“向量的数量积与向量投影”教学设计

王珊

摘  要：通过创设符合学生认知最近发展区的一系列问题链，使学生在自主学习和小组合作探究相结合的学习过程中，经历数量积概念抽象的完整过程，激发学生从物理、几何、代数三个维度深入理解向量数量积的内涵和作用，了解投影向量的意义及学习新概念的基本套路，体悟具有普适性的数学思想和方法.

关键词：向量的数量积;向量投影;类比抽象;问题链;核心素养

一、教学内容解析

“向量的数量积与向量投影”是人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“教材”）第二册第六章第二节的知识内容. 通过本章的学习，学生理解了平面向量的几何意义和代数意义，进而能够用向量语言及方法来表述和解决现实生活、数学和物理中的问题.

本单元是在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量从运算角度展开的进一步研究.“向量的数量积与向量投影”是教材中第二册“平面向量的运算”最后一节的内容，不同于人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》的编写顺序，这主要是为了体现平面向量运算体系的完整性，延续学生向量的线性运算的学习过程及研究路径，可以较为自然和顺利地类比到如何研究平面向量的数量积，符合学生认知的最近发展区.

由于向量的概念主要来自物理，因此本单元在类比实数运算的同时，借助向量的物理背景引入向量的相关运算. 本节课以力对物体做功为背景引入数量积的概念，使向量的数量积运算与物理知识联系起来，这是学生学习向量运算的重要方法. 向量的数量积是向量运算的类属知识，其产生既有丰富的现实背景，又是完备数学运算结构的内部需要;既是研究向量的重要工具，又在解决实际问题中有着广泛的应用，而且也是后续内容的学习基础. 例如，本章第四节中学习的正弦定理和余弦定理，就是以它为工具进行公式推导的. 为了理解向量数量积的定义和几何意义，并研究向量数量积的运算律，教材引入了向量投影及投影向量的概念，借助投影的直观性有效帮助学生体会数与形有机结合的思维方法，深化对数量积的理解. 通过把发现和提出向量数量积运算的机会留给学生，有意识地培养学生的创新能力，以及发现、分析数学问题的能力. 本节课的内容中蕴涵了数形结合、分类与整合、特殊与一般、转化与化归等数学思想，以及抽象、类比、归纳等思维方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等素养的有效载体.

本节课的内容计划用2个课时来完成，其中第1课时的教学重点是：启发学生主动探究，建立向量的数量积概念;引导学生体会通过分类讨论、数形结合等数学思想研究投影向量，从而理解数量积的几何意义.

从本节课知识发生、发展的过程来看，学生会经历从物理问题入手，全方位、多角度进行观察、分析、类比和联想的过程，从而充分挖掘和认识数学问题的本质，其中所蕴含的思维方面的教学资源集中体现为直观思维、抽象思维和创新思维. 在不断完善建构数量积概念的过程中，学生可以充分认识到定义的准确性、系统性和抽象性，这也是培养学生认识论与价值观的重要过程，学生经历提出问题、分析问题和解决问题的过程，感受数学的实用价值和审美价值，体验在数学活动中进行探索和发现的喜悦，发展学习数学的兴趣和好奇心.

二、教学目标设置

本节课教学目标设置如下.

（1）学生能够完整地认识向量运算的研究脉络，体会从具体到抽象、从特殊到一般的思维方式，从而对概念学习的一般研究路径有较为清晰的认识.

（2）学生通过亲身经历课堂合作探究的活动过程（回忆物理中“功”的相关问题，并类比抽象概括为对应的数学问题），体会类比思维在发现、归纳新的数学研究对象中的作用，获得思考、探索、发现结论等基本活动经验，从而发展抽象概括、推理论证的能力.

（3）能结合具体案例，借助几何直观认识向量的夹角，会画图解释什么是一个平面向量在另一个平面向量上的投影向量，进一步强化运用直观想象思考问题的意识，培养数形结合的思想方法，提升研究能力.

（4）了解投影向量的意义及如何用数学符号语言表示投影向量，充分体会分类与整合的数学思想，理解平面向量数量积的几何意义，掌握计算平面向量数量积的两种方法，发展数学运算素养.

三、学生学情分析

本节课的教学对象基础普遍较好，在学习本节课内容之前，已经学习了平面向量的三种线性运算，清楚向量既是代数研究对象也是几何研究对象，明确向量的两个基本要素，并且已经对如何研究向量运算有了初步的认知基础.

