浅谈用“将军饮马”问题解决最小值问题

向勇 冉琼英

摘  要：“将军饮马”问题是初中数学的重要模型，利用该模型解决相关数学问题是考查学生能力的常用题型。最小值或最短路径问题更是广泛运用于解决代数及几何问题。

关键词：将军饮马   最小值

唐代诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。” 翻译过来：白天登山观察报警的烽火台，黄昏时牵马饮水靠近交河边。这两句诗中就蕴含了重要的数学问题，即“将军饮马”问题。

【将军饮马】问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的城堡B地开会，怎样走才能使路程最短（图一）？

解決这个问题的数学依据：轴对称的性质及两点之间距离最短（图二）。该数学模型中包含的最短距离问题，在初中数学中有着广泛的应用，我结合日常教学归纳如下：

一、在几何图形中的应用：

例1、（如图1）等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于D，E是AC上一点，且AE=2，M是AD上一点，求EM+MC的最小值。

简析（如图2）：由已知，B、C关于AD对称，连接B、E与AD的交点即为M的位置。线段BE的值就是EM+MC的最小值。

变式：如图3，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，点M、N分别是AC、AB上的点，求BM+MN的最小值。

提示：（如图4），作点N关于AC的对称点N’，当∠AN’B=90º时，BN’的值就是BM+MN的最小值。

例2：如图5，在矩形ABCD中，AB=10，AD=20，点E、P分别是边BC和对角线BD上任一点，求PC+PE的最小值。

解析：作点C关于BD的对称点C（图6），则CC’⊥BD，易求出BD= ，BG= ，在ΔBCC’中，当CE⊥BC时C’E的值（16）即是PC+PE的最小值。

例3、如图7，已知圆O的直径CD=4，∠AOD=60°，点B是AD的中点，直径CD上任一点P，求PA+PB的最小值。

简析：作点A关于CD的对称点A’（如图8），由已知可得：∠BOA'=90°，在等腰RtΔA'OB求出BA'的值即为PA+PB的最小值。

二、在函数知识中的应用：

例4、如图9，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴的交点分别为A（2，0），B（0，4），设原点为O，线段OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求当P的坐标为多少时，PC+PD的值最小，并求这个最小值。（最小值为 ）

例5、如图10，已知点A（-2，0），将OA绕点O顺时针旋转120º得OB。是否存在过A、B、O三点的抛物线的对称轴上一点C，使△BOC的周长最小，若存在，求C点的坐标;若不存在，请说明理由。

解析：要使△BOC的周长最小，只需CB+CO的值最小即可。根据已知可求出经过A、B、O三点的抛物线的对称轴为直线x=-1，故所求点C的坐标为直线AB与直线x=-1的交点坐标。直线AB的解析式为 ，所以点C的为 。

三、在求代数式值中的应用：

例6、求代数式 的最小值。

解析：设 ，将a、b表示在数轴上如图11所示，a+b的最小值即可转化为将军饮马问题求出（最小值为 13）。

四、中考中的最小值问题：

例7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D、E分别是AB、BC边上的点，求CD+DE的最小值。

简析：作点C关于AB的对称点C'，过点C'作BC的垂线C'E'交AB于D'，则C'E'=CD+DE为最小值。通过△CC'E'∼△ABC即求出C'E'。