例谈三角函数周期性问题

江苏省无锡市第一中学 (214100) 吴明飞

一、教学分析

二、教学过程

(一)解三角函数的周期问题时如何思考

教学片断1

教学目的：巩固学生对常规三角函数周期性问题的求解，学会通性通法.

教学片断2

A.最小值为2 B.最大值为2

C.最小值为1 D.最大值为1

(二)学习三角函数的周期性需要注意什么

教学片断3

这是一道新高考模拟题，学生们的做题思路还是比较明确，其大部分同学的做法大是这样的：

反思辨析：仔细分析发现，这里有个概念性的错误，由f(x+2π)=f(x)得到2π为f(x)的一个周期，但是不一定是最小正周期，但后面的运算学生们都是默认为最小正周期的，所以上述做法不对，所以在处理三角函数的周期问题时，一定要区分开周期与最小正周期，所以此题值得深入研究.

分析：既然由f(x)=-f(x+π)得不到最小正周期，但f(x)=-f(x+π)肯定是有意义的，即对任意x∈R，f(x)=-f(x+π)恒成立，直接代入解析式得，通过代数变形得到sin(ωx+φ)=-sin(ω(x+π)+φ)=sin(-ωx-ωπ-φ)=sin(π+ωx+ωπ+φ)，sin(ωx+φ)=sin((ωx+φ)+(π+ωπ))，所以π+ωπ=2kπ,k∈Z，即ω=2k-1,k∈Z，又因为ω>0，此时发现ω可以取无穷多个数，这与出题人想展示的不是一个意思，所以此题是有问题的，不能确定ω，若把“ω>0”改为“0<ω<2”即可确定ω的值为1，最终答案选A.

还可以继续如下分析：

反思总结：在学习三角函数的周期时，我们要注意周期与最小正周期的区别，容易混淆而导致错误.对于三角函数中的代数变形含义的理解，要做到准确，如例3中，化简完之后是一个恒成立问题，所以要做到对问题的深入理解.在做选择题时可以大胆的假设，通过合理论证可以解决问题；或者可以通过特殊值方法，通过检验来说明选项的正确性.

三、教学反思

通过三个教学片断，层层递进，逐步深入三角函数的周期性问题，通过合理的设问，让学生能够从题目中发现问题，接着分析问题，最后通过分析，通过努力尝试解决问题，有效的通过变式教学，让学生发现山外还有一番不同的景色.三角函数的周期与最小正周期概念容易混淆，三角函数的最小正周期蕴含着两层意思：此函数是周期函数且存在最小正周期.在处理周期问题时，学会灵活运用，结合图像，加深周期概念的理解.有关三角函数周期问题是新高考中的热点问题之一，必须引起我们的高度重视.