“综合与实践”在青岛初中学业水平考试中的考查分析

张清泉

（青岛广雅中学，山东青岛 266000）

“综合与实践”作为《课程标准（2011年版）》教学内容中重要的一个部分，不仅反映数学课程和教学改革的要求，也为学生提供了一种通过综合、实践的过程去做数学、学数学、理解数学的机会，尤其是作为数学课程的重要学习领域，它还强调以问题为载体，让学生在解决问题的过程中，获得并积累大量的数学活动经验，是实现课程总目标“四基”中的基本活动经验的主要途径之一[1]。因此，新课改以来，青岛市一直将“综合与实践” 作为学生学习的重要一环，在青岛每年的初中学业水平考试中，“综合与实践”也都是考查的重点。

1 考查目的

“综合与实践”部分，既是学生所学习的数学知识与技能、 思想与方法在解决一些数学问题中的综合运用，即“数学探究”；也是这些知识与技能、思想与方法在解决生活和社会问题中的综合运用，即“数学建模”。因此，通过“综合与实践”内容的考查，可以对以下几点有一个较为直观的评价。

（1）学生是否具备良好的数学观和数学运用意识；（2）学生是否形成了相关知识点的联结，并具备综合运用的能力；（3）学生是否具备解决“综合与实践”问题所需的探索性的、研究性的学习能力和研究能力；（4）学生是否积累了足够的数学活动经验。如果我们把通过“综合与实践”学习得到的数学活动经验的过程细化，可以发现它应该包含“学数学”“做数学”“用数学”“再创造”4 个层次，对这部分内容的考查，可以很好地反映出学生目前经验积累所达到的层次[2]。

同时，通过“综合与实践”的考查，可以引导教师在日常的教学中，在重视四基目标的基础上，更关注教材的研究、 方法的指导和提供数学活动经验的实践机会。

例1：2018年青岛初中学业水平考试23 题

问题提出： 用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1 方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律。

图1 2018年青岛初中学业水平考试23 题

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法。

探究一：

用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n 的矩形框架（m、n 是正整数），需要木棒的条数。

如图①，当m=1，n=1 时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1 条，共需4 条；

如图②，当m=2，n=1 时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1 条，共需7 条；

如图③，当m=2，n=2 时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2 条，共需12 条；

如图④，当m=3，n=1 时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1 条，共需10 条；

如图⑤，当m=3，n=2 时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2 条，共需17 条。

问题（一）： 当m=4，n=2 时，共 需 木 棒____________条．

问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n 时，横放的木棒为____________ 条；

纵放的木棒为____________ 条。

探究二：

用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s 是正整数），需要木棒的条数。

如图⑥，当m=3，n=2，s=1 时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34 条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12 条，共需46 条；

如图⑦，当m=3，n=2，s=2 时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51 条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24 条，共需75 条；

如图⑧，当m=3，n=2，s=3 时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68 条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36 条，共需104 条。

问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s 时，横放与纵放木棒条数之和为___________ 条，竖放木棒条数为___________ 条。

实际应用： 现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4 的长方体框架，总共使用了170 条木棒，则这个长方体框架的横长是_________。

拓展应用：若按照如图2 方式搭建一个底面边长是10，高是5 的正三棱柱框架，需要木棒_____条。

图2 拓展应用

该题的命题立意包含：（1） 学生能通过观察、试验、归纳、类比等方法进行合情推理；（2）理解简单的数形结合思想等基本数学思想；（3）建立初步的几何直观，能利用图形描述和分析问题；（4）能够从具体情境中抽象出数学模型，研究其变化规律，并能用数学语言描述；（5）能利用“从特殊到一般”“从一般到特殊”“转化”等策略分析解决简单问题；（6）结合实际情境建立模型解决问题。由此可见，该题就是一个微型的科研过程，依托“综合与实践”的探究，对学生的综合能力进行了考查；同时，作为学业水平测试中的一道难题，学生在考试过程中，能探究的时间是极为有限的，学生想在短暂的时间内，完成一系列的思维活动，其思维能进展到何种程度，取决于有多少数学活动经验作为积累[3]。因此，该题的考查，又反映出学生基本活动经验的多少。

2 命题设计原则

2.1 依托知识，超越知识

根据课程标准，通过义务教育阶段的数学学习，学生要获得适应社会生活和进一步发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。相对而言，前两者是有形的，后两者则是无形的，所以在学业水平测试中，对前两者的考查容易做到，但思想的形成和经验的积累却是不容易考查的。因此，“综合与实践”的考查在设计时，应该依托知识又超越知识，更多地指向学生能否提炼出思想方法和活动经验是否丰富上。

2.2 依托教材，超越教材

“综合与实践”考题的背景，可以从学生熟悉的现实背景和已有的生活经验出发，结合教材和教学内容，确定命题主题、内容，同时也可以从数学史、数学之美、趣味数学等方面选择主题。

如例1，围绕基本的摆木棒问题展开拓展性研究，然后从二维上升到三维，学生在探索中，不断体会数学思想方法的价值和精髓。这样的命题，即依托教材，又超越教材，使学生的综合能力得到了考查。

2.3 依托课堂，超越课堂

“综合与实践”问题的考查，其背后是对学生是具备多少数学活动经验的考查。这些数学活动经验来源于学生的日常学习，依托课堂活动，但“综合与实践” 活动的完整过程，往往不是课堂上能够完成的，需要课内外相结合。比如，有的活动可以采用任务驱动的形式，课堂上进行交流合作完成任务；有的活动则是按照“选题—开题—做题—结题”的思路，引领学生经历“微科研”过程学会怎样做研究[4]。这种活动的组织实施显然是要超越传统课堂的。

