解读知识核心，探讨破题策略

唐凝

[摘  要] 函数零点问题的探究教学，需要关注其中的核心知识和类型问题的解题思路，核心知识包括定理定义、零点的等价关系、数形策略，而常見的类型问题有零点个数、范围、参数取值等. 文章深入解读零点核心知识，围绕具体问题探讨解题策略.

[关键词] 函数;零点;知识;定理;问题;建议

[?]问题综述

函数零点问题是高中数学的重难点内容，同时问题的综合性和关联性极强，常与不等式、方程、几何等知识相结合，在高考中常出现在选择题、压轴导数问题中. 零点问题不仅包含了函数、零点知识，其中也隐含了数学方法和思想，如常见的数形结合、分离参数、化归转化、换元等. 函数零点问题可全面考查学生对函数知识的理解和数学方法应用的能力. 问题探究建议立足函数零点的核心知识，深刻理解定理定义内涵，整理常见的问题类型，归纳解题方法. 下面从“知识解读”和“问题探究”两个环节对函数零点问题进行探讨.

[?]知识解读

掌握函数零点问题的知识核心，理解定义定理的知识内涵是问题突破的基础. 关于函数零点问题，需要关注以下几点.

1. 函数零点的定义

对于函数y=f（x），教材中定义使f（x）=0的实数x称之为函数y=f（x）的零点.

分析上述定义，可知函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也是y=f（x）图像与坐标x轴交点的横坐标. 在探究学习时需要关注以下两点：一是定义中的函数零点不是单纯的“点”，而是函数图像与x轴交点的横坐标;二是注意类比导数极值点，同样极值点也不是“点”，而是函数取得极值时x的值. 但无论是函数零点，还是极值点，通过观察图像可初步确定.

2. 函数零点的等价关系

根据上述对函数零点的定义分析可知，函数零点有如下三个等价关系：

函数y=f（x）有零点?方程f（x）=0有实数根?函数y=f（x）的图像与x轴有交点.

对于上述三个等价关系，可从方程实数根、与x轴的交点来把握函数的零点，同时建立零点个数与根的个数、交点个数之间的关联.

3. 函数零点的存在性定理

函数零点存在性定理的内容较为丰富，首先呈现其定理，然后分段理解.

定理：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

定理的内容可分为三段，第一段描述函数的连续性，第二段描述函数与x轴的交点，第三段进行零点确定. 在理解时需要把握定理的三个关键点：一是函数图像的连续性，如果函数的图像不连续，则不能保证端点值异号就一定有零点;二是两端点函数值满足f（a）·f（b）<0，实则表示与x轴有交点;三是定理描述的存在零点，指的是至少存在一个零点，并没有说明具体的零点个数，后续还需结合相关知识进行确认判断.

4. 函数零点问题的解析策略

函数零点问题往往基于函数知识而构建，而函数具有“数”与“形”两大知识属性，因此数形结合是解析该类问题的核心策略. 解析时可利用函数的图像来研究函数的性质，从而将抽象的函数直观化、具体化. 学习数形结合策略要侧重以下几点：一是熟悉常见初等函数的图像;二是搭配参数分析法，对于较为复杂的函数，可先进行参数分离，将复合函数等效转化，然后利用数形结合绘制图像.

[?]问题探究

函数零点问题的类型较为众多，常见的包括求零点个数，判断零点的区间，分析参数取值，以及探究复合函数等，下面结合实例加以解读探究.

类型一：函数零点个数或区间问题

函数零点个数问题较为常见，问题难点主要集中在函数性质判断和方法选取上. 求函数零点个数一般有以下三种方法：①直接解方程，即将函数问题转化为方程问题，求方程的解来确定函数零点个数;②研究函数单调性和端点值，单调函数至多有一个零点，若函数不是单调函数，则可将其分解为单调区间上的零点存在性问题，该方法常结合导数来研究函数性质;③构造函数法，根据对应的方程来构建两个函数，则零点个数就是两个函数的交点个数，该方法常搭配图像使用.

例1：函数f（x）=ex-

x

3的零点个数是（  ）

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

解析：①当x≤0时，f（x）=ex+x3，对应导函数f′（x）=ex+3x2>0，则函数在区间上单调递增，又知f（-1）=e-1-1<0，f（0）=1>0，则此时函数f（x）=ex-

x

3有唯一的零点.

