新高考背景下数学开放题的教学

仓韬

摘要：在新课改的背景下，随着核心素养在高中数学教学过程中的推行，培养学生的创造性和发散思维显得尤为重要。新高考加强了对数学开放题的考查，新教材中开放题的占比越来越大，对教师的开放题教学程度也提出了更高要求，让我们深刻感受到改进教学的必要性和迫切性。

关键词：数学教学 开放题 创新思维

数学开放题的教学应充分利用教材中的例题和习题，不断提高开放意识和开放程度，给予学生更广阔的想象空间和创造空间，让学生真正成为学习的主人，爱思考爱创造，从而提高学生思考问题解决问题的能力。

下面我们从几个案例中来探究数学开放题的教学：

案例一

【问题】函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反应两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律，例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体積的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述。

【分析】本题选自人教版教材章节《函数的概念》中的例题，是学生熟悉的一元二次函数背景，通过让学生自己根据函数创设问题情境，不同的学生创造不同的情境，以此来加深学生对函数关系的理解。学生会根据自己的认知从不同层次理解定义域和函数表达式，这是从抽象到具体的过程，也可以看成不同表示方式之间的相互转换，可以使学生体会函数的三要素，以及一个函数表达式的广泛适应性。在课堂上，我们应充分提供机会，给学生表达自己创设情境的机会，你会惊讶地发现他们无穷的想象力和创造力。课堂上学生给出了如下一些情境（部分）：

【情境一】长方形的周长为20，设一边长为，面积为，把面积表示为的表达式，那么

【情境二】设一个矩形的两边长分别为10和，其中，若剪去一个边长为的正方形，求剩余矩形的面积。

【情境三】摩托车的运行速度为，某时刻突然刹车，刹车后的加速度大小为，求刹车后t s内位移。

【情境四】某商人将每件进价为8元的商品，按每件9元出售，每天可售出9件。若每件提价1元，每天的销售量会减少1件，求每天所得利润（元）与每件提价（件）之间的函数关系式。

【情境五】在半径为5的圆弧上取点，过点作于，以为边作正方形，设，求正方形的面积与的函数关系式。

案例二

【问题】如图，函数的图像由曲线段和直线段构成.

（1）写出函数的一个解析式;

（2）提出一个能满足图像变化规律的实际问题。

【分析】本题选自人教版教材《指数函数与对数函数》复习参考题第13题。第（1）问根据函数图像特征，用待定系数法直接写出函数的解析式，为一个分段函数。第（2）问教师应在让学生充分观察函数图像的基础上，让学生自主根据函数图像特征，给函数配上一个合适的情境。观察函数图像可知，函数图像分为两段，第一段为指数型函数，第二段为一次函数，引导学生关注“先增后减”的增长趋势，注意到第一段的指数爆炸式增长趋势，寻找生活中比较吻合的增长问题，激发学生的思维，不同的学生会给出不同的情境。通过给学生充分的表达、展示自己编设的问题情境，能够加深学生对指数增长模型的理解以及分段函数是同一个函数的认识，为后面学习函数的应用铺垫。课堂上学生给出了如下情境（部分）：

【情境一】离上课还有5分钟，小明用了2分钟急速跑（先慢后快）到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟的时间匀速走到教室。

【情境二】疫情期间，学校每天要对教室进行消毒。已知消毒水在前两个小时的消毒功效逐渐增强，在之后的三小时药效匀速降低。

【情境三】A国在年初爆发了疫情，由于前两个月没有重视，确诊人数骤增，后来政府意识到疫情严重以后，采取了有效防控措施，后三个月确诊人数匀速减少。

【情境四】严冬时期对室内持续供暖2小时，热量等级与的关系如图所示，2小时后停止供暖，室内热量匀速减低。

【情境五】小陈同学参加冬季长跑，前两分钟加速前进，由于体力不支，后三分钟速度匀速减小。

案例三

【问题】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

【分析】本题选自2020年山东卷第17题，这是新高考的新题型--条件不良题。实际上这类问题就是典型的开放题型，此类题型给了学生很大的选择空间，也全面考查了学生对解三角形部分知识的掌握程度，不仅要知其然还要知其所以然。多层次多角度考查利用正余弦定理解三角形，这就要求我们平时在教学过程中充分利用解三角形的“知三解三”，对问题进行变式处理，充分发挥学生的主观能动性，让学生自行进行编题改题，以此来适应新的高考。该题学生选择不同条件，解三角形的角度就不同，全方位、多角度的考查了解三角形。

研究发现，新高考背景下对开放题的考查力度之大，这也是核心素养对学生提出的更高要求，“考向即方向”，这也给我们老师平时的教学指明了新的方向，让我们深刻感受到改进教学的必要性和迫切性，平时的教学过程应充分利用教材中的例题和习题，多进行开放式教学，给予学生更广阔的想象空间和创造空间，提高学生思考问题和解决问题的能力。此外，多开展开放题的教学不仅能够让学生充分感受数学知识的生成过程和应用之广，还能增强学生学习数学的兴趣和自信心，从而真正实现立德树人的培养目标。

（苏州外国语学校 江苏苏州 215000）