巧用三角反代换 单位圆中破疑难

魏榜 胡凤娟 刘明华 张茜

[摘  要] 三角反代换借助单位圆直观地反映了同角三角函数的关系，不仅能快速确定一般情况f（cosθ，sinθ）=0时角θ在单位圆中的位置，还能实现三角问题向代数和几何问题的转化.

[关键词] 单位圆;三角反代换;数形结合;三角方程;三角不等式

[?]引言

三角函数在高中数学中有着相当重要的地位，在全国卷高考中大约占20至30分. 但在日常教学中发现，学生在求解三角方程问题时难以精确确定角的范围，容易出现多解漏解等情况[1]. 许多题目的解答过程尝试了多种方法对角的范围进行限制，但大多是通过运算的技巧来缩小角的范围，然而技巧较多，适应范围也较为局限，尚无一般通法.

笔者通过研究，在任意角三角函数值定义的基础上总结出了一套通过数形结合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代换法，可有效解决上述问题.

我们知道，三角代换是数学中常用的换元法之一，它能够利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，合理的代换将会使求解过程简单化，甚至使一些很难求的问题快速求解[2]. 那么，“三角反代换”会有什么样的妙用呢？

[?]三角反代换与单位圆

对任意f（cosθ，sinθ）=0 ，均有f（cosθ，sinθ）=0，

cos2θ+sin2θ=1，进行换元即三角反代换，令cosθ=x，

sinθ=y，则方程组转化为f（x，y）=0，

x2+y2=1，在由θ决定的定义域内解得（x，y）=（cosθ，sinθ）. 由于（cosθ，sinθ）与角θ相对应，记函数f（x，y）=0的图像与单位圆交点为P，P，P，…，P，则P是角θ终边与单位圆的交点，即∠xOP为所求θ（注：x为x轴正方向任意一点）.

[?]三角反代换用法举例分析

三角反代换的用法可分为两大类，一是数形结合在单位圆中确定角的具体位置;二是将三角问题转化为代数或几何问题. 接下来将逐一介绍：

1. 确定角的位置：解三角方程和三角不等式

三角反代换后作出函数f（x，y）=0的图像，通过其与单位圆的交点可以确定角的终边，也就是确定了角的位置. 下面以例1为例，详细说明三角反代换的具体步骤.

例1：已知sinθ=，求θ.

解：第一步：三角反代换令sinθ=y，原式变成y=. 第二步：作出y=和x2+y2=1并标出其交点P和P. 第三步：标出∠xOP和∠xOP，记为θ和θ，再加上周期即为所求θ（图1）. 第四步：求出第一象限θ=+2kπ，k∈Z. 由对称关系得θ=+2kπ，k∈Z.

综上：θ=（2k+）π±，k∈Z.

变式：在△ABC中，sinA+cosA=，判断△ABC的形状.

解：三角反代换作出x+y=与单位圆图像，如图2所示，可得出A=∠xOP或∠xOP. 又0

评注：可以看出在确定角所在象限估算角的范围时，三角反代换是一个非常简洁的方法，通过数形结合能够直观地看出角的大小，在不追求准确计算时非常实用，能起到出奇制胜的效果.

三角反代换不仅能解三角方程，还能解三角不等式，请看例2.

例2：解不等式tanθ≤1.

解：三角反代换作出≤1的线性区域，与单位圆相交于如图3所示两段圆弧BC和弧DE（不含B，D两端点）：则弧BC和弧DE上除B，D两点外每一点都是θ终边与单位圆的交点，对应θ的取值范围为

k+

π<θ≤

k+

π，k∈Z.

变式：（2018北京卷文科7）在平面直角坐标系中，圆x2+y2=1上的四段弧，，，（如图4），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边. 若tanα

A. B.

C. D.

解：三角反代换：

x

评注：例2及其变式示范了三角反代换在求解三角不等式时的用法，它能够借助函数图像将三角不等式转化为函数不等式问题，使三角不等式与函数紧密相连，体现了函数与不等式的转化思想.

2. 将三角问题转化为代数问题或几何问题

将三角问题进行三角反代换之后得到函数f（x，y）=0，由于方程组f（x，y）=0，

x2+y2=1在相应定义域内有解，既可转化为方程有解构造不等式，也可转化成函数f（x，y）=0与单位圆在定义域内有交点利用数形结合解决问题. 在此按f（x，y）=0为直线型和曲线型两种情况进行举例分析：当f（x，y）=0为直线型时，可借助直线与圆的几何关系来命题和解题;当f（x，y）=0为曲线型时，可借用导数工具进行研究.

（1）f（x，y）=0為直线型

例3：已知2cosα+sinα-=0，求tanα.

解：由于=1，故直线与圆相切，即直线与圆有且只有一个交点，记切点为B，则∠xOB为所求α，记直线l倾斜角为β，如图6所示，则tanβ=k=-2. 由诱导公式可得：tanα=tan

β-

=-cotβ=.

评注：许多教师对此题进行过深入研究，提出的解法有十余种之多，常见的有解方程、平方处理、万能公式法，也有比较新奇的向量法、求导法等，代数换元法、柯西不等式法、辅助角法、单位圆法等[3]. 这些解法大致可以分为两类，一类是想方设法建立方程;另一类是抓住最值进行构造，通过满足最值所需条件求解tanα.