在学习平面向量的数量积的概念时，最重要的学习支撑是学生对物理量“功”的相关问题有一定的了解，清楚表示向量的两个基本要素——大小和方向，理解平面向量共线定理，并且具备一定的类比思维和抽象概括能力，同时通过对向量线性运算的学习，对一个新的数学运算大致遵循的研究脉络有一定的认知.

由向量的加法、减法、数乘运算自然地过渡迁移、引申到两个向量的乘法运算，但是对于定义一个数学概念要从严谨性和全面性两个方面来考虑，这是多数学生容易忽视的环节. 另外，为什么引入投影向量及如何表示投影向量，对学生而言是有一定困难的.

基于以上分析，可以得到本节课的教学难点是：抽象向量数量积概念的完备过程;如何表示投影向量，并理解向量投影的作用.

教学中，以学生熟悉的物理量“功”為背景引入向量的数量积，通过复习思考、情境创设、问题导学引导学生自主学习，之后通过小组合作探究、教师点评等环节完成本节课知识的学习. 类比抽象的教学过程是突破难点的有效教学手段，尤其下文设置的“功的不同表述”这个问题，是引导学生由“力的分解”类比到向量投影的重要支撑，贴近学生认知的最近发展区，从而有效激发学生的探索兴趣，理解投影的作用，体会投影是高维空间与低维空间联系的桥梁，从而更好地理解向量数量积的运算本质.

四、教学策略分析

教师充分重视学生基本数学活动经验的习得，创设合适的教学情境，尽可能给学生提供更多的时间和空间去亲身经历、亲自体验、亲手实践，在教师的引导下，让学生通过思考、交流，自己解决问题.

教学活动的主线是为了解决问题. 基于数学概念的本质，本节课以数学知识再发现为线索，精心设置了借助类比抽象的问题链，引导学生思考、探索，从而建立良好的认知结构，让学生用数学眼光观察世界，用数学思维方式思考问题. 在此过程中，学生经历概念建构的全过程，积极寻找研究策略，努力实施研究过程，不断反思研究成果，学生的数学能力得到进一步发展.

为了调动学生的探究积极性，使每位学生都经历向量数量积概念的探究过程，遵循以学生为主体，教师创设情境，通过学生自主学习和小组合作相结合的方式引入背景的探究式学习法.

本节课是一节概念课，概念的建构与理解是重点也是难点. 为了帮助学生探求知识发生、发展的根源，结合学生的思维发展规律，本节课遵循由特殊到一般的认知规律，由物理情境入手，层层推进，设计问题链进行教学，以问题的提出、解决为主线，始终在学生认知的最近发展区设置问题，并不断探究解决，使课堂教学过程更加流畅、自然.

五、教学过程设计

1. 复习思考，创设情境

问题1：前面我们学习了与向量有关的什么运算？

问题2：你能总结研究向量运算的主要路径吗？

师生活动：学生尝试回答，教师概括总结.

师：向量来源于物理学，我们学习向量，往往要借助物理背景. 例如，我们通过力或者位移的合成，定义了向量的加法运算，通过加法运算的逆运算定义了向量的减法运算;通过力或者速度的大小变化抽象概括了向量的数乘运算. 基于这样的学习过程，我们不难发现，数学对象及其运算的研究脉络通常是从一个情境或者背景中抽象出研究对象，进而明确它的数学定义，或者定义它的运算规则，这个运算规则往往还体现了它的几何意义. 以向量加法运算为例，从代数的角度来看，它是一种数学运算，但这种代数运算充分运用了向量的几何表示——三角形法则和平行四边形法则，这就是其运算对应的几何意义，然后再去挖掘它的运算性质，包括运算律，最后是它的应用阶段，如图1所示.

师：我们将向量的加法、减法和数乘运算称为向量的线性运算，它们的运算结果都是向量. 于是，有学生提出了“类比实数间的加、减、乘、除运算，向量之间除了已经学习的加、减、数乘运算，还有没有其他运算呢？”这样的问题，大家是不是也有这样的疑问？如果向量间还有其他运算形式，你清楚研究它的一般路径吗？

【设计意图】首先，通过回忆复习，启发学生有意识地思考、总结学习向量运算的基本研究脉络. 在接下来研究向量数量积运算时，从思想方法上与向量的线性运算进行类比，这种类比可以打开学生研究向量问题的思路，还能使向量学习找到合适的思维固着点;其次，通过强调向量线性运算结果特征，为区别向量数量积运算结果的特征埋下伏笔;最后，使学生对即将研究的新运算情境产生好奇与期待，从而有跃跃欲试的渴望.