3 考查形式

青岛初中学业水平考试中，“综合与实践” 题目的编制基本都是以例1、例2 这种形式呈现的，简单来说，就是给学生呈现一个模拟的“微科研”过程。

3.1 题目选材——重在问题导向

“综合与实践”是一类以数学问题或生活中的问题作为载体，以学生自主参与为主的学习活动，所以考试命题的核心是问题或问题串。寻找好的问题，把求解问题的过程、 求解问题运用的思想方法或者拓展问题的结论，设计成学生便于理解和参与的形式，是“综合与实践”命题首先考虑的。

以例1 为例，数木棒是学生非常熟悉的一个问题，它来源于教材，又是平常学习中反复出现的问题，在平面上探索木棒摆放规律还是学生曾经利用数形结合思想解决的问题。从探究一到探究二，从学生已经解决的二维平面问题发展到三维空间问题，再到推导公式解决实际应用，掌握方法解决拓展问题，我们可以看出这是一个以问题解决为中心的探究活动，学生可以在解决问题的实践与探究过程中联想想象、发散迁移，进一步发现新问题、创出新策略。以此更好地对学生的数学能力、数学活动经验进行考查。

3.2 呈现方式——问题引领与过程指导相结合

“综合与实践”的题目首先呈现给学生的应该是某个问题的探究过程，以问题为纽带，驱动学生快速经历，提取信息。然后围绕探究过程，提出问题或引导学生发现问题，再设计有效问题串启发学生用已有的数学知识、技能、思想方法和活动经验去分析、解决问题，循环往复、不断深化。

在命题时所选问题呈现出的求解过程或思想方法要利于学生理解，利于学生综合运用所学知识，并能使学生在短时间内对问题所体现的“微科研”的过程有体验，唤醒他们积累的类似数学活动经验，使接下来的自主探究有据可依。

学生看到问题之后，可以通过观察接收信息，分析与问题相关的背景知识、相关方法、数学模型或数学工具，最后反馈、 提炼所有信息这一过程明确题意，并与学习过的相关数学知识或模型进行连接，从而合理的运用题目呈现的解决问题的思路或方案，通过自主探究、实验操作、观察思考、推证演算等实践操作环节解决问题。学生在根据题目寻求解题途径时，能否有效地获得信息，能否依托已有知识点提炼出合适的方法，都反映出以往有多少类似的活动经验，可以说，经验的多少决定了学生在本题中的得分多少。

4 学生解答情况

“综合与实践”题目在青岛中考中的分值是10分，每年平均分都基本在5～6 分之间，从阅卷情况看，很少有学生会空题，这就反映了青岛学生在日常学习中，都得到了参与数学探究活动的机会，也通过这些活动具备了自主探究的能力，积累了基本活动经验。同时，这道题目的区分度也非常明显，不同层次的学生分数差异明显，很好地反映出对学生基本数学活动经验多少的考查结果，正好对应了“学数学”“做数学”“用数学”“再创造”4 个层次[5]。

例1 中，问题（一）（二）正确率很高，说明绝大部分学生探究问题和类比归纳的能力较强，对于“学数学” 这个层次的经验是丰富的，从学生答题情况来看，主要存在的问题是书写不规范。问题（三）是在探究一的基础上层次递进，由平面图形过渡到立体空间，从二维上升到三维，难度增大，部分学生得分相对比较理想，通过规范的书写，反映出这部分学生数学观、数学应用意识，综合运用数学的能力较强，积累了足够的“做数学”的活动经验。但是也有不少学生或限于个人的理解能力，不能从特殊中抽象出一般的规律，部分学生即使得到一般性的规律，但在答题规范、 计算等方面出现问题，如出现运算符号混乱，整式乘法结果错误等，反映出这部分学生“做数学”的活动经验相对有所欠缺，不完整[6]。

实际应用是对问题（三）结论的应用，学生需要通过经历观察、猜想、类比、归纳得到结论，转化为方程，通过解方程获得答案，虽然解方程不是这一问的难点，但是在中考这样短时间、高压力下，不具备丰富的“微科研”全过程数学活动经验，在“用数学”这个层次就难以将探究的完整结果呈现出来，很多学生在此处出现了错误。

最后的拓展应用，得分率最低，因为需要较强的综合运用能力、方法迁移能力，以前没有过类似活动经验，就更难突破，所以这一问也是对学生初中三年学习中，是否曾经有过自主探究、设问质疑，创新体验等数学活动经验的最好检验，反映出“再创造”能力依然是我们今后教学要重点关注的一项能力。

5 反思

有效的数学学习不能单纯地依靠模仿和记忆，教师们应该引导学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流、再创造等数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识，发展应用数学知识的意识与能力，积累宝贵的数学活动经验。在学生的学习过程中，“经历了过程”的“做中学”往往比“直接得知结果”的“灌输”印象更深刻，而这种“经历”的经验是任何讲解都替代不了的。数学观、数学运用意识和能力、 研究能力等这些综合素质必须依靠平日教与学的积淀，因此在教学中，教师要为学生搭建数学活动的平台，提供充足的时间和空间，让学生去经历活动过程，积累数学活动经验，不断发现、提出、分析并创造性地解决问题，避免出现为了所谓的“省时间”，用过多的讲解替代学生独立的探究，或为了所谓的“多做练习”，用直接告知结果代替学生对定理公式产生过程的理解等一些舍本逐末、功利主义的做法。