“自主招生”备考解题教学设计与思考

摘 要：目前，多地高中自主招生考试陆续登场，但对于自主招生试题的研究却凤毛麟角，纵观多数招考试卷的试题，大多都是来自全国各地较难的中考试题或者一些来源可靠的竞赛试题，所以我们建议教师对拟入选讲评自招考题，要针对解法进行深入思考，包括一题多解、该题深层结构的揭示以及考题出处的检索与溯源等等，然后基于教学经验，对不同层次的学生的解题理解进行研判，以便预设恰当的讲评时长，从而获得较好的教学效果.

关键词：自主招考数学竞赛推理教学经验;思考

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0075-02

最近几年，各地热点颇高的高中自主招生考试陆续登场，这也使得初三年级在师生备考时又多了所谓“提优拓展任务”，但关注高中自主招考的教学研究却较少，只是偶尔见到（如文[1]、[2]）.多数招考试卷的试题大多都是来自全国各地较难的中考试题或者一些来源可靠的竞赛试题.下面笔者将从一道高中自招考题出发，查找原型并开展“一题一课”微教学设计，提供“高中自主招生辅导”的课例研究.

一、自招考题及原型出处

某高中自招考题：设x1=1+14，x2=14+19，x3=19+116，…，xn=1n2+1（n+1）2.记Sn=x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1.则S20192019的值为.（答案：20212020）

原型出处1：（2015年全国初中数学竞赛联赛·初二试卷，第5题）

设A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120142+120152，则不超过A的最大整数为（）.

A.2017B.2016C.2015D.2014

简答：将A化简为2015-12015，故不超过A的最大整数为2014，选D.

原型出处2：（2016年全国初中数学竞赛联赛·初二试卷，第4题）

记Sn=1+112+122+1+122+132+…+1+1n2+1（n+1）2， 则S20162016=（）.

A. 20162017 B.20172016 C.20172018 D.20182017

简答：将Sn化简为n+1n-1n+1或1+1n-1n+1，再把n=2016代入即可得20182017，选D.

简析 可以发现“自招考题”的原型是前几年的全国竞赛卷中的两道选择题，这两道竞赛选择题也是互相关联，后一年由前一年的简单变式而来.以下我们就围绕这道考题给出解题教学的微设计.

二、围绕“自招考题”的解题教学设计

1.教学环节（一）：基础热身

题组1：计算下列各题并发现规律，

（1）计算：1+14=，14+19=，19+116=;

（2）計算：1-12=，12-13=，13-14=;

（3）计算：1×12=，12×13=，13×14=;

（4）计算：1n-1n+1=.

教学组织：这组练习比较简单，同学们多能直接口答，这个题组主要是为后续研究设置铺垫，强调的是从基础出发，引导学生热身训练.

2.教学环节（二）：引入开方运算

题组2：计算下列各题并发现规律，

（1）计算：1+112+122=，1+122+132=;

（2）计算：1+192+1102=，1+120202+120212=;

（3）计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+1102+1112=;

（4）猜想：1+1n2+1（n+1）2=.（用含n的式子表示）

教学组织：这个题组在刚刚口算的基础上，增加了解题层次，学生需要动笔运算，然后发现规律，但都是以填空的形式呈现，所以还没有要求学生严谨推理说明，但成为下一个教学环节的铺垫式问题.教学时，可以根据学生的解答，展开追问做出答案的学生是如何思考的.

3.教学环节（三）：“走向一般”进行证明

题组3：证明以下命题.

（1）若n为正整数，求证：1n（n+1）=1n-1n+1;

（2）若n为正整数，求证：1+1n2+1（n+1）2=（n+1n-1n+1）2.

教学组织：第（1）问比较简单，学生可直接通分计算等式右边，即可获得证明;

第（2）问解法预设如下，可以对右边展开计算，整理左边的形式;也可以从左边变形出发，比如，

1+1n2+1（n+1）2=（1+1n）2-2n+1（n+1）2=（n+1n）2-2n+1（n+1）2=（n+1n-1n+1）2.

这样也就解释了上面“题组2”的猜想

1+1n2+1（n+1）2=n+1n-1n+1=1+1n-1n+1是正确的.

4.教学环节（四）：出示竞赛题及变式题组

题组4：先后出示上文提到的2015年竞赛题、2016年竞赛题、“某校自招考题”.

教学组织：先安排学生独立思考，再小组内讨论，最后安排小组代表进行全班讲解，特别是对关键步骤可安排学生进行复述，这样可取得更好的教学效果，让更多的学生掌握这类问题的求解.

三、关于“高中自主招考”解题教学的进一步思考

1.教师要深刻理解考题关键步骤及深层结构

我们建议教师对拟入选讲评自招考题的备课准备阶段，要针对解法进行深入思考，包括一题多解的思考，包括该题深层结构的揭示，包括对这道考题出处的检索与溯源，在对比同类考题之后对问题将会有更深的认识，比如这类问题求解的关键步骤是什么，这类考题深层结构是什么，有哪些条件（或“包装”）是可以删减的，问题简化到最后是怎样的问题？然后基于教学经验，对不同层次的学生的解题理解进行研判，以便预设恰当的讲评时长，从而获得较好的教学效果.

2.教师需要精心预设题组渐次呈现自招考题

在选定讲评的自招考题之后，教师需要精心设计成不同题组，然后渐次呈现，有序推进学程.这时对题组改编与归类重组显现了教师命题基本功，因为教师需要基于之前对自招考题的关键步骤的理解，将关键步骤简化为绝大多数学生都能求解的基础问题最先呈现给学生思考，然后再渐次出现增加解题层次的变式题组，最后再让学生拾级而上，自主挑战较难的自主招考难题，这样由易到难的题组设计是解题教学获得较好效益的重要保证.

四、写在后面

作为教师，应有一些责任担当，比如教师自己要“先下题海”，在深入钻研、筛选出一些优秀考题之后，归类呈现、改编题组，研发成一些主题聚焦的优秀教案，然后带领学生共同研习，在“一课一得”的追求下对相关主题的理解求深、悟透，促进学生举一反三、提升学力.

参考文献：

[1]张炜钰.“根的判别式”：无处不在又神通广大——以一节高中自招考试专题复习课为例[J].中学数学，2018（10）：33-34.

[2]朱玫瑰.明辨特殊与一般，感悟数学小用与大用——由两道高中自主招考题说起 [J].中学数学（初中），2017：69-70.

[3]刘钰.探究奇妙的“黄金三角形”——基于微课理念下的教学设计与思考[J].中学数学，2018（20）：8-9.

[责任编辑：李 璟]