师：我们先来看这样一个情境.

为了在学生中弘扬劳动精神，强调劳动教育的重要性，鼓勵学生积极参与劳动，丰富学生的课间阅读量，我校在教学楼的每一层的同一个位置都设置了一个图书角，并举办了“劳动之星”PK评选活动. 已知甲同学把重200 N的图书从一楼搬到五楼图书角，乙同学把重300 N的图书从一楼搬到三楼图书角，假设每层楼高均为3 m，两人是从一楼的同一个位置开始搬书，理想状态下，他们两人谁做的功较大？

预设：该物理问题比较简单，学生基本都能有明确的判断依据——比较两人的做功情况，教师提问学生回答.

师：很好！同学们也是这样判断的吗？刚才这个情境是做功比较理想的情况——力与位移同向. 假如在三楼和五楼的水平位移忽略不计，大家能再说一说一般情形下功的计算公式吗？

预设：[W=Fscosθ]，其中[θ]是[F]与[s]的夹角.

【设计意图】此处承接向量运算的一般研究脉络，从一个情境或者背景出发，基于劳动教育的重要性，在数学课堂教学中引导学生建立正确的价值观体系. 该情境贴近学生的真实经历，让学生感到亲切、自然的同时，使“功”这个物理背景自然浮出水面，从而成为抽象概括数学概念的重要源泉.

2. 分析背景，抽象对象

师：力和位移是物理中的两个矢量，我们将其抽象出来就是数学中的两个向量. 功是由力和位移这两个矢量通过乘法运算得到的一个标量，我们能不能抽象出向量间的另一种运算呢？

预设：与两个向量乘法有关的运算.

师：能具体说说吗？

预设：两个向量的模乘以夹角的余弦三角函数值.

师：抽象概括得非常好！这种运算的结果与向量的线性运算结果特征有没有差异？

预设：有差异，向量的线性运算结果都是向量，现在得到的是一个实数.

师：很好！这就是我们本节课要研究的一种新的向量运算，我们把这种运算叫做向量的数量积.

教师板书本节课的一部分标题：6.2.4 向量的数量积.

师：我们可以这样理解这个运算名称，这里“积”体现的是这种运算形式，“数量”体现了运算结果.

【设计意图】从学生认知的最近发展区出发，让学生在类比和抽象中理解、概括平面向量数量积的概念，同时在得出数量积定义的过程中感受不同学科间知识的渗透，并从运算名称上理解这种运算形式和运算结果的特征.

3. 类比归纳，完备定义

师：刚刚提到的夹角，我们应该怎么定义呢？为了进一步准确定义并加深对它的理解，我们可以再回到它的物理背景——从“功”的相关问题上再下一番“功夫”，请同学们完成课中学案课堂活动1.

问题3：在“向量的数量积与几何投影”课中学案（见附录）课堂活动1的表格中填写与“功”有关的物理问题并思考. 根据表中的物理背景，结合前面所学的向量知识，你能抽象出哪些与向量有关的数学问题？

【设计意图】这是本堂课促进学生获得基本活动经验的一个重要过程，整节课关键性的类比过程都集中在填写这个表格的思考过程中. 这一部分淡化了教师在课堂思维上的主体性，学生在类比抽象的过程中发现、思考和总结问题，非常自然地获得定义的合理性，同时思考有了定义之后还能怎样去理解它，从而提高从数学角度发现和提出问题的能力，为向量投影的出现埋下伏笔.

教师组织学生展开小组讨论.

师：哪个小组展示一下你们的讨论成果？

预设：学生展示表格中填好的图形，如图2所示，从直观认识上说明两个向量的夹角的定义.

师：其他小组有需要补充的吗？

预设：有学生发现相同起点的两个有向线段会形成两个角. 如果没有同学质疑，则由教师说明.

教师说明：在图2的几幅图示中，我们可见的是两个角，从运算及形式的简洁方面考虑，往往取相对较小的角，也就是取范围落在[0，π]区间上的角. 在这几种情形中，两个同向共线的向量夹角为0，两个反向共线的向量夹角为[π]. 当向量[a]和[b]的夹角为[π2]时，定义两个向量垂直，记做[a⊥b].