此题中A2+B2=C2，可推出直线Ax+By=C与单位圆相切，通过几何法可快速求出可得出tanα=.

变式：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α≠β≠kπ，k∈Z），

求证：cos2=.

证：在平面直角坐标系中，点C为线段AB的中点. 设点A（cosα，sinα）与点B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点（如图7所示）. 不妨设α=∠xOA+2kπ，β=∠xOB+2kπ，k，k∈Z，则=-= -=-∠AOC-（k-k）π，故cos2=cos2

-∠AOC-（k-k）π

=cos2∠AOC =

=

=.

评注：此题以直线与圆的几何关系为背景考查了三角关系式的证明，有一定综合性. 解题关键在于构造直线与单位圆相交的模型，进而挖掘目标式的几何意义即可求证. 需要特别注意的是，由于直线与圆的特殊位置关系，在三角函数中也应该有与之对应的丰富的关系式等待读者的挖掘[4].

例4：（2017全国二卷文科13）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为________.

解：令2cosθ+sinθ=k，θ∈R，三角反代换得2x+y=k. 由于该直线与单位圆必有交点，即直线2x+y=k到原点距离d=≤1，整理得-≤k≤，故k最大值即f（x）最大值为.

评注：此题是典型的三角函数问题，常见解法是借助辅助角公式和三角函数图像进行求解. 上述解法通过挖掘三角函数隐含的平方和关系，将三角函数问题转化为代数问题，又通过数形结合转化为几何问题.

（2）f（x，y）=0为曲线型

例5：（2018全国一卷理科16）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是________.

本题由人教A版导数章节教材复习题稍加改变而来. 许多教师对此题做了非常深入的研究，提出了多种解法，有常规的导数法，技巧性较强的基本不等式法，运算量较大的均值不等式法，还有构造单位圆内接三角形的构造模型法等，思路新颖[5]. 笔者结合三角反代换，分析一种新的解题方法.

解：方便起见，先将题换成f（θ）=2sinθ+sin2θ=2sinθ+2sinθcosθ，三角反代换令cosθ=x，sinθ=y，得2y+2xy=b，即y=，则题目转化成：曲线y=与单位圆有交点时求b的最小值. 通过分析可知，b<0且反比例函数y=与单位圆在第四象限相切时，b有最小值（图8）.

设切点A

x，

，则点A在圆上：x+

2=1，曲线在点A处切线与OA垂直，即-·= -1，联立两方程解得x=，b=.

故f（x）最小值为-.

评注：与导数法、基本不等式法等其他方法相比，三角反代换思路“新奇”，充分挖掘三角函数的隐含条件，为解决三角最值问题提供了一条全新的思路. 能解决一些导数所不能解决的问题，如求f（x）=sinx+cosx+sin2x的最值等[4].

[?]教学建议

2017版高中数学课程标准中特别指出：在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用[6]. 三角反代换在单位圆中的应用兼具思想性、实用性与新颖性等特点，契合新课程标准的理念[7]，不仅集中体现了众多数学思想方法，更体现了数学的对称美！

在教学过程中教师要注意启发学生，引导学生体会几个重要的转化过程，注意思想方法的渗透，让学生感受转化思想的奇妙. 笔者认为重要的转化过程有：①换元，将cosθ和sinθ换元为x和y. ②方程的解与图像交点的转化，即方程组f（x，y）=0，

x2+y2=1的解转化为两曲线的交点. ③两曲线交点到角θ终边与单位圆的交点的转化，进而确定θ角的位置.

[?]总结

笔者认为三角反代换是众多核心知识点、核心思想方法的交汇处，其教学对于提高学生的综合能力、培养学生思维、领悟数学基本思想方法大有益处.

数学家波利亚曾说：“一个想法使用一次是技巧，经过多次的使用就可以成为一种方法”. 三角反代换在解三角方程、三角不等式等问题时有显著优势，尤其是在确定角的范围、估计角的大小时使用方便灵活. 三角反代换丰富了单位圆的应用，既体现了坐标定义三角函数的优势[8]，又能培养学生的数形结合能力、综合应用知识的能力. 此外，三角反代换还实现了三角函数问题向几何或代数问题的转化，为解决三角函数问题打开了一扇新的大门！笔者水平有限，本文实乃抛砖引玉，期待读者朋友们对三角反代换进行更加深入的研究，探尋三角函数更深处的奥秘！

参考文献：

[1]  吴志鹏. 三角函数中确定角范围的几种方法[J]. 数理化解题研究，2019（22）.

[2]  王立芳. 三角代换的功能[J]. 中学数学月刊，1998（Z1）.

[3]  贾顺星. 十种方法求解三角函数问题[J]. 中学数学教学参考，2018（36）.

[4]  李文东. 巧用单位圆求解三角函数问题[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2020（11）.

[5]  黄洪光. 多管齐下，破解三角函数最值题——以2018年高考数学全国卷Ⅰ理科第16题为例[J]. 中学数学教学参考，2019（15）.

[6]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[7]  胡凤娟，吕世虎，王尚志. 深度理解《普通高中课程方案（2017年版）》[J]. 数学教育学报，2018，27（1）.

[8]  章建跃. 为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数[J]. 数学通报，2007（1）.