教师点拨]：f（x）的解析式由（x-2）ex和a（x-1）2两项组成，（x-2）ex<0，a（x-1）2>0，要使得f（x）>0，a（x-1）2为主导项，若把主导项通过放缩变小，那么取点成功的概率就变小了，如：改进1保留了主导项中对正值起最大作用的二次项，放缩成功;改进2保留了对正值起较小作用的一次性，放縮失败。因此在放缩前，需要预先估计一下放缩的主导项，不轻易放缩主导项，不过有时主导项不容易判断，如果放缩失败，则需要采用别的方式。

以上出现的学生解法是在课堂上自然生成的，学生解题思维方式的体现正好展示了解决“取点”问题的途径、过程和方法，这样才能真正达到训练学生逻辑推理能力的目的。

三、反思总结——逻辑思维能力的突破口

数学教学是思维活动的教学，反思是思维活动的核心和动力。要活跃学生的思维，先要让学生从常见的思维路径去分析并解决问题，再从多角度进行对比分析，从反思中体会思想方法，总结解题规律，最后才能提高思维的深度和广度。因此反思总结是培养逻辑思维能力的突破口。

经历了两名学生的成功的“取点”方法，笔者引导学生对“取点”问题进行小结：（一）取点步骤：1.规定取点区间;2.确定放缩方向;3.判断放缩项;4.找到放缩方法（目的是为了使不等式可求解）;5.取不等式解集与规定区间交集内的点;（二）取点三个确保：1.确保参数能取到一切值;2.确保放缩后不等式可运算;3.确保“点”落在规定区间内。

接着有学生提出质疑：参考答案取的点为比以上两种答案简洁，是怎么得出的呢？质疑之后会有创新，笔者马上鼓励学生们从不同的角度去观察、分析、解决问题。学生提出在“取点”基本步骤不变的情况下，要得出不同的结果，就在于使用不同的放缩的方法。于是学生们进行以下不同的尝试：

在课堂教学中，应注意培养学生质疑、反思、总结的思维习惯，使其具备良好的数学思维品质。

四、变式训练——巩固提升逻辑推理能力

明确了逻辑推理的方向和规律，接下来就是构建一条始于已知、终于结论的自主演绎的路径，然后将思维转化为数学符号语言，以严谨的推导来验证这条路径的正确性。让学生进行有计划、有目的进行思维和推导的训练，才能掌握严密的逻辑推理技巧，以巩固和提升逻辑推理能力。因此，本节课笔者设计了以下两个变式训练：

[变式1]（2017年全国I卷理21（2））已知函数，（2）若f（x）有2个零点，求a的取值范围。

展示解题的部分过程：当a≤0时，f（x）在R上单调递减，不合题意;当a>0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增;则解得0

该变式是为了打破学生的定势思维，培养学生分析和解决问题的能力，教学过程中可以让学生说明为什么不对ex进行放缩，转化为一元二次方程。（理由：①由于函数f（x）中e2x的系数a>0，ex的系数a-2<0，所以无法朝同一个方向放缩;②ae2x为主导项，不宜放缩;③x项放缩为ex后，提出公因数ex，可转化为只含指数的简单不等式）。通过分析能强化巩固前面所总结出的取点规律。

总而言之，逻辑推理能力的培养不是朝夕之功，教师应该脚踏实地，精心设计好教学的每个环节，呈现给学生一个灵动和开放的课堂，日积月累地进行科学训练，才能培养学生的逻辑推理能力，发展学生的数学核心素养。

参考文献

[1]陈诚.数学核心素养之逻辑推理能力提升的研究[J].数学之友，2016，16：[14]

[2]李克强.谈数学核心素养之逻辑推理[J].华夏教师，2018，12（中）：[75]