师：同学们再思考，任何一个数学定义都要保证它的任意性，那这五幅图能代表所有向量吗？

生：不能代表，没有零向量.

师：对，由于零向量的模为0，且方向是任意的，所以我们在定义向量夹角的时候，规定两个向量都是非零向量.

教师板书注明两个向量为非零向量.

师：刚才我们借助物理背景中力与位移的夹角，通过类比联想，有了对定义向量夹角的自我体会，下面让我们一起来看教材上对向量夹角的定义.

定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作[OA]= a，[OB]= b，则∠AOB = θ（0 ≤ θ ≤ π）叫做向量a与b的夹角.

师：阅读完定义，肯定了类比的合理性，现在你能找到黑板上这两个向量的夹角吗？（黑板上有两个非相同起点的任意向量.）

【设计意图】通过几何直观，淡化定义生成的抽象性. 此环节是由粗到细的过程，学生想定义两个向量的夹角，但是缺少对任意向量的考虑. 让学生自己去体会定义向量夹角的过程，体会类比的合理性和定义的严谨性.

师：经过刚才的共同探讨，我们明确了两个向量的夹角的定义，也就解决了运算中的向量的夹角问题，这样我们才能正式将这种运算定义为两个向量的数量积，记做[a ⋅ b].

师：这是否意味着求任意两个向量的数量积都能代入这个公式呢？

【设计意图】概念抽象一般会经历两个层次：第一层次抽象是直观描述的感性认识;第二层次抽象是从理性认识的高度把握定义的准确性和严谨性. 这是多数学生不容易注意到的环节，该问题引导学生思考向量数量积概念的完备性.

预设：学生会根据向量的夹角的定义，注意到该公式无法定义任意向量与零向量的数量积.

师：你觉得零向量与任意向量的数量积应该怎么定义呢？

问题4：零向量与任意向量的数量积如何定义？

预设：学生回答零向量与其他向量的数量积应该为0.

师：能否给出理由？

预设：通过前期“类比”的学习过程，学生会比较自然地类比物理背景“功”的问题——无力不做功，有力无位移做的是无用功. 这里功的大小都相当于0. 因此，零向量与其他向量的数量积应该也是0.

师：说得真好！通过物理背景定义零向量与任意向量的数量积，大家觉得是否合理？

我们规定：零向量与任意向量的数量积是0.（教师板书.）

这样，我们就完备了数量积的定义. 这里需要特别强调：虽然这是与两个向量乘法有关的一种运算，但是数量积中的符号“[∙]”不能用符号“[×]”替换.

4. 深化理解，拓展延伸

师：在之前的表格里还类比了最后一项——功的不同表述，哪位同学试着说一说？

預设：对物理量“功”的不同角度的描述，是学生比较熟悉的问题，多数学生都理解“功”的实质就是力在位移方向上的分力乘以位移的大小（或者在力的方向上产生的位移乘以力的大小），从而根据功的不同表述，学生会比较自然地类比到数量积也可以有不同的表示——把一个向量在另一个向量的方向上进行分解.

预设1：这样数量积就可以是分解向量的模乘以另一个向量的模.

预设2：这样数量积就可以是分解向量与另一个向量的数量积.

师：同学们更赞成哪种观点呢？

【设计意图】从力的分解类比向量的“分解”，进而使学生产生对如何表示“分解向量”的求知欲望，从而使得研究向量投影成为顺理成章的需求.

师：同学们的想法都很好，激发了我们接下来的探索兴趣. 但是，数学中所有的类比结论都有待推理和检验，我们如果想判断这个结论是否正确，判断的依据是什么呢？

预设：学生会想到通过计算检验类比得到的结论，检验的标准是计算所得结果与数量积公式的计算结果是否一样.

师：这位同学提到的做一个向量在另一个向量方向上的分解，就是我们接下来要研究的一种变换. 我们称上述变换为向量a向向量b投影，这也是我们本节课的另一个学习重点.

教师完整板书标题：向量的数量积与向量投影.

教师用PPT展示投影的具体定义.

如图3，设a，b是两个非零向量，[AB]= a，[CD]= b，我们考虑如下变换：过[AB]的起点A和终点B，分别作[CD]所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到[A1B1]，我们称上述变换为向量a向向量b投影，[A1B1]叫做向量a在向量b上的投影向量.

