用二重数学归纳法证明一个恒等式

刘天武

摘 要：主要探究一个阶乘分解的恒等式，即k！=（-1）k（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k，这表明阶乘可以转化为有限和的形式，我们利用二重数学归纳法来证明它。

关键词：二重数学归纳法;恒等式;证明

一、二重数学归纳法

所谓二重数学归纳法（亦称为参变归纳法）就是对其中一个用数学归纳法证明的过程中，再对另一个用数学归纳法证明。它可以作为教材中数学归纳法的进一步延伸。

二、恒等式的证明

定理 对任意固定的数m和正整数k，则成立如下公式

k！=（-1）k（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k.

證明：容易知道，原不等式等价于证明

（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k=（-1）kk！

?（-1）k-i[Ci][k]（m-i）k=（-1）kk！

?（-1）i[Ci][k][Cj][k]mj（-i）k-j=k！

?

（-1）k+i-j[Ci][k][Cj][k]ik-jmj=k！，

即证明（-1）k+i[Ci][k]ik+（-1）i[Ci][k]mk+

（-1）k+i-j[Ci][k][Cj][k]ik-jmj=k！.

由上式可知，mk的系数为零.

下面我们证明mj（1≤j≤k-1）的系数全为零，而常数项为k！，即证明

（-1）k+i-j[Ci][k][Cj][k]ik-j=0，（1）

（-1）k+i[Ci][k]ik=k！，（2）

先证明（1）式，在（1）中我们令k-j=t，则1≤t≤k-1，并且规定0a=0（a>0）.

则我们只需证明如（-1）i[Ci][k]it=0（1≤t≤k-1），先声明，对于等式[Ck][n]=[Ck][n-1]+[Ck-1][n-1]，当k=n时，规定[Cn][n-1]=0.设f（k，t）=（-1）i[Ci][k]it，其中k，t均为正整数，且1≤t≤k-1，（k≥2）

（i）当k=2时，t只能为1，此时有f（2，1）=（-1）i[Ci][2]i=

-2+2=0.

当k=3时，t可能为1，亦可能为2.

若t=1，则有f（3，1）=（-1）i[Ci][3]i=0;

若t=2，则有f（3，2）=（-1）i[Ci][3]i2=0.

故f（k，t）=（-1）i[Ci][k]it，对k=2和3都成立.

（ii）当k=s时，若f（s，t）=（-1）i[Ci][s]it，对任意的1≤t≤s-1成立.

当k=s+1时，我们再对t作数学归纳法.

当t=1时，f（s+1，1）=（-1）i[Ci][s+1]i=（s+1）（-1）i[Ci-1][s]=

-（s+1）（-1）i[Ci][s]=0.

假设t=l时，f（s+1，l）=（-1）i[Ci][s+1]il=0成立.

当t=l+1时，

f（s+1，l+1）=（-1）i[Ci][s+1]il+1=（s+1）（-1）i[Ci-1][s]il

=（s+1）（-1）i（[Ci][s+1]-[Ci][s]）il=（s+1）（-1）i[Ci][s+1]il-

（s+1）（-1）i[Ci][s]il

=（s+1）f（s+1，l）-（s+1）（-1）i[Ci][s]il

=（s+1）f（s+1，l）-（s+1）f（s，l）=0.

因此f（k，t）=0对任意的正整数k，t，且1≤t≤k-1（k≥2）都成立，故（1）式得证.

再证明（2）式，对于（2）式，我们可以用普通的数学归纳法证明，

当k=1时，（-1）1+1C1111=1=1！.假设k-1时，

（-1）k-1+i[Ci][k-1]ik-1=（k-1）！成立.

当为k时，（-1）k+i[Ci][k]ik=k（-1）k+i+1[Ci][k-1]（i+1）k-1

=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]（i+1）k-1

=k（-1）k+i+1[Ci][k-1]（i+1）k-1=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]（[C0][k-1]ik-1+[C1][k-1]ik-2+…

+[Ck-2][k-1]i+[Ck-1][k-1]），

由恒等式（1），对于i的次数小于等于k-2且大于等于1的项全为零，最后一项为k（-1）k-1（-1）i[Ci][k-1]，亦为零，所以

（-1）k+i[Ci][k]ik=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]ik-1=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]ik-1

=k（k-1）！=k！.

故（2）式得证.这样我们就证明了k！=（-1）k（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k.