由一道解析几何中的定点题引发的思考

张清芳

解析几何中的定点问题的综合性比较强，常与圆锥曲线的定义、几何性质、直线与位置关系、函数、不等式、方程等相结合，这类问题对同学们的综合分析和运算能力要求较高.本文以一道解析几何中的定点题为例，探讨一下解答此类问题的思路和方法.

该题较为复杂，我们需首先根据题意绘制出相应的图形，明确各点、直线、曲线的位置关系，然后列出相应的关系式，求得C、D的坐标或者所在直线的方程，从而确定定点的位置和坐标.主要有以下两种思路.

一、由特殊到一般推理法

由于解析幾何中的定点问题中的定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，所以我们可根据特殊情况先找到这个定点，运用由特殊到一般推理法解题.在解题时，我们可从一些特殊的情况人手，如直线的斜率不存在，或直线过原点等，得到相应的关系式，探求出定点的坐标，然后再推理证明该定点在一般情况下也成立.对于本题，我们可“从P为直线x=6上的动点”人手，设P（6，1），并将其代人题设中进行求解，便能依据题目给出的条件逐步求得直线CD的方程，从而得到定点，

二、参数法

圆锥曲线的定点问题常会涉及到曲线上的动点及动直线，所以常需设出动点或动直线，即通过引入参数来解题.在解题时，我们需先根据题设写出已知点的坐标f或直线的方程），引人参数，设出动点的坐标（或直线的方程），结合已知条件将目标式用参数表示出来，再根据点在某曲线上，代人消参求得定值.对于本题，我们可先设出P点的坐标和直线PA、PB的方程，将其代入题设中，通过推理、运算求得点C及点D的坐标，继而写出直线CD的方程，得到定点.

在运用参数法解题时，要注意灵活运用设而不求思想、整体思想和消元思想来简化运算.

解析几何中的定点问题的难度较大，且运算量较大.因此，在解题时，同学们要注意合理选取特殊值或设参，灵活运用由特殊到一般推理法、参数法来解题，同时要灵活运用方程思想、分类讨论思想、数形结合思想来辅助解题，以提升解题的效率.

（作者单位：安徽省亳州市第二完全中学）