根据向量的可平移性，也可以将图3中的向量a平移，使其与向量b有相同起点.

如图4，在平面内任取一点O，作[OM]= a，[ON]= b ，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则[OM1]就是向量a在向量b上的投影向量.

师：根据定义，同学们理解

什么是向量的投影了吗？它是一种变换，我们刚才完成了当两个向量的夹角为锐角时一个向量向另一个向量投影. 同学们思考问题5.

问题5：你能作出在其余四种情形下，向量a向向量b的投影，并标注投影向量[OM1]吗？

预设：学生完成课中学案课堂活动2，并且由一位学生进行板演，如图5所示.

【设计意图】通过该环节加深学生对向量投影及投影向量概念的理解.

师：好，刚刚这位同学在黑板上做出了其余四种情形的投影向量，大家做得和黑板上的一致吗？

教师让学生观察并思考：在图4和图5的五种图示下，向量a在向量b上的投影向量[OM1]与向量a和向量b的位置关系有什么共同特征吗？

预设：学生不难发现，无论两个向量夹角是什么情形，投影向量都与向量b是共线的. 夹角为0或者锐角时同向共线，夹角为钝角或者[π]时反向共线，两个向量垂直时，投影向量就是零向量.

【设计意图】经历这样的观察与思考，“共线”这个重要特征为接下来如何表示投影向量提供了重要的切入点，从而有效降低了如何表示投影向量的难度.

师：我们观察到的这种特征，能否有助于我们表示投影向量[OM1]呢？

问题6：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，那么[OM1]与θ，b及a之间有怎样的关系？

预设：留给学生一定的时间思考，由于刚讲完数乘运算，对向量共线定理比较熟悉，故学生能够自然地将其联系起来，运用向量共线定理去表示投影向量，即根据向量共线定理确定[OM1=λb]，[λ]可以看成是模长之比，接下来利用投影之后的直角三角形求解投影向量[OM1]的模.

师：这位学生的解釋思路清晰、逻辑性强，回答得特别好！就像这位同学所表述的观点，我们要表示一个向量，可以抓住刻画向量的两个基本要素——大小和方向，大小就是向量的长度，我们可以借助直角三角形来求得，而方向可以根据与向量b同向，借助向量b的方向得到，借助方向是什么意思？只要b的方向，无需它的大小. 于是我们可以将向量b单位化，再乘以向量[OM1]的模[acosθ]即可.

问题7：我们刚才讨论的是两个向量的夹角为锐角的情形，你能继续表示其余四种情形中的投影向量[OM1]吗？

预设：接下来的四种情形由学生在学案中完成，并由四名学生板演展示，其他学生纠错、补充.

师：这样我们可以肯定，当向量a与向量b的夹角θ在从0到[π]的范围内变化时，投影向量[OM1]的表示形式是固定的.

【设计意图】为后续利用投影向量[OM1]表示向量[a]与向量[b]的数量积做铺垫.

问题8：尝试验证刚才的猜想——向量a与向量b的数量积可以写成表示投影的向量[OM1]与向量b的数量积吗？

预设：学生只需要代入化简即可，[OM1 ∙ b=][acosθbb ∙ b=abcosθ，] 即[a⋅b=OM1 ⋅ b]，多数学生都可以顺利解决，这里由学生回答，教师板书.

师：很好，同学们的共同努力和合作探究将本节课推向了又一个高潮，我们深化了对数量积的理解，它可以看作是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 而且，向量a在向量b上的投影向量与向量b共线，这样我们就把不共线的向量的数量积转化为共线向量的数量积，实现了将二维背景的运算降低到一维背景的运算，这也是数量积几何意义的一种体现.

【设计意图】让学生通过这个问题的解决过程切身感受到学习投影向量的必要性，理解投影向量的作用，深化对数量积的理解，体会投影是联系高维空间与低维空间的桥梁.

5. 巩固新知，课堂小练

（1）（教材第20页练习3）已知[a=6]，[e]为单位向量，当[a]与[e]的夹角为[45°，90°，135°]时，求向量[a]在向量[e]上的投影向量.

（2）（教材第17页例9）已知[a=5， b=4，a与][b]的夹角[θ为2π3，求a ∙ b].

预设：此处交由学生独立作答、展台讲解，并由其他学生补充点评.