②当x>0时，令f（x）=ex-x3=0，可解得ex=x3?x=3lnx，原函数的零点就为函数g（x）=x-3lnx的零点，其导函数为g′（x）=1-. 当x>3时，g′（x）=1->0，则函数单调递增;当3>x>0时，g′（x）=1-<0，函数单调递减，又知g（3）=3-3ln3=3（1-ln3）<0，g（1）=1>0，g（6）=6-3ln6=3（2-ln2）>0，所以原函数在区间3>x>0和x>0上各有一个零点.

综上可知，函数零点个数为3，选C.

评析：上述在求函数零点时采用了分类讨论、导函数分析的策略，即方法二，问题的难点主要有两点：一是除去绝对值符号，这也是后续分类的标准;二是解析指数函数ex的性质. 求零点个数问题，需要关注区间的端点位置、断点位置.

类型二：讨论函数零点的范围

函数零点范围问题关注的是零点的范围，可结合零点存在性定理、函數性质来解析. 解析时首先分析函数是否连续，若不连续则需分段求解，然后结合函数性质论证零点的取值范围;若函数中的参数对单调性有影响，则须讨论参数取值.

例2：（2020年高考全国Ⅲ卷理数）设函数f（x）=x3+bx+c，曲线y=f（x）在点

，f

处的切线与y轴垂直.

（1）求b;

（2）若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于1.

解析：（1）过程略，b=-. （2）可知f（x）=x3-x+c，导函数f′（x）=3x2-，令f′（x）=0，可解得x=-或x=，则f′（x）和f（x）的取值情形如表1.

①由于f（1）=f

-

=c+，所以当c<-时，f（x）只有大于1的零点;

②由于f（-1）=f

=c-，所以当c>时，f（x）只有小于-1的零点;

③由题设可知-≤c≤，则当c= -时，f（x）有两个零点，分别为-和1;当c=时，f（x）的两个零点分别为-1和;

④当-

-1，-

，x∈

-，

，x∈

，1

.

综上可知，若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，则f（x）所有零点的绝对值都不大于1.

评析：上述证明特定条件下f（x）的零点均不大于1，采用了函数性质分析和参数取值讨论的策略，分别讨论参数对函数零点取值范围的影响. 对于零点取值问题，需要把握两个关键点：一是函数零点是否存在;二是参数对零点取值的影响.

类型三：根据零点条件求参数取值

零点条件下的参数取值问题常采用数形结合的方法，将问题等效为方程问题，后续采用构造法突破，另外又分参数分离和整体构造两种：①参数分离构造法，将参数变换到等号一侧，另一侧则可构造函数，只需研究一侧函数的取值即可;②整体构造，常结合函数图像，但需要逐步讨论参数取值.

例3：已知函数f（x）=lnx-2ax恰有三个零点，则实数a的取值范围为_____.

解析：f（x）=lnx-2ax有三个零点，等价于方程lnx=2ax有三个解，基于方程构造函数y=lnx和y=2ax，则转化为y=lnx和y=2ax的函数图像有三个交点. 又知y=2ax为经过原点的直线，可绘制图1所示图像.

①当a≤0时，由图可知，函数y=lnx和y=2ax没有三个交点，不满足条件.

②当a>0时，当且仅当y=2ax为y=lnx的切线时，方程lnx=2ax有两个解. 令y=2ax为y=lnx的切线，设切点A（x，lnx），则切线方程为y-lnx=（x-x），由于切线经过原点，则可解得x=e，此时切线的斜率为. 根据题意可得0<2a<，即a∈

0，

时原函数有三个零点.

评析：上述探究零点条件下参数的取值，解析时采用函数构造的方法，将问题转化为两函数的交点问题，后续结合图像进行参数取值讨论，有效降低了思维难度. 其中涉及了分类讨论、函数构造、数形结合等策略，技巧性极强.

[?]总结思考

上述重点探究了函数零点问题解析的核心知识，并结合考题探讨常见类型问题的突破思路，其中的知识核心是教学的重点，开展类型探究则有利于提升学生的解题能力.

开展零点问题探究，要立足核心知识，关注问题的定理定义及等价关系，探索问题的转化策略和解析思路. 教学中可从以下几个方面引导：一是方程的根、函数图像交点与函数零点之间的关系，该内容是后续问题转化的核心依据;二是深入解读定理，零点存在性定理较为抽象，教学中可结合基本函数具体讲解，关注定理的核心要点;三是总结问题的解析策略，从上述问题的探究过程来看，化归转化、分类讨论、数形结合、构造函数、参数分离是该类问题突破的常用策略，教学中有必要引导学生理解方法内涵、掌握方法技巧，结合实例帮助学生积累解题经验.