【设计意图】考查学生是否掌握求解投影向量的基本方法及从不同角度求解两个向量的数量积问题. 学生通过“独立作答—展示讲解—交流点评”的过程，在错误中收获经验，在肯定中收获自信，体验学以致用的喜悦感，在锻炼学生的组织能力和语言表达能力的同时提高分析问题和解决问题的能力.

6. 沉淀反思，总结交流

教师利用PPT向学生展示以下问题.

（1）回顾得出数量积定义的探究过程和研究思路，并表述研究方法，在这个过程中自己的贡献和收获是什么？

（2）计算数量积的方法有哪些？通过本节课的学习，你认为可以解决哪些与向量有关的问题？

（3）类比向量运算的研究脉络，你知道接下来我们还需要进一步探究数量积运算的哪些问题吗？

预设：此处留给学生充足的时间进行总结和展示，学生自由交流、表达自己的想法，教师仔细倾听，注意学生的表达是否准确合理，适时给予点评并概括和优化学生的回答，达到突出重点的目的.

【设计意图】以提纲的形式帮助学生梳理本节课的研究思路及重要的基础知识，从而在培养学生抽象概括、直观想象、推理论证、数学运算等数学学科核心素养的同时，使学生感悟数形结合、分类与整合、特殊与一般、转化与化归等数学思想，以及抽象、类比、归纳等思维方法在研究数学问题中的作用，积累数学思考的经验，同时帮助学生养成反思总结的良好学习习惯.

师：好，从同学们的回答中，老师听到了同学们在知识及数学思想方法上的收获. 本节课我们从物理背景“功”的概念中，通过类比抽象的学习过程引入了向量的数量积运算，又借助向量的几何表示定义了向量的夹角及向量投影的概念，并通过分类讨论思想明确了投影向量的表示，从而更好地理解了数量积的几何意义. 最后遵循数学运算的研究脉络，在得到数量积的定义之后从几何的角度分析了数量积的运算性质. 我们整节课的研究脉络遵循研究数学运算的一般研究路径，这也是我们学习数学对象所遵循的一般规律，希望通过本节课的学习，可以指引同学们在未来学习数学概念时都能明晰路径，具备学好数学概念课的基本能力.

7. 课后作业

（1）教材第20页练习的第1题和第2题.

【设计意图】考查简单的数量积计算及求解投影向量问题.

（2）参考教材第59页小结中的问题2，依据数量积公式能够实现“知三求一”的问题，各学习小组自编6道不同角度的问题并规范解答，下节课各小组互相竞答板演.

【设计意图】让学生在自主编题的过程中，体会从方程思想上如何应用数量积公式解决不同角度的问题，同时竞答的方式能够有效促进学生课后认真消化，激发学习兴趣.

（3）类比数的运算律，结合向量的几何表示，推导向量数量积的运算律等运算性质，并加以证明.

【设计意图】延续一个新运算的研究思路，通过推导数量积运算律的过程，借助投影的直观性，有效体现投影向量的重要应用.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃.树立课程意识，落实核心素养[J]. 数学通报，2016，55（5）：1-4，14.

附录：

“向量的数量积与几何投影”课中学案

课堂活动1：（1）填写下表中与“功”有关的物理问题.

（2）思考：如果去掉力与位移这两个矢量的物理背景，结合前面所学习的向量知识，你能抽象出哪些与向量有关的数学问题？

课堂活动2：结合表中向量[a]与向量[b]夹角的不同情形，分别作出向量[a]在向量[b]上的投影，并标注投影向量[OM1].

课堂活动3：根据两个向量夹角为锐角时投影向量的表示方法，推导其余四种情形中如何表示投影向量[OM1]？

课堂活动4：思考：向量[a]与向量[b]的数量积如何由投影向量[OM1]来表示？

当堂检测：（1）已知[a=3]，[e]为单位向量，当[a]与[e]的夹角为[45°]时，求向量[a]在向量[e]上的投影向量.

（2）已知[O]是边长为3的等边三角形[ABC]的中心，求[OA ⋅ AC].

课堂小结：（1）回顾并叙述得出数量积定义的研究思路和大致过程，并说说研究方法，在这个过程中自己的贡献和收获是什么？

（2）计算数量积的方法有哪些？通过本节课的学习，你认为可以解决哪些与向量有关的问题？

（3）类比前面向量运算的研究脉络，接下来我们还需要进一步探究数量积运算的哪